概率分布正態(tài)化總結(jié)

關(guān)于非正態(tài)分布變量當(dāng)量正態(tài)化的總結(jié)為什么要在可靠性分析中研究變量的分布規(guī)律常用的變量分布類型都有哪些如何對(duì)這些非正態(tài)分布類型進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化章節(jié)綜述第一章：為什么要研究隨機(jī)變量的分布

結(jié)構(gòu)可靠性就是研究結(jié)構(gòu)在各種因素作用下的安全問(wèn)題。進(jìn)行可靠性分析的目的，就是將機(jī)構(gòu)可靠性或失效可能性的大小，用概率定量的表示出來(lái)，以保證結(jié)構(gòu)具有足夠的安全水平。并且在分析過(guò)程中將各種因素對(duì)結(jié)構(gòu)失效的影響以靈敏度的方式量化表示，從而為設(shè)計(jì)人員在設(shè)計(jì)中提供重要的參數(shù)設(shè)置依據(jù)，達(dá)到優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的。第一章：為什么要研究隨機(jī)變量的分布

按照結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的定義，結(jié)構(gòu)可靠度是結(jié)構(gòu)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)和規(guī)定條件下完成預(yù)定功能的能力，而相應(yīng)的概率為可靠度。規(guī)定的時(shí)間是指設(shè)計(jì)使用年限，即結(jié)構(gòu)或構(gòu)件不需要大修即可按其預(yù)定目的使用的時(shí)間；規(guī)定的條件指正常設(shè)計(jì)、正常施工和正常使用；預(yù)定功能即安全性、適用性和耐久性。但是在工程實(shí)際中由于尺寸公差、加工精度和使用環(huán)境等各種不確定因素的存在，影響結(jié)構(gòu)可靠性的各個(gè)變量往往存在隨機(jī)性。因此給結(jié)構(gòu)可靠性分析帶來(lái)了困難。第一章：為什么要研究隨機(jī)變量的分布在材料力學(xué)和彈性力學(xué)發(fā)展以后，早期的結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)中，人們往往采用許用應(yīng)力法?？紤]到各種不確定因素，有許用應(yīng)力乘以安全系數(shù)后，就得出結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度，然后確定結(jié)構(gòu)的規(guī)格尺寸，這種方法稱為靜強(qiáng)度決定論方法或傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法。但是這種方法所采用的載荷及材料性能等數(shù)據(jù)，均取它們的平均值，或者取所謂的最大或最小值，沒(méi)有考慮到數(shù)據(jù)的分散性，而且在設(shè)計(jì)中引入了一個(gè)大于1的安全系數(shù)，這種安全系數(shù)在很大程度上由設(shè)計(jì)者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定，帶有一定的不確切性和盲目性。第一章：為什么要研究隨機(jī)變量的分布

特別是對(duì)于一些新材料、新產(chǎn)品的分析設(shè)計(jì)更是如此，事實(shí)上這中方法并不能絕對(duì)防止結(jié)構(gòu)失效的發(fā)生，相反，卻造成了結(jié)構(gòu)重量的增加，材料的浪費(fèi)和結(jié)構(gòu)性能的降低，顯然不能滿足產(chǎn)品安全性、經(jīng)濟(jì)性的發(fā)展的需要。因此概率化的設(shè)計(jì)法思想便應(yīng)運(yùn)而生，早在1911年卡賓奇就提出用統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)方法來(lái)研究載載和材料強(qiáng)度。1926～1929年，霍契阿洛夫和馬耶羅夫制定了概率設(shè)計(jì)的計(jì)算方法，由此拉開(kāi)了可靠性分析方法的序幕。第一章：為什么要研究隨機(jī)變量的分布

概率論預(yù)測(cè)方法利用自然律得到響應(yīng)量與影響響應(yīng)量的基本變量之間的關(guān)系，并利用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法收集基本變量的樣本數(shù)據(jù)得到基本變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，然后采用演繹推理的方法，將基本變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律傳遞到響應(yīng)量，得到響應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律后也就全面掌握了系統(tǒng)行為的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。概率論預(yù)測(cè)方法避免了確定論方法與統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的缺點(diǎn)，收集到的基本變量的統(tǒng)計(jì)資料具有推廣價(jià)值，其所采用的演繹推理方法具有通用性，因此概率論方法是目前可靠性分析與設(shè)計(jì)中普遍應(yīng)用的一種方法。第一章：為什么要研究隨機(jī)變量的分布目前概率論預(yù)測(cè)方法的應(yīng)用已經(jīng)遍及自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。從電子、航空、宇航、核能等尖端工業(yè)部門擴(kuò)展到電機(jī)與電力系統(tǒng)、機(jī)械設(shè)備、動(dòng)力、土木建筑、冶金、化工等部門?？煽啃缘膽?yīng)用也從復(fù)雜航天器的設(shè)計(jì)推廣普及到日常生活中的機(jī)電產(chǎn)品設(shè)計(jì)之中,并貫穿于產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)研制、設(shè)計(jì)、制造、試驗(yàn)、使用、運(yùn)輸、保管及維修保養(yǎng)等各個(gè)環(huán)節(jié)。第一章：為什么要研究隨機(jī)變量的分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的關(guān)系概率論研究無(wú)限次試驗(yàn)所反映出的規(guī)律，是一種數(shù)學(xué)上假設(shè)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究有限次試驗(yàn)所反映出的規(guī)律，具有工程價(jià)值。概率論是統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)，統(tǒng)計(jì)是概率的工程應(yīng)用。事實(shí)上，用已知推斷未知，用部分推斷總體不僅僅是科學(xué)發(fā)展的方向，也是工程界必須解決的問(wèn)題。特別是對(duì)于一些特殊的科學(xué)領(lǐng)域，我們很難進(jìn)行近乎無(wú)限次的實(shí)驗(yàn)，因此獲得全面而準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)存在困難，這也就是我們對(duì)隨機(jī)變量的分布規(guī)律進(jìn)行研究的原因。我們需要利用有限的數(shù)據(jù)來(lái)盡可能準(zhǔn)確地推斷出其變量分布的規(guī)律，從而分析和推斷出整個(gè)系統(tǒng)的分布規(guī)律。第二章：常見(jiàn)的隨機(jī)變量的分布類型正態(tài)分布均勻分布指數(shù)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布極值分布（Gumbel

）瑞利分布（Rayleigh）韋伯分布（Weibull

）正態(tài)分布概要

正態(tài)分布是在統(tǒng)計(jì)以及許多統(tǒng)計(jì)測(cè)試中最廣泛應(yīng)用的一類分布。在概率論中,正態(tài)分布是幾種連續(xù)分布和離散分布的極限分布。各種各樣的心理學(xué)測(cè)試和物理現(xiàn)象都被發(fā)現(xiàn)近似地服從正態(tài)分布。

通常我們用概率密度函數(shù)和累計(jì)分布函數(shù)來(lái)描述變量的分布規(guī)律。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線呈高度對(duì)稱性，被稱為“鐘型曲線”。該分布的相關(guān)特性如下表所示：正態(tài)分布概要概率密度函數(shù)累計(jì)分布函數(shù)正態(tài)分布概要在正態(tài)分布中值得注意的是：密度函數(shù)關(guān)于均值對(duì)稱均值是它的眾數(shù)(statisticalmode)以及中位數(shù)(median)函數(shù)曲線下68.268949%的面積在均值左右一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)95.449974%的面積在均值左右兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差2σ的范圍內(nèi)99.730020%的面積在均值左右三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差3σ的范圍內(nèi)99.993666%的面積在均值左右四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差4σ的范圍內(nèi)正態(tài)分布概要由上圖可以看出約68%的數(shù)值分布在距離平均值有1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的范圍，約95%數(shù)值分布在距離平均值有2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的范圍，以及約99.7%數(shù)值分布在距離平均值有3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的范圍。稱為"68-95-99.7法則"或"經(jīng)驗(yàn)法則".關(guān)于非正態(tài)分布需要轉(zhuǎn)化的一些說(shuō)明

由于正態(tài)分布具有上述一些優(yōu)良的特性，而且工程界的大多數(shù)參數(shù)都是服從正態(tài)分布的，因此在目前比較成熟的可靠性分析方法中，很多方法（改進(jìn)一次二階矩方法，一次、二次響應(yīng)面法）往往都是針對(duì)正態(tài)分布展開(kāi)的，因此我們對(duì)非正態(tài)分布變量需要采用當(dāng)量正態(tài)化。具體方法將在第三章中詳細(xì)介紹，為了能更好的理解各種分布類型的相關(guān)特性，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的獲得提供相應(yīng)參考，本章將對(duì)一些常見(jiàn)的非正態(tài)變量的分布類型分類進(jìn)行簡(jiǎn)要闡述。均勻分布概要連續(xù)型均勻分布相對(duì)簡(jiǎn)單，其分布特性列表如下：概率密度函數(shù)累計(jì)分布函數(shù)指數(shù)分布概要概率密度函數(shù)累計(jì)分布函數(shù)

對(duì)數(shù)分布概要概率密度函數(shù)累計(jì)分布函數(shù)

極值分布（Gumbel

）概率密度函數(shù)累計(jì)分布函數(shù)

其中

瑞利分布（Rayleigh）概率密度函數(shù)累計(jì)分布函數(shù)

期望值為

方差為韋伯分布（Weibull

）概率密度函數(shù)累計(jì)分布函數(shù)

期望值為

方差為第三章非正態(tài)分布的當(dāng)量正態(tài)化非正態(tài)變量轉(zhuǎn)化的基本原理是將非正態(tài)的變量當(dāng)量正態(tài)化,替代的正態(tài)分布函數(shù)要求在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)x*處的累積概率分布函數(shù)(CDF)和概率密度函數(shù)(PDF)值分別和原變量的CDF值、PDF值相等。第三章非正態(tài)分布的當(dāng)量正態(tài)化假定非正態(tài)隨機(jī)變量服從某一分布，其分布函數(shù)為，密度函數(shù)為。找到非正態(tài)變量的等價(jià)正態(tài)變量，通過(guò)計(jì)算確定兩個(gè)分布參數(shù)和。R-F法提出了如下所示的在特定點(diǎn)處的等價(jià)變換條件。（1）（2）式中，和分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)和密度函數(shù)，表示對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。第三章非正態(tài)分布的當(dāng)量正態(tài)化依據(jù)這(1),(2)式中的兩個(gè)條件，可以確定等價(jià)正態(tài)變量的兩個(gè)基本分布參數(shù)和。對(duì)(2)式取反函數(shù)有： （3）

進(jìn)而得到和的關(guān)系為（4）將(1)式代入(2)式可求得參數(shù)如下（5）

第三章非正態(tài)分布的當(dāng)量正態(tài)化

通過(guò)對(duì)上述理論公式的推導(dǎo)和分析，我們要思考的是：要對(duì)非正態(tài)變量順利實(shí)現(xiàn)當(dāng)量正態(tài)化，需要具備那些條件呢？

第三章非正態(tài)分布的當(dāng)量正態(tài)化

事實(shí)上，具備以下四個(gè)要素才能順利實(shí)現(xiàn)變量的正態(tài)化：變量服從的分布，以及它的分布參數(shù)或統(tǒng)計(jì)參數(shù)變量當(dāng)量正態(tài)化的驗(yàn)算點(diǎn)在驗(yàn)算點(diǎn)處的值和值正態(tài)分布函數(shù)的反數(shù)值常用分布的分布參數(shù)表分布形式位置參數(shù)尺度參數(shù)形狀參數(shù)均勻分布ab正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布指數(shù)分布__Weibull分布__Gumbel分布Gumma分布__Rayleigh分布__常用分布的統(tǒng)計(jì)參數(shù)表分布形式均值標(biāo)準(zhǔn)差均勻分布正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布指數(shù)分布Weibull分布Gumbel分布Gumma分布Rayleigh分布統(tǒng)計(jì)參數(shù)向分布參數(shù)的轉(zhuǎn)化分布形式位置參數(shù)尺度參數(shù)形狀參數(shù)均勻分布正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布指數(shù)分布__Weibull分布__baGumbel分布Gumma分布__Rayleigh分布__第三章非正態(tài)分布的當(dāng)量正態(tài)化

在得到各非正態(tài)變量分布參數(shù)的情況下，只需將驗(yàn)算點(diǎn)帶入各自的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)即可求得驗(yàn)算點(diǎn)處的和

值，至于各種分布的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)公式在大多數(shù)的數(shù)學(xué)資料里都有清楚的羅列，這也不是本課題的研究重點(diǎn)，在此不再獒述。那么在以上紅筆標(biāo)記的四個(gè)條件都具備的情況下，又如何求解呢？第三章非正態(tài)分布的當(dāng)量正態(tài)化

關(guān)于問(wèn)題的求解，本課題組曾提出兩個(gè)設(shè)想：直接利用maple求解出其反函數(shù)公式，然后將值帶入建立一個(gè)正態(tài)分布表的電子文檔，直接調(diào)用程序遍歷查詢那么究竟采用那種解決方案，既能更方便、準(zhǔn)確的求出結(jié)果，有能很好的和軟件源程序語(yǔ)言相結(jié)合呢？那么采用該方案的具體實(shí)現(xiàn)方式又是什么呢？第三章非正態(tài)分布的當(dāng)量正態(tài)化

結(jié)合上述思想，進(jìn)過(guò)查詢大量文獻(xiàn)，目前針對(duì)該問(wèn)題有多種具體的解決方案：1.在matlab中直接調(diào)用庫(kù)函數(shù)norminv(F(x),0,1),0,1)即可求解2.在excell中直接根據(jù)要求精度,采用庫(kù)函數(shù)NORMSINV(X)

即可返回滿足精度要求的區(qū)間點(diǎn)。3.在VB中編寫程序?qū)崿F(xiàn)4.在fotran