山西省呂梁市曹家山中學2023年高三數(shù)學理期末試題含解析

山西省呂梁市曹家山中學2023年高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，，，，E，F(xiàn)為AB的三等分點，則（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】由可得，由，為的三等分點，結(jié)合向量運算的三角形法則可得，再利用平面向量數(shù)量積的運算法則可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，化為，因為，，所以，又因為，為的三等分點，所以，故選C.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算以及平面向量數(shù)量積的運算，屬于中檔題.向量數(shù)量積的運算主要掌握兩點：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.2.已知命題“任意，”，則為（

）A存在，

B存在，C任意，

D任意，參考答案：B略3.設是虛數(shù)單位，若復數(shù)，則的共軛復數(shù)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A4..“柯西不等式”是由數(shù)學家柯西在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的，但從歷史的角度講，該不等式應當稱為柯西﹣﹣布尼亞科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因為正是后兩位數(shù)學家彼此獨立地在積分學中推而廣之，才將這一不等式推廣到完善的地步，在高中數(shù)學選修教材4﹣5中給出了二維形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2當且僅當ad＝bc（即）時等號成立．該不等式在數(shù)學中證明不等式和求函數(shù)最值等方面都有廣泛的應用．根據(jù)柯西不等式可知函數(shù)的最大值及取得最大值時x的值分別為（）A. B. C. D.參考答案：A【分析】將代入二維形式的柯西不等式的公式中，進行化簡即可得到答案?！驹斀狻坑煽挛鞑坏仁娇芍核?，當且僅當即x＝時取等號，故函數(shù)的最大值及取得最大值時的值分別為，故選：A．【點睛】本題考查二維形式柯西不等式的應用，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題。5.已知如圖所示的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點P、Q分別在棱BB1、DD1上，且=，過點A、P、Q作截面截去該正方體的含點A1的部分，則下列圖形中不可能是截去后剩下幾何體的主視圖的是（）參考答案：A當P、B1重合時，主視圖為選項B；當P到B點的距離比B1近時，主視圖為選項C；當P到B點的距離比B1遠時，主視圖為選項D，因此答案為A.考點：組合體的三視圖6.若集合，，則的一個充分不必要條件是（

）A． B．

C．

D．參考答案：D7.已知x、y滿足約束條件，則Z=2x+4y的最小值為（）A．﹣15B．﹣20C．﹣25D．﹣30參考答案：A略8.半徑為2的球O中有一內(nèi)接正四棱柱（底面是正方形，側(cè)棱垂直底面），當該正四棱柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差是（）A．16（） B．16（） C．8（2） D．8（2）參考答案：B【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】設底面邊長為a，高為h，根據(jù)球的半徑使用勾股定理列出方程，得出a，h的關(guān)系，使用基本不等式得出ah的最大值，求出側(cè)面積的最大值，做差即可．【解答】解：設球內(nèi)接正四棱柱的底面邊長為a，高為h，則球的半徑r==2，∴h2+2a2=16≥2ah，∴ah≤4．∴S側(cè)=4ah≤16．球的表面積S=4π×22=16π．∴當四棱柱的側(cè)面積最大值時，球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差為16π﹣16=16（）．故選B．9.中國古代第一部數(shù)學專著《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩兩直角邊分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率是（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】求出直角三角形內(nèi)切圓半徑，計算內(nèi)切圓和三角形的面積，從而利用幾何概型概率公式得出結(jié)論.【詳解】直角三角形的斜邊長為，設內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，內(nèi)切圓的面積為，豆子落在其內(nèi)切圓外部的概率是，故選C.【點睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本事件對應的區(qū)域測度把握不準導致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤.10.已知向量若，則與的夾角為（

）A．

B．

C．D．參考答案：答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，若點是直線上的動點，且不等式對于任意的恒成立，則實數(shù)的范圍是（

）A

B

C

D參考答案：B略12.按下圖所示的程序框圖運算：若輸出k=2，則輸入x的取值范圍是

.參考答案：（28,57]13.已知P為橢圓上一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的左、右焦點，B為橢圓右頂點，若平分線與的平分線交于點，則

.參考答案：3614.在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，，則

．參考答案：

30°15.已知隨機變量ξ服從二項分布的值為__________.參考答案：略16.曲線在點處的切線與坐標軸所圍成三角形的面積為__________．參考答案：∵，∴，故切線的斜率為，可得切線方程為，即，令，得，令，可得，∴切線與坐標軸圍成的三角形面積，故答案為.點睛：此題主要考查導數(shù)的計算，以及利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，屬于基礎(chǔ)題；欲求切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積，關(guān)鍵是求出在點處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數(shù)求出在處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問題解決.17.已知等比數(shù)列{an}中，a3=4，a6=，則公比q=．參考答案：【考點】88：等比數(shù)列的通項公式．【分析】利用等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵a3=4，a6=，∴4q3=，則公比q=．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知點F是拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點，若點M（x0，1）在C上，且|MF|=．（1）求p的值；（2）若直線l經(jīng)過點Q（3，﹣1）且與C交于A，B（異于M）兩點，證明：直線AM與直線BM的斜率之積為常數(shù)．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】（1）拋物線定義知|MF|=x0+，則x0+=，求得x0=2p，代入拋物線方程，x0=1，p=；（2）由（1）得M（1，1），拋物線C：y2=2x，當直線l經(jīng)過點Q（3，﹣1）且垂直于x軸時，直線AM的斜率kAM=，直線BM的斜率kBM=，kAM?kBM=×=﹣．當直線l不垂直于x軸時，直線l的方程為y+1=k（x﹣3），代入拋物線方程，由韋達定理及斜率公式求得kAM?kBM===﹣，即可證明直線AM與直線BM的斜率之積為常數(shù)﹣．【解答】解：（1）由拋物線定義知|MF|=x0+，則x0+=，解得x0=2p，又點M（x0，1）在C上，代入y2=2px，整理得2px0=1，解得x0=1，p=，∴p的值；（2）證明：由（1）得M（1，1），拋物線C：y2=x，當直線l經(jīng)過點Q（3，﹣1）且垂直于x軸時，此時A（3，），B（3，﹣），則直線AM的斜率kAM=，直線BM的斜率kBM=，∴kAM?kBM=×=﹣．當直線l不垂直于x軸時，設A（x1，y1），B（x2，y2），則直線AM的斜率kAM===，同理直線BM的斜率kBM=，kAM?kBM=?=，設直線l的斜率為k（k≠0），且經(jīng)過Q（3，﹣1），則直線l的方程為y+1=k（x﹣3），聯(lián)立方程，消x得，ky2﹣y﹣3k﹣1=0，∴y1+y2=，y1?y2=﹣=﹣3﹣，故kAM?kBM===﹣，綜上，直線AM與直線BM的斜率之積為﹣．19.參考答案：曲線C的普通方程是． 2分

直線l的普通方程是． 4分設點M的直角坐標是，則點M到直線l的距離是 6分 ． 因為，所以 當，即Z)，即Z)時，d取得最大值． 此時．綜上，點M的極坐標為時，該點到直線l的距離最大． 10分20.已知函數(shù)f（x）=x2﹣x|x﹣a|﹣3a，a＞0．（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在x∈[0，3]上的最值；（3）當a∈（0，3）時，若函數(shù)f（x）恰有兩個不同的零點x1，x2，求的取值范圍．參考答案：【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)以及一次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）通過討論a的范圍求出函數(shù)的最小值和最大值即可；（3）求出f（x）的根，求的表達式，得到其范圍即可．【解答】解：（1）x≤1時，函數(shù)f（x）的對稱軸是x=，開口向上，故f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2），當0＜a≤3時，f（x）=2x2﹣ax﹣3a的對稱軸是x=＜1，∴f（x）在[0，）遞減，在（，3]遞增，而f（0）=﹣3a＜f（3）=0，∴f（x）的最小值，最大值f（3）；當3＜a＜6時，對稱軸x=，1＜＜3，故f（x）在[0，）遞減，在（，3]遞增，∴f（x）的最小，最大值f（3），當6≤a＜12時，最小值，最大值f（0）當a≥12時，最小值f（3），最大值f（0）（3）當0＜a＜3時，令f（x）=0，可得，（因為f（a）=a2﹣3a＜0，所以x3＞a舍去）所以，在0＜a＜3上是減函數(shù)，所以．21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且相鄰兩條對稱軸的距離為.（1）求函數(shù)的解析式及其在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在分別是A,B,C的對邊，若，，求的值.參考答案：（1）[﹣+kπ，+kπ]；（2）

【知識點】余弦定理；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的單調(diào)性C3C4C8（1）把（0，）代入解析式得：sinφ=，∵0＜φ＜，∴φ=，∵相鄰兩條對稱軸間的距離為，∴函數(shù)的周期為π，即ω=2，∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；當k=0時，f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是，當k=1時，f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是。故函數(shù)f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間。（2）由第一問得：f（）=sin（A+），代入得：sin（A+）﹣cosA=sinA+cosA﹣cosA=sinA﹣cosA=sin（A﹣）=，∴A﹣=或，即A=或A=π（舍去），∵bc=1，b+c=3，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=9﹣3=6，則a=．【思路點撥】（1）把已知點坐標代入求出φ的值，根據(jù)題意確定出周期，利用周期公式求出ω的值，即可確定出函數(shù)f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性確定出單調(diào)遞增區(qū)間即可；（2）由第一問確定出的解析式，表示出f（），代入已知等式求出A的度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，把cosA的值代入，變形后將bc與b+c的值代入即可求出a的值．2