2021高考理數(shù)真題試卷(全國(guó)Ⅲ卷)帶答案解析

iiiiiiiii2021高理真試（國(guó)）一、選題：本題共小題，小題分，共分。（共12題；共分）已集合A={-1，，1，，，則A）A.{-1，，B.{0，C.{-1，D.{0，，【答案】【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算【解析】【解答】解集，{|

，則

，故答案為：【分析】先求出集合B，再利用交集的運(yùn)算即可得結(jié).若z（1+i，z=（）A.-1-iB.-1+iC.1-i1+i【答案】【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【解析】【解答】解：，

)

i

，故答案為：【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，即可求出復(fù)數(shù)z的數(shù)式.《西游記《三國(guó)演義水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并成為國(guó)古典小說四大名著。某中學(xué)為了了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有位則校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8【答案】C【考點(diǎn)】集合中元素個(gè)數(shù)的最值【解析】【解答】解：設(shè)集合表閱讀過《西游記》的學(xué)生，集合B表閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生，依題意，可得學(xué)生人數(shù)分別為

，，

，

，，(=70，70該閱讀過《西記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為，故答案為：【分析】利用集合中元素個(gè)數(shù)的關(guān)系式()

列式，得到閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)，即可求出與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì).

434444，結(jié)合rn5313531434n43434444，結(jié)合rn5313531434n43′,，3A.12B.16C.2024【答案】【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【解析】【解答】解的項(xiàng)公式為展式中x的數(shù)為4，

r

，故答案為：【分析】由已知利用)的項(xiàng)公式為

即求出展開式中3

的系數(shù)已各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù){}的前4項(xiàng)和為，且a=3a+4a，則a=（）A.16842【答案】C【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】【解答】解a=3a+4a，則

，

，434，解得4或

（舍）各均為正數(shù)，等數(shù)列a}前項(xiàng)和為，

1

，得，3

，故答案為：【分析由已知利用等比數(shù)列的項(xiàng)公式列式，得到q=2，由前項(xiàng)和為15列式，解得

，即可求出的.已曲線y=ae+xlnx點(diǎn)（，）處的切線方程為y=2x+b，（）A.a=e，b=-1B.a=e，a=e-1，b=1-1，b=-1【答案】【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【解析】【解答】解：依題意，點(diǎn)1，）已知曲線

??

??ln??上，

，切的斜率′

，切方程為，??，解得，故答案為：【分析】由已知可得點(diǎn)1，）曲線??

??

??ln??上求導(dǎo)并代入x=1得切線斜率的表達(dá)式，利用切線的斜率和點(diǎn)（，）切線上列式，解得

即可得結(jié)果函

???????

，在-6,6]圖像大致為（）2

f332ff3f332ff3A.D.【答案】B【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象【解析】【解答】解

?x

?x

(

，此數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)C；又當(dāng)時(shí)，

2×44?4

，除選項(xiàng)A，故答案為：【分析利函數(shù)的奇偶性排選項(xiàng)C再把x=4代入求值，利用特值法排除選項(xiàng)A，，即可判斷得到函數(shù)的大致圖象如，點(diǎn)N為方形ABCD的心eq\o\ac(△,)ECD為三角形，平面平，是線段的點(diǎn)，則（）A.BMEN，且直線BM、是相交直線BM=EN，且線BMEN是面直線【答案】B【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論【解析】【解答】解：連接，，，圖：

B.≠EN，且直，EN是交直線BM≠EN，且線，EN是面直線3

M，N分是線段，的點(diǎn)MN，直，確定一個(gè)平面，直BMEN是交直線，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a則DE=a，

aDE≠DB，BMD與不等，故答案為：【分析】由已知可證MNBE，到直線，確一個(gè)平面，可證直線BM，是交直線，再由BMDeq\o\ac(△,)END不全等，得到BM，即可判斷得結(jié)論執(zhí)下邊的程序框圖，如果輸入的??為0.01，則輸出的值等于（）4

B.,1+，不滿足條件，繼續(xù)循環(huán)；第3次22311,，滿足B.,1+，不滿足條件，繼續(xù)循環(huán)；第3次22311,，滿足條件，結(jié)束循環(huán)，輸出S的，即212122??B.22????6||4A.

1114567【答案】C【考點(diǎn)】程序框圖【解析答：執(zhí)行已知程序框圖，第1次：

1

，不滿足條件，繼續(xù)循環(huán)；第次：

111

，不滿足條件，繼續(xù)循環(huán)…；第7次

111767112

16

，故答案為：【分析行已知程序框圖，進(jìn)循環(huán)計(jì)算，直到滿足條件，結(jié)束循環(huán)，由

1712

16

，即可求出輸出S的.10.雙曲線積為（）

??4

的右焦點(diǎn)為點(diǎn)P在C的一條漸近線,為標(biāo)原點(diǎn)若則PFO的A.

34

√

3【答案】【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【解析】【解答】解雙線C：

=1，4

，

6

，

，漸近線方程為，設(shè)P在漸進(jìn)線上過作

，如圖：|

，POF是腰三角形

，代入漸進(jìn)方程中可得

3

，

1

，故答案為：5

3（3??（）＞??（3）＞（31fff4，4，23（3??（）＞??（3）＞（31fff4，4，2<2）＞（31f4

，過P作

，由

，eq\o\ac(△,)是腰三角，求出|，可求eq\o\ac(△,)的面.211.設(shè)（）定義域?yàn)镽的函數(shù)，且在0，+∞）調(diào)遞減，則（）A.（

14

??（

3223

）

B.??（

14

??（

2332

）（

3223

）＞??（

14

）

（

2332

）＞（14

）【答案】C【考點(diǎn)】不等式比較大小【解析】【解答】解是義域?yàn)镽的偶數(shù)，f3

，)3

3

又

3223

，

3232233323

43

，在(0,單調(diào)遞減，（

3223

）＞（

14

），故答案為：【分析】由已知是函數(shù)，得到

f

，用??(的單調(diào)性，即可比較大.312.設(shè)函數(shù)f（=sinωx+

??5

）（），已如f（）在0，有且僅有5個(gè)點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論①f（（，有僅有3個(gè)大值點(diǎn)（（，有僅有個(gè)極小值③（，

??10

）單調(diào)遞增④ω的值范

125

，

10

）其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A.①B.②C.①①【答案】【考點(diǎn)】由（）部分圖象確定其解析式【解析】【解答】解：由已知畫出函數(shù)的大致圖象，如圖：6

ππ55π5ππ5πππnn121??5=2??511111222??1ππ55π5ππ5πππnn121??5=2??511111222??122222由圖可知在）有且僅有3個(gè)大值點(diǎn)，故正確；

π

在EF之，靠近點(diǎn)，有且僅有2個(gè)小點(diǎn)，靠近點(diǎn)，有且僅有3個(gè)小值點(diǎn)，②錯(cuò)；令??(，可得，的坐標(biāo)分別為

24,ωω

，則

24ω

ω

，解得的取值范圍是

125

，)，④正；由可的最10大值ω，到函數(shù)在單遞增，即在（0,5

10

）單調(diào)遞增，故正確，故答案為：【分析】由已知畫出函數(shù)的大致圖象，利用圖象得正確，錯(cuò)誤，再利用函數(shù)??(的質(zhì)得到③正確，即可得結(jié)論二、填題:本題共4小題,每題分,共20分.（共4題；共分13.已知，b單位向量，且a-b=0，c=2a-5

b則cos<a，。【答案】

【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角【解析【解答】解1，·??，√5??，展開整理可得，又5故答案為：.

，

，【分析知

5

，展開整理可得|，再求出，代入向量的夾角公式即可14.記S為差數(shù)列a項(xiàng)，若a≠0a=3a，則【答案】4【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

10??

=________?！窘馕觥俊窘獯稹拷獾葦?shù)列n}1，1

，

1

，

10??

105+10

10025

，故答案為：【分析】由已知得到

1

，利用等差數(shù)列的求和公式，代入化簡(jiǎn)即可求.15.設(shè)，F(xiàn)為圓C

36

的個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，eq\o\ac(△,)F為腰角形，則M的坐標(biāo)________?！敬鸢浮?5)【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)【解析】【解答】解橢C:

36

??

1，則5

，4，?4,0),1

，設(shè)

,，

036

0

1

，1

為等腰三角形，|

1

，7

01111110111111

√(②，①②解得000

，則M的坐標(biāo)為√

，故答案為：√.【分析】由已知M為C上一點(diǎn)，得到

2203620

，再由

為等腰三角形，得到|

2

，利用兩點(diǎn)間的距離公式，得到√(22，由②可解出的坐標(biāo)0016.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型，如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD-ABD，挖去四棱推O一EFGH后得的幾何體，其中O為方體的中心，，，別為所在棱的中點(diǎn)，，，打印所原料密度為2質(zhì)量為_______g.

，不慮打印損耗，制作該模型所需原料的【答案】118.8【考點(diǎn)】組合幾何體的面積、體積問題【解析】【解答】解EF，分為所在棱的中點(diǎn)，6

，四錐—EFGH的積2

四邊形

1

122

，又長(zhǎng)體????，

的體積×62

，該型的體積

2制該模型所需料的質(zhì)量為，故答案為118.8.【分析】由已知得到四棱錐O-和長(zhǎng)方體

的體積，求出該模型的體積

2

，即可求出制作該模型所需原料的質(zhì).三、解題，共70分，第17~21題為必考，每個(gè)題考生都必作答。、23題為選考題，生根據(jù)要求答：（5題；共分）17.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只鼠隨機(jī)分成A，兩，每組100只其中組鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同。經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分根試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：8

2sin，故，故eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)??°??2sin，故，故eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)??°??sin????)．eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)??記為件：乙子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到（）的估計(jì)值為0.70.（）乙離子留百分比直方圖中，的；（）別估計(jì)，乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中值為代表）【答案】（）：由已知得，a=0.35–0.70=0.10．（）離子殘百分比的平均值的估計(jì)值為乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為【考點(diǎn)】頻率分布直方圖，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)【解析析已利用頻率分布直方圖，百分比不低于的估計(jì)值為列式，即可求出a，b的值；2）頻率分布直方圖平均數(shù)的計(jì)算公式利用區(qū)間的中點(diǎn)值為代表列式，即可求出平均18.ABC的角、C的邊分別為，，，知

????2

??（）；（）eq\o\ac(△,)為角三角形，且，eq\o\ac(△,)ABC面積的取值范圍【答案】（）：由題設(shè)及正弦定理得

????2

．因?yàn)閟inA0所以

????2

．由????°，得

????2

2222

．因?yàn)閏os

22

，因此．（）題設(shè)及1）eq\o\ac(△,)ABC的積4

．由正弦定理得

2tan

．由于ABC為角三角形，故0°<A<90°，，，所以，從而29

2

2，

,,因此eq\o\ac(△,)面積的取值范圍是

3382

．【考點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用，三角形中的幾何計(jì)算【解析【析】1）已知利用正弦定理列式，結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，即可求出角B的值；2）用正弦定理列式，結(jié)eq\o\ac(△,)為角三角形得到

12

2，即可求eq\o\ac(△,)ABC面的取值范圍．19.圖1是矩形ADEB、eq\o\ac(△,)ABC和菱形BFCC組的一個(gè)平面圖形，其中，BE=BF=2，F(xiàn)BC=60°，將其沿AB，折使得BE與BF重，連結(jié)DC，如題（）明：圖中的AC，G，四共面，且平面ABC平；（）圖2中的二面角B-CG-A的小【答案（：由已知得BECG，所以ADCG故，確定一個(gè)平面，從而A，，G，四共面．由已知得BE，，故AB平．又因?yàn)槠矫鍭BC，所以平面ABC平面．（EHBC垂足為．為EH平，面BCGE平ABC，以EH平ABC．由已知，菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2EBC=60°，求得BH=1，3

．以為標(biāo)原點(diǎn)，

的方向?yàn)閤10

即,時(shí)，′；當(dāng)??即,時(shí)，′；當(dāng)??時(shí),(,單調(diào)遞增，在(0,+∞時(shí)，′；3軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H–xyz，

則A（–1，0）C（，，）（，，

），

（，，

），

=（，–10）．設(shè)平的法向?量為=（，，），則{

所以可取（，，–

）．又平面的向量可取為（，，）所以

．因二面角–CG–A的大小為．【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角【解析【分析】（1）已知可證CG，到，確一個(gè)平面，即可證明結(jié)論；2）作輔助線，可證EH平ABC，再建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與面的法向量，代入向量的夾角公式，即可求出二面角–A的小20.已知函數(shù)（）3-ax+b.（）論f（）單性；（是否存在a，，得區(qū)，的小值為1且大值為？存在，求出，的有值；若不存在，說明理由?！敬鸢浮浚ǎ海睢?，x=0或??.若a>0，則當(dāng)??∞(

′(．??(在∞

單調(diào)遞減；若a=0在,

單調(diào)遞增；若a<0則當(dāng)(∞

,

時(shí)，′(．在∞,∞單遞增，在,（）足題設(shè)件的b存在.

單調(diào)遞減.（）當(dāng)a時(shí)由）知，在，單遞增，所以在間0的小值為

，大值為.此，滿題設(shè)條件當(dāng)且僅??，，a=0，??．（當(dāng)時(shí)（知在0，單遞減，所以在區(qū)間，的大值為??，最小值為．時(shí)a，滿題設(shè)條件當(dāng)且僅，，即a=4b=1．（當(dāng)時(shí)1，??(在0，的小值為11

，最大值為b或2．

333221112222333221112222若若

??27??27

，，??2，與矛.，2??，??=33或??3或a=0，矛盾．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a=0或a=4，時(shí)，在[，的小值為1，最大值為1．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值【解析導(dǎo)令，x=0或

??3

，分三種情況討論，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2先判斷滿足題設(shè)條件的，b存，再分三種情況討論a，用1）中函數(shù)單調(diào)性分別求出a，的進(jìn)行判斷，即可得結(jié).21.已知曲線C:

2

，為線y=-

2

的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的條切線切點(diǎn)分別為A，（）明：直過定點(diǎn)；（）以E（，

52

）為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段AB的點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積【答案設(shè)

，則2

.由于′

，所以切線DA斜率為，故

2

.整得

設(shè)??(

,)，同理可得222

.故線的程為2..所以直線過定點(diǎn)2（（得線的程為??.由22

，可得

2

.于是2222.222

2

，

|

2設(shè),

分別為點(diǎn)，到線的離，則

??

22

22

.因此，四邊形的面積??

2

2

2.設(shè)M為線段的中點(diǎn)，則

2

.2由于

，而22)，

與向量??平，所以??

2

.解t=0或.當(dāng)=0時(shí)；當(dāng)時(shí)

.因此，四邊形ADBE的面積為或√

.【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【分析】1先求導(dǎo)，分別得到切線和的程，可得直線AB的程，即可證明直線過定點(diǎn)；（）（）直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離式，分別得到|AB|與，到直線AB的距離，由

與向量平列式，即可求出四邊形ADBE的積12

，，123123123,,ππ133π若，則，解得；3π35ππ5,,,,四、選題，，123123123,,ππ133π若，則，解得；3π35ππ5,,,,22.[選修4-4：標(biāo)系與參數(shù)方]如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，（，，2

，

????44

，，，，，

所在圓的圓心分別是，）（，

??

），（，），曲線M是，線M是，曲線M是。（）別寫出M，M，M的坐標(biāo)方程