山西省呂梁市畢家坡中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

山西省呂梁市畢家坡中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.甲乙兩人有三個不同的學(xué)習(xí)小組A，B，C可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學(xué)習(xí)小組，則兩人參加同一個小組的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．【分析】由題意可得總的可能性為9種，符合題意的有3種，由概率公式可得．【解答】解：總的可能性為3×3=9種，兩位同學(xué)參加同一個小組的情況為3種，∴所求概率P==，故選：A．【點評】本題考查古典概型及其概率公式，屬基礎(chǔ)題．2.若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D3.已知等差數(shù)列｛an｝的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2等于（

）A.－6

B.－8

C.－10

D.－12參考答案：A4.在數(shù)列中，若則該數(shù)列的通項=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.在△ABC中，，則A等于（

）A．45° B．120° C．60° D．30°參考答案：C由等式可得：，代入關(guān)于角的余弦定理：．所以．故選C．6.方程的解所在的區(qū)間為（

）．

A．

B．

C．

D．參考答案：D7.設(shè)a,b∈R,集合{1，a+b,a}={0,,b}，則b-a=(

)A.1

B.-1

C.2

D.-2參考答案：C8.把函數(shù)的圖象向右平移個單位，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，則所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是（）A．y=sinx B．y=sin4x C． D．參考答案：A【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的法則進(jìn)行變換，并化簡，可得兩次變換后所得到的圖象對應(yīng)函數(shù)解析式．【解答】解：函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin2x的圖象，再將所得的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得f（x﹣）=sinx的圖象．∴函數(shù)y=sinx的圖象是函數(shù)的圖象按題中的兩步變換得到的函數(shù)的解析式．故選：A．【點評】本題給出三角函數(shù)圖象的平移和伸縮變換，求得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式．著重考查了三角函數(shù)圖象的變換公式等知識，屬于中檔題．9.設(shè)函數(shù)的定義域為R，是的極大值點，以下結(jié)論一定正確的是（

）A．

B．是的極小值點C．是的極小值點

D．是的極小值點

參考答案：D略10.已知圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0與圓C2：x2+y2-4x-4y-2=0相交，則圓C1與圓C2的公共弦長為（）A． B． C．

D．5參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將編號1，2，3，4，5的小球放入編號1，2，3，4，5的盒子中，每個盒子放一個小球，則至多有兩個小球的編號與盒子的編號相同的放法共有種．參考答案：109【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題．【分析】利用間接法，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：5個球全排列為A55=120種情況3個球的編號與盒子的相同，先選出3個小球，放到對應(yīng)序號的盒子里，有C53=10種情況，另外2個球，有1種不同的放法，故10種情況4個球的編號與盒子的相同，有1種不同的放法，故至多有兩個小球的編號與盒子的編號相同的放法共有120﹣10﹣1=109種不同的放法，故答案為：109．12.在數(shù)列中，，且對任意大于1的正整數(shù)，點在直線上，則數(shù)列的前項和＝ 。參考答案：13.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1），n∈N*”時，從“n=k”變到“n=k+1”時，左邊應(yīng)增乘的因式是_________．參考答案：略14.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，,則__________.參考答案：12【分析】由函數(shù)的奇偶性可知，代入函數(shù)解析式即可求出結(jié)果.【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，則，.【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題型.15.z1,z2∈C，|z1|=|z2|=2，|z1+z2|=，則|z1-z2|=

參考答案：16.一個幾何體由八個面圍成，每個面都是正三角形，有四個頂點在同一平面內(nèi)且為正方形，若該八面體的棱長為2，所有頂點都在球O上，則球O的表面積為_______．參考答案：8π【分析】根據(jù)該八面體的棱長為2，所有頂點都在球上可確定球的半徑，即可求出球的表面積?！驹斀狻扛鶕?jù)題意該八面體的棱長為，所有頂點都在球上所以球的半徑為幾何體高的一半，即半徑所以表面積【點睛】本題考查球體的表面積公式，解題的關(guān)鍵是求出半徑，屬于簡單題。17.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（），是虛數(shù)單位，則的值是

.參考答案：7;

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b為常數(shù)）．（1）求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）當(dāng)函數(shù)g（x）在x=2處取得極值﹣2．求函數(shù)g（x）的解析式；（3）當(dāng)時，設(shè)h（x）=f（x）+g（x），若函數(shù)h（x）在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)b的取值范圍．參考答案：【考點】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，運用店攜手方程即可得到切線方程；（2）求得g（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得g（2）=﹣2，g′（2）=0，解方程即可得到所求解析式；（3）若函數(shù)h（x）在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間依題存在x＞0使h′（x）=（x＞0）．h′（x）＜0（x＞0）即存在x＞0使x2﹣bx+1＜0，運用參數(shù)分離，求得右邊的最小值，即可得到所求范圍．【解答】解：（1）由f（x）=lnx（x＞0），可得f′（x）=（x＞0），∴f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），即y=x﹣1，所求切線方程為y=x﹣1；

（2）∵又g（x）=ax2﹣bx可得g′（x）=2ax﹣b，且g（x）在x=2處取得極值﹣2．∴，可得解得，b=2．所求g（x）=（x∈R）．

（3）∵，h′（x）=（x＞0）．依題存在x＞0使h′（x）=（x＞0）．h′（x）＜0（x＞0）即存在x＞0使x2﹣bx+1＜0，∵不等式x2﹣bx+1＜0等價于（*）令，∵．∴λ（x）在（0，1）上遞減，在[1，+∞）上遞增，故，+∞），∵存在x＞0，不等式（*）成立，∴b＞2．所求b∈（2，+∞）．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時考查函數(shù)的單調(diào)性的運用以及存在性問題，屬于中檔題．19.已知在等比數(shù)列{an}中，.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.參考答案：(1)(2)【分析】（1）求出公比后可得的通項公式.（2）利用錯位相減法可求.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為.由，得，得，所以，解得.故數(shù)列的通項公式是.（2），則，①，②由①-②，得，，故【點睛】數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.20.已知函數(shù)．

（Ⅰ）用定義證明是偶函數(shù)；（Ⅱ）用定義證明在上是減函數(shù)；

（Ⅲ）作出函數(shù)的圖像，并寫出函數(shù)當(dāng)時的最大值與最小值．

參考答案：（Ⅰ）證明：函數(shù)的定義域為，對于任意的，都有，∴是偶函數(shù)．（Ⅱ）證明：在區(qū)間上任取，且，則有，∵，，∴即

∴，即在上是減函數(shù)．

（Ⅲ）解：最大值為，最小值為．略21.某旅游景區(qū)的觀景臺P位于高（山頂?shù)缴侥_水平面M的垂直高度PO）為2km的山峰上，山腳下有一段位于水平線上筆直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB為等腰三角形．山坡面與山腳所在水平面M所成的二面角為α（0°＜α＜90°），且sinα=．現(xiàn)從山腳的水平公路AB某處C0開始修建一條盤山公路，該公路的第一段、第二段、第三段…，第n﹣1段依次為C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn﹣1Cn（如圖所示），且C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn﹣1Cn與AB所成的角均為β，其中0＜β＜90°，sinβ=．試問：（1）每修建盤山公路多少米，垂直高度就能升高100米．若修建盤山公路至半山腰（高度為山高的一半），在半山腰的中心Q處修建上山纜車索道站，索道PQ依山而建（與山坡面平行，離坡面高度忽略不計），問盤山公路的長度和索道的長度各是多少？（2）若修建xkm盤山公路，其造價為a萬元．修建索道的造價為2a萬元/km．問修建盤山公路至多高時，再修建上山索道至觀景臺，總造價最少．參考答案：【考點】解三角形的實際應(yīng)用；函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）在盤山公路上取一個點，作出該點到平面的垂線，再利用三垂線定理作出二面角棱的垂線，連接兩個垂足，利用三角函數(shù)的定義可求出索道長與山高的倍數(shù)關(guān)系，得出結(jié)論；（2）設(shè)盤山公路修至山高的距離為x，建立關(guān)于x的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，極小值即為函數(shù)的最小值，從而得出最少總價對應(yīng)的x．【解答】解：（1）在盤山公路C0C1上任選一點D，作DE⊥平面M交平面M于E，過E作EF⊥AB交AB于F，連接DF，易知DF⊥C0F．sin∠DFE=，sin∠DC0F=．∵DF=C0D，DE=DF，∴DE=C0D，所以盤山公路長度是山高的10倍，索道長是山高的倍，所以每修建盤山公路1000米，垂直高度升高100米．從山腳至半山腰，盤山公路為10km．從半山腰至山頂，索道長2.5km．（2）設(shè)盤山公路修至山高x（0＜x＜2）km，則盤山公路長為10xkm，索道長（2﹣x）km．設(shè)總造價為y萬元，則y=a+（2﹣x）?2a=（10﹣5x）a+10a．令y′=﹣5a=0，則x=1．當(dāng)x∈（0，1）時，y′＜0，函數(shù)y單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，2）時，y′＞0，函數(shù)y單調(diào)遞增，∴x=1，y有最小值，即修建盤山公路至山高1km時，總造價最小，最小值為15a萬元．22.以下莖葉圖記錄了甲組3名同學(xué)寒假假期中去圖書館學(xué)習(xí)的次數(shù)和乙組4名同學(xué)寒假假期中去圖書館學(xué)習(xí)的次數(shù).乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以表示.（Ⅰ）如果，求乙組同學(xué)去圖書館學(xué)習(xí)次數(shù)的平均數(shù)和方差；（Ⅱ）如果，從學(xué)習(xí)次數(shù)大于8的學(xué)生中選兩名同學(xué)，求選出的兩名同學(xué)恰好分別在兩個圖書館學(xué)習(xí)且學(xué)習(xí)的次數(shù)和大于20的概率．參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)x=7時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)去圖書館學(xué)習(xí)次數(shù)是：7，8，9，12，所以平均數(shù)為

……………3分方差為

……………6分（Ⅱ）記甲組3名同學(xué)為A1，A2，A3，他們?nèi)D書館學(xué)習(xí)次數(shù)依次為9，12，11；乙組4名同學(xué)為B1，B2，B3，B4，他們?nèi)D書館學(xué)習(xí)次數(shù)依次為9，8，9，12；從學(xué)習(xí)次數(shù)大于8的學(xué)生中人選兩名學(xué)生，所有可能的結(jié)果有15個，它們是：A1A2，A1A3，A1B1，A1B3，A1B4，A2