概率分布正態(tài)化總結

關于非正態(tài)分布變量當量正態(tài)化的總結為什么要在可靠性分析中研究變量的分布規(guī)律常用的變量分布類型都有哪些如何對這些非正態(tài)分布類型進行當量正態(tài)化章節(jié)綜述第一章：為什么要研究隨機變量的分布

結構可靠性就是研究結構在各種因素作用下的安全問題。進行可靠性分析的目的，就是將機構可靠性或失效可能性的大小，用概率定量的表示出來，以保證結構具有足夠的安全水平。并且在分析過程中將各種因素對結構失效的影響以靈敏度的方式量化表示，從而為設計人員在設計中提供重要的參數(shù)設置依據(jù)，達到優(yōu)化設計的目的。第一章：為什么要研究隨機變量的分布

按照結構可靠度設計統(tǒng)一標準的定義，結構可靠度是結構在規(guī)定時間內和規(guī)定條件下完成預定功能的能力，而相應的概率為可靠度。規(guī)定的時間是指設計使用年限，即結構或構件不需要大修即可按其預定目的使用的時間；規(guī)定的條件指正常設計、正常施工和正常使用；預定功能即安全性、適用性和耐久性。但是在工程實際中由于尺寸公差、加工精度和使用環(huán)境等各種不確定因素的存在，影響結構可靠性的各個變量往往存在隨機性。因此給結構可靠性分析帶來了困難。第一章：為什么要研究隨機變量的分布在材料力學和彈性力學發(fā)展以后，早期的結構可靠性設計中，人們往往采用許用應力法?？紤]到各種不確定因素，有許用應力乘以安全系數(shù)后，就得出結構的強度，然后確定結構的規(guī)格尺寸，這種方法稱為靜強度決定論方法或傳統(tǒng)設計方法。但是這種方法所采用的載荷及材料性能等數(shù)據(jù)，均取它們的平均值，或者取所謂的最大或最小值，沒有考慮到數(shù)據(jù)的分散性，而且在設計中引入了一個大于1的安全系數(shù)，這種安全系數(shù)在很大程度上由設計者根據(jù)經驗確定，帶有一定的不確切性和盲目性。第一章：為什么要研究隨機變量的分布

特別是對于一些新材料、新產品的分析設計更是如此，事實上這中方法并不能絕對防止結構失效的發(fā)生，相反，卻造成了結構重量的增加，材料的浪費和結構性能的降低，顯然不能滿足產品安全性、經濟性的發(fā)展的需要。因此概率化的設計法思想便應運而生，早在1911年卡賓奇就提出用統(tǒng)計數(shù)學方法來研究載載和材料強度。1926～1929年，霍契阿洛夫和馬耶羅夫制定了概率設計的計算方法，由此拉開了可靠性分析方法的序幕。第一章：為什么要研究隨機變量的分布

概率論預測方法利用自然律得到響應量與影響響應量的基本變量之間的關系，并利用統(tǒng)計學方法收集基本變量的樣本數(shù)據(jù)得到基本變量的統(tǒng)計規(guī)律，然后采用演繹推理的方法，將基本變量的統(tǒng)計規(guī)律傳遞到響應量，得到響應量的統(tǒng)計規(guī)律后也就全面掌握了系統(tǒng)行為的統(tǒng)計規(guī)律。概率論預測方法避免了確定論方法與統(tǒng)計學方法的缺點，收集到的基本變量的統(tǒng)計資料具有推廣價值，其所采用的演繹推理方法具有通用性，因此概率論方法是目前可靠性分析與設計中普遍應用的一種方法。第一章：為什么要研究隨機變量的分布目前概率論預測方法的應用已經遍及自然科學和社會科學的各個領域。從電子、航空、宇航、核能等尖端工業(yè)部門擴展到電機與電力系統(tǒng)、機械設備、動力、土木建筑、冶金、化工等部門。可靠性的應用也從復雜航天器的設計推廣普及到日常生活中的機電產品設計之中,并貫穿于產品的開發(fā)研制、設計、制造、試驗、使用、運輸、保管及維修保養(yǎng)等各個環(huán)節(jié)。第一章：為什么要研究隨機變量的分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計的關系概率論研究無限次試驗所反映出的規(guī)律，是一種數(shù)學上假設。數(shù)理統(tǒng)計研究有限次試驗所反映出的規(guī)律，具有工程價值。概率論是統(tǒng)計的理論基礎，統(tǒng)計是概率的工程應用。事實上，用已知推斷未知，用部分推斷總體不僅僅是科學發(fā)展的方向，也是工程界必須解決的問題。特別是對于一些特殊的科學領域，我們很難進行近乎無限次的實驗，因此獲得全面而準確的實驗數(shù)據(jù)存在困難，這也就是我們對隨機變量的分布規(guī)律進行研究的原因。我們需要利用有限的數(shù)據(jù)來盡可能準確地推斷出其變量分布的規(guī)律，從而分析和推斷出整個系統(tǒng)的分布規(guī)律。第二章：常見的隨機變量的分布類型正態(tài)分布均勻分布指數(shù)分布對數(shù)正態(tài)分布極值分布（Gumbel

）瑞利分布（Rayleigh）韋伯分布（Weibull

）正態(tài)分布概要

正態(tài)分布是在統(tǒng)計以及許多統(tǒng)計測試中最廣泛應用的一類分布。在概率論中,正態(tài)分布是幾種連續(xù)分布和離散分布的極限分布。各種各樣的心理學測試和物理現(xiàn)象都被發(fā)現(xiàn)近似地服從正態(tài)分布。

通常我們用概率密度函數(shù)和累計分布函數(shù)來描述變量的分布規(guī)律。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線呈高度對稱性，被稱為“鐘型曲線”。該分布的相關特性如下表所示：正態(tài)分布概要概率密度函數(shù)累計分布函數(shù)正態(tài)分布概要在正態(tài)分布中值得注意的是：密度函數(shù)關于均值對稱均值是它的眾數(shù)(statisticalmode)以及中位數(shù)(median)函數(shù)曲線下68.268949%的面積在均值左右一個標準差范圍內95.449974%的面積在均值左右兩個標準差2σ的范圍內99.730020%的面積在均值左右三個標準差3σ的范圍內99.993666%的面積在均值左右四個標準差4σ的范圍內正態(tài)分布概要由上圖可以看出約68%的數(shù)值分布在距離平均值有1個標準差之內的范圍，約95%數(shù)值分布在距離平均值有2個標準差之內的范圍，以及約99.7%數(shù)值分布在距離平均值有3個標準差之內的范圍。稱為"68-95-99.7法則"或"經驗法則".關于非正態(tài)分布需要轉化的一些說明

由于正態(tài)分布具有上述一些優(yōu)良的特性，而且工程界的大多數(shù)參數(shù)都是服從正態(tài)分布的，因此在目前比較成熟的可靠性分析方法中，很多方法（改進一次二階矩方法，一次、二次響應面法）往往都是針對正態(tài)分布展開的，因此我們對非正態(tài)分布變量需要采用當量正態(tài)化。具體方法將在第三章中詳細介紹，為了能更好的理解各種分布類型的相關特性，對實驗數(shù)據(jù)的獲得提供相應參考，本章將對一些常見的非正態(tài)變量的分布類型分類進行簡要闡述。均勻分布概要連續(xù)型均勻分布相對簡單，其分布特性列表如下：概率密度函數(shù)累計分布函數(shù)指數(shù)分布概要概率密度函數(shù)累計分布函數(shù)

對數(shù)分布概要概率密度函數(shù)累計分布函數(shù)

極值分布（Gumbel

）概率密度函數(shù)累計分布函數(shù)

其中

瑞利分布（Rayleigh）概率密度函數(shù)累計分布函數(shù)

期望值為

方差為韋伯分布（Weibull

）概率密度函數(shù)累計分布函數(shù)

期望值為

方差為第三章非正態(tài)分布的當量正態(tài)化非正態(tài)變量轉化的基本原理是將非正態(tài)的變量當量正態(tài)化,替代的正態(tài)分布函數(shù)要求在設計驗算點x*處的累積概率分布函數(shù)(CDF)和概率密度函數(shù)(PDF)值分別和原變量的CDF值、PDF值相等。第三章非正態(tài)分布的當量正態(tài)化假定非正態(tài)隨機變量服從某一分布，其分布函數(shù)為，密度函數(shù)為。找到非正態(tài)變量的等價正態(tài)變量，通過計算確定兩個分布參數(shù)和。R-F法提出了如下所示的在特定點處的等價變換條件。（1）（2）式中，和分別為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)和密度函數(shù)，表示對標準正態(tài)分布函數(shù)的導函數(shù)。第三章非正態(tài)分布的當量正態(tài)化依據(jù)這(1),(2)式中的兩個條件，可以確定等價正態(tài)變量的兩個基本分布參數(shù)和。對(2)式取反函數(shù)有： （3）

進而得到和的關系為（4）將(1)式代入(2)式可求得參數(shù)如下（5）

第三章非正態(tài)分布的當量正態(tài)化

通過對上述理論公式的推導和分析，我們要思考的是：要對非正態(tài)變量順利實現(xiàn)當量正態(tài)化，需要具備那些條件呢？

第三章非正態(tài)分布的當量正態(tài)化

事實上，具備以下四個要素才能順利實現(xiàn)變量的正態(tài)化：變量服從的分布，以及它的分布參數(shù)或統(tǒng)計參數(shù)變量當量正態(tài)化的驗算點在驗算點處的值和值正態(tài)分布函數(shù)的反數(shù)值常用分布的分布參數(shù)表分布形式位置參數(shù)尺度參數(shù)形狀參數(shù)均勻分布ab正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布指數(shù)分布__Weibull分布__Gumbel分布Gumma分布__Rayleigh分布__常用分布的統(tǒng)計參數(shù)表分布形式均值標準差均勻分布正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布指數(shù)分布Weibull分布Gumbel分布Gumma分布Rayleigh分布統(tǒng)計參數(shù)向分布參數(shù)的轉化分布形式位置參數(shù)尺度參數(shù)形狀參數(shù)均勻分布正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布指數(shù)分布__Weibull分布__baGumbel分布Gumma分布__Rayleigh分布__第三章非正態(tài)分布的當量正態(tài)化

在得到各非正態(tài)變量分布參數(shù)的情況下，只需將驗算點帶入各自的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)即可求得驗算點處的和

值，至于各種分布的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)公式在大多數(shù)的數(shù)學資料里都有清楚的羅列，這也不是本課題的研究重點，在此不再獒述。那么在以上紅筆標記的四個條件都具備的情況下，又如何求解呢？第三章非正態(tài)分布的當量正態(tài)化

關于問題的求解，本課題組曾提出兩個設想：直接利用maple求解出其反函數(shù)公式，然后將值帶入建立一個正態(tài)分布表的電子文檔，直接調用程序遍歷查詢那么究竟采用那種解決方案，既能更方便、準確的求出結果，有能很好的和軟件源程序語言相結合呢？那么采用該方案的具體實現(xiàn)方式又是什么呢？第三章非正態(tài)分布的當量正態(tài)化

結合上述思想，進過查詢大量文獻，目前針對該問題有多種具體的解決方案：1.在matlab中直接調用庫函數(shù)norminv(F(x),0,1),0,1)即可求解2.在excell中直接根據(jù)要求精度,采用庫函數(shù)NORMSINV(X)

即可返回滿足精度要求的區(qū)間點。3.在VB中編寫程序實現(xiàn)4.在fotran