山西省呂梁市石口鄉(xiāng)中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省呂梁市石口鄉(xiāng)中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，則＝（）A.－3 B.1 C.4 D.6參考答案：C【分析】根據(jù)題意分別取和時(shí)帶入即可計(jì)算出?！驹斀狻坑深}意得:當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題主要考查了前項(xiàng)和以及遞推公式。充分理解項(xiàng)和以及遞推公式是解決本題的關(guān)鍵。屬于基礎(chǔ)題。2.已知，，直線，若直線過線段AB的中點(diǎn)，則a=（

）A.-5 B.5 C.-4 D.4參考答案：B【分析】根據(jù)題意先求出線段的中點(diǎn)，然后代入直線方程求出的值.【詳解】因?yàn)?，，所以線段的中點(diǎn)為，因?yàn)橹本€過線段的中點(diǎn)，所以，解得.故選【點(diǎn)睛】本題考查了直線過某一點(diǎn)求解參量的問題，較為簡(jiǎn)單.3.已知，，，則的大小關(guān)系是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略4.在等差數(shù)列{an}中，若，則（

）A.4 B.6 C.8 D.10參考答案：B【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可得，則答案易求.【詳解】在等差數(shù)列中，因?yàn)椋?所以.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.在等差數(shù)列中，若，則.特別地，若，則.5.直線y+3=0的傾斜角是（）A．0° B．45° C．90° D．不存在參考答案：A【考點(diǎn)】直線的傾斜角．【分析】由直線y+3=0與x軸平行，即可得出傾斜角．【解答】解：因?yàn)橹本€y+3=0與x軸平行，所以傾斜角為0°．故選：A．6.長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)分別是3，4，5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是（

）A、B、C、D、參考答案：A略7.兩地相距，且地在地的正東方。一人在地測(cè)得建筑在正北方，建筑在北偏西；在地測(cè)得建筑在北偏東，建筑在北偏西，則兩建筑和之間的距離為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.以下四個(gè)命題中，正確的有幾個(gè)（

）①

直線a，b與平面a所成角相等，則a∥b；②

兩直線a∥b，直線a∥平面a，則必有b∥平面a；③

一直線與平面的一斜線在平面a內(nèi)的射影垂直，則該直線必與斜線垂直；④

兩點(diǎn)A，B與平面a的距離相等，則直線AB∥平面a

A0個(gè)

B1個(gè)

C2個(gè)

D3個(gè)參考答案：A略9.已知，且，則的最小值為(

)A.3 B.5 C.7 D.9參考答案：C【分析】運(yùn)用乘1法，可得由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]?（）﹣1，化簡(jiǎn)整理再由基本不等式即可得到最小值．【詳解】由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]?1﹣1＝[（x+1）+y]?2（）﹣1＝2（21≥3+47．當(dāng)且僅當(dāng)x，y＝4取得最小值7．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意乘1法和滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．10.等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為.以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)迪，將該直角三角形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何的體積是（

）A. B. C.π D.參考答案：B【分析】畫出圖形，根據(jù)圓錐的體積公式直接計(jì)算即可．【詳解】如圖為等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體．由題得等腰直角三角形的斜邊上的高為1.所以．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的體積公式，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域是______________.參考答案：略12.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，那么這個(gè)函數(shù)的解析式是

．參考答案：

13.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則

．參考答案：－214.在平面區(qū)域內(nèi)任意取一點(diǎn)，則的概率是參考答案：略15.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

▲

．

參考答案：

16.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以頂點(diǎn)A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量記為（i=1，2，3），則|+|（i，j=1，2，3，i≠j）的最大值是，以C為頂點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量記為（m=1，2，3），若t=（），其中i，j，m，n均屬于集合{1，2，3}，且i≠j，m≠n，則t的最小值為

．參考答案：﹣5考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：如圖建立直角坐標(biāo)系．不妨記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量為（i=1，2，3），分別為，以C為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量為（m=1，2，3），分別為．再分類討論當(dāng)i，j，m，n取不同的值時(shí)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算|+|的最大值和（）最小值．解答： 解：不妨記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量為其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量為（i=1，2，3），分別為，以C為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量為（m=1，2，3），分別為．如圖建立坐標(biāo)系．（1）當(dāng)i=1，j=2，m=1，n=2時(shí)，則+=（1，0）+（1，1）=（2，1），|+|=；（）=[（1，0）+（1，1）]?[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；（2）當(dāng)i=1，j=2，m=1，n=3時(shí)，則（）=[（1，0）+（1，1）]?[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；（3）當(dāng)i=1，j=2，m=2，n=3時(shí)，則（）=[（1，0）+（1，1）]?[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；（4）當(dāng)i=1，j=3，m=1，n=2時(shí)，則+=（（1，0）+（0，1）=（1，1），|+|=；（）=[（1，0）+（0，1）]?[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；同樣地，當(dāng)i，j，m，n取其它值時(shí)，|+|=，，（）=﹣5，﹣4，或﹣3．則|+|最大值為；（）的最小值是﹣5．故答案為：；﹣5．點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查平面向量坐標(biāo)表示、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算等基本知識(shí)，考查考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、解決問題的能17.如圖，在平面上，點(diǎn)，點(diǎn)在單位圓上，,若，四邊形的面積用表示，則的取值范圍為

.

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)（1）求k的值；（2）設(shè)g（x）=log4（a?2x﹣a），若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義建立方程關(guān)系即可求k的值；（2）根據(jù)函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即可得到結(jié)論．【解答】解（1）∵函數(shù)f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函數(shù)∴f（﹣x）=log4（4﹣x+1）﹣kx）=log4（）﹣kx=log4（4x+1）+kx（k∈R）恒成立∴﹣（k+1）=k，則k=．（2）g（x）=log4（a?2x﹣a），函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程f（x）=g（x）只有一個(gè)解由已知得log4（4x+1）x=log4（a?2x﹣a），

∴l(xiāng)og4（）=log4（a?2x﹣a），方程等價(jià)于，設(shè)2x=t，t＞0，則（a﹣1）t2﹣﹣1=0有一解若a﹣1＞0，設(shè)h（t）=（a﹣1）t2﹣﹣1，∵h(yuǎn)（0）=﹣1＜0，∴恰好有一正解∴a＞1滿足題意若a﹣1=0，即a=1時(shí)，h（t）=﹣﹣1，由h（t）=0，得t=﹣＜0，不滿足題意若a﹣1＜0，即a＜1時(shí)，由，得a=﹣3或a=，當(dāng)a=﹣3時(shí)，t=滿足題意當(dāng)a=時(shí)，t=﹣2（舍去）綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a＞1或a=﹣3}．19.（12分）已知以點(diǎn)C（1，﹣2）為圓心的圓與直線x+y﹣1=0相切．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過圓內(nèi)一點(diǎn)P（2，﹣）的最短弦所在直線的方程．參考答案：（1）圓的半徑r==，所以圓的方程為（x﹣1）2+（y+2）2=2．（2）圓的圓心坐標(biāo)為C（1，﹣2），則過P點(diǎn)的直徑所在直線的斜率為﹣，由于過P點(diǎn)的最短弦所在直線與過P點(diǎn)的直徑垂直∴過P點(diǎn)的最短弦所在直線的斜率為2，∴過P點(diǎn)的最短弦所在直線的方程y+=2（x﹣2），即4x﹣2y﹣13=0．20.如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：平面.參考答案：（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用為直三棱柱，得，利用，說明，得平面，推出；（2）連接，，設(shè)，得為的中點(diǎn)，證得，即可證明平面．【詳解】（1）直三棱柱中，底面三邊長(zhǎng)，，且，，又，平面，平面.平面

，平面，；（2）連接，，設(shè)，得為的中點(diǎn)，連接，且點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．，平面平面，平面．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判定定理，直線與直線垂直，直線與平面平行的判定定理，屬于中檔題．21.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若sin2B＋sin2C＝sin2A＋sinBsinC，且·＝4，求△ABC的面