7.4 二項分布與超幾何分布(精講)

二分與幾分（講思維導常見考1/

42433234243323考一二分【例全高二課時練）高爾釘板在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行水間隔相等的圓柱形鐵釘如圖)，并且每排鐵釘數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個鐵釘恰好對準上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒霃娜肟谔幏湃胍粋€直徑略小于兩顆鐵釘間隔的小球，當小球從兩釘之間的間隙下時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去，在最底層5個出口處各放置一個容器接住小.（1理論上，小球落入4號器的概率是多少？（2一數(shù)學興趣小組取3個球進行試驗，設其中落入4號容器的小球的個數(shù)為，求的布列.【答案）

）布列答案見解析【解析）記“小球落入4號器”為事件A

，若要小球落入4號容，則需要在通過的四層中有三層向右，一層向左，∴理論上，小球落入4號容器的率P)

34

.（2落入4號器的小球的個數(shù)X的有可能取值為0，2，(0)01

2764

，1127(11，44642/

23333122333312k3320k20Ck3320(2)21，641(3)364X的分布列為

，X

0123P

2764

2764

964

164【一隅三反】1重慶市第七中學校高月考）若隨機變量

～4,

，則

E

（）A．2【答案】

BCD．5【解析】因為

1～B2

，所以

4

12

，以E

.故選：2選全高二單測試）已知隨機變量

1

，若使

P(X)

的值最大，則等（）A．5【答案】BC

BC

D【解析】令

C

k

202

，得k，即當6時，

PX(X)

；當

時，

((

；當

時，

PP()

，所以

(X和PX

的值最大.故選：.3/

21210102，10101000310100021210102，1010100031010003江蘇淮安市·淮陰中高二期末）江蘇實行的“新高考方案：32”式其中統(tǒng)考科目：“3”語文、數(shù)學、外語三門，不分文理：學生根據(jù)高校的要求，結合自身特長興趣”首先在在物理、歷史門科目中選擇一門”再從思想政治、地理、化學、生物4門目中選擇2門校，根據(jù)統(tǒng)計選物理的學生占整個學生的

34

且在選物理的條件下?lián)窭淼母怕蕿檫x歷史的條件下，選地理的概率為

．（1求該校最終選地理的學生率；（2該校甲、乙、丙三人選地的人數(shù)設為隨機變量．①求隨機變量X2的概率；②求X的概率分布列以及數(shù)學期望．【答案）

）；分布列見解，

2110

.【解析）該校最終選地理的生為事件A因此，該校最終選地理的學生為；

，

31474410

；（2①由題意可知，

7B3,

，所以，

X

3

3441；101000②由于

B

，則

310

3

27，10003

1891000

，3

4413

343

，所以，隨機變量的分布列如下表所示X

0

1

PE

71010

271894413431000100010001000．4/

224213313333444224213313333444444陜西渭南市）已知某物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為，植物研究所分三個小組分別獨立進行該種子的發(fā)芽試驗，每次試驗種一粒種子，每次試驗結果相互獨.假某次試驗種子發(fā)芽，稱該次試驗是成功的，如果種子沒有發(fā)芽，則稱該次試驗是失敗.（1第一小組做了四次試驗，該小組恰有兩次失敗的概率；（2第二小組做了四次試驗，試驗成功與失敗的次數(shù)的差的絕對值為X，求的布列及數(shù)學期望【答案）

）案見解析；.【解析）記“該小組有兩次敗”為事件A

，24P(A27

.（2由題意可知X的可能取值為0，4.P(4

827

，PX4

，8181P(X4)0.81故X的布列為：X

024P

827

4081

1781(X)

8401714827

.考二超何布【例全高二單元測）現(xiàn)對某高校6名籃運動員在多次訓練比賽中的得分進行統(tǒng)，將每位運動員的平均成績所得數(shù)據(jù)用頻率分布直方圖表示如下區(qū)[10內(nèi)頻率/組距0.0125)規(guī)定分數(shù)在10，20)，[20，30)，[30，40)的運動員分別為三級籃球運動員、二級籃球運動員、一級籃球運動員，現(xiàn)從這批籃球運動員中利用分層抽樣的方法選出16名動員作為該高校的籃球運動員表．5/

321321（1求a的值和選出籃球運動員代表中一級運動員的人數(shù)；（2若從籃球運動員代表中選三人，求其中含有一級運動員人數(shù)X的分布列；（3若從該?；@球運動員中有回地選三人，求其中含有一級運動員人數(shù)Y的期望．【答案）a，4人）案見解析

34

.【解析）由頻率分布直方圖(0.0625＋0.0500＋0.0375＋＝1∴＝0.0250.其中為一級運動員的概率(0.0125＋0.0375)×5＝0.25∴選出籃球運動員代表中一級運動員為＝4．（2由已知可得X的能取值分別為0，1，3，CP(X＝0)＝＝，C316CP(X＝1)＝124＝，C316CP(X＝2)＝1＝，C70C3P(X＝3)＝＝，C314016∴X的布列為X

0123P

11332870

11401（3由已知得～(3,)，4∴(＝np＝3×

1＝，46/

∴含有一級運動員人數(shù)的望

34

.【一隅三反】1全國高二課時練習）冠肺炎疫情期間，為了更有效地進行防控，各地學校都發(fā)出延期開學的通知.很多學校及老師為響應各教育行政部門實行“停課不停學”的號召，讓學生們在家通過收看網(wǎng)絡直播的方式進行學習，已知高一某班共有學生21人其中男生12人女生9人現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，試他們對網(wǎng)絡課程學習的效果，效果分為優(yōu)秀和不優(yōu)秀兩種，優(yōu)秀得2分不優(yōu)秀分.（1應抽取男生女各多少人？（2若抽取的7人，人的試效果為優(yōu)秀3人為不優(yōu)秀，現(xiàn)從這7人隨機抽取3人（i用X表示抽取的3人得分之，求隨機變量x的分布列及數(shù)學期望；（ii）設事件A為抽取的人中，既有測試效果為優(yōu)秀的，也有為不優(yōu)秀的件發(fā)的概率【答案）4人）分布列答案見解析，數(shù)學期望：

6）.7【解析）因為采用分層抽樣方法進行抽樣，所以應抽取女生

7

9人抽取男421

人（2）隨機變量的有可能取值為3，4，6.(X3)

C11C4，P(4)3CC377

，P(X5)

C3044，P43CC7

，所以隨機變量的布列為X

3456P

135

1235

1835

435數(shù)學期望

(X)

11233353535

.（ii）由（i）知

()PX4)(X

12183535

，故事件A

發(fā)生的概率為

67

.2綿市·四川省綿陽油中學）某校五四青年藝術節(jié)選拔主持人，現(xiàn)有來自高一年級參賽選名，其中男生2名;高二年級參選手4，其中男生.從這8名賽選手中隨機選擇4人成搭檔參7/

2222賽.（Ⅰ）設A為事件“選出的4人恰有2名生，且這2名生來自同一個年級事件發(fā)的概率（Ⅱ）設X為選出的4人男生的人數(shù)，求隨機變量X分布列和數(shù)學期望【答案）

635

（Ⅱ）分布列見解析，數(shù)學期望

【解析）已知有

C

22623C8

6，所以事件A發(fā)生的概率為.35（Ⅱ）隨機變量X的所可能取為1，2，3，4

Ck45C8

1,2,3,4

所以隨機變量X的分布列為X

1

1P14所以隨機變量X的數(shù)學期望

3377135147142

.

1143北京東城區(qū)）為了解生自主學習期間完成數(shù)學套卷的情況，一名教師對某班級的所有學生進行了調(diào)查，調(diào)查結果如下.（1從這班學生中任選一名男，一名女生，求這兩名學生完成套卷數(shù)之和為4的率？（2若從完成套卷數(shù)不少于4套的學生中任選4人，設選到的男學生人數(shù)為X，求隨機變量X的布列和數(shù)學期望；（3試判斷男學生完成套卷數(shù)方差

與女學生完成套卷數(shù)的方差s1

的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y論）【答案）

796

（2）詳見解析（）

21【解析）設事件4,

：從這個班級的學生中隨機選取一名男,名女,這兩名學生完成套卷數(shù)之和為8/

由題意可知

11296

.（2完成套卷數(shù)不少于4本學生共人其男學生人數(shù)為4人,故的值為0,1,2,3,4.由題意可得

C4C8

；

C44C8

；

C44C8

；P

X

C3C44C8

；

C4C8

.所以隨機變量的布列為X

0124P

170

835

1835

835

170隨機變量的值2(3).1

116170707070

.考三二分與超何布合用【3浙臺州市高二期中年五一期間，銀泰百貨舉辦了一次有獎促銷活，消費每超過元含600元，可抽獎次，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一.方案一：從裝10個形狀大完全相同的小球(其中球2個，白球1個，黑球7個的獎盒中，一次性摸出3個其中獎規(guī)則為：若摸到2個紅和1個球，享受免單優(yōu)惠；若摸出個紅和1個球則打5折；摸1個白球2個球打7折余情況不打方案二裝有10個形狀大小完全相同的小球其中紅3個，黑球7個)的抽獎盒中，有放回每次摸取1球連摸次每摸到1次球，立減200元（1若兩個顧客均分別消費了600元且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概；（2若某顧客消費恰好滿1000元，試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？9/

【答案）

114400

）擇第二種方案更合算.【解析）選擇方案一若享受免單優(yōu)惠，則需要摸出三個紅球，設顧客享受到免單優(yōu)惠為事件A，則

C121C10

，所以兩位顧客均享受到免單的概率為

；（2若選擇方案一，設付款金為元則可的取值為、CC2，PX50027，C31010

、

、

.

CC71，PC10

77120120

.故X的布列為，所以

XP

500700017712040120177911000910120120120

（元）

100091120若選擇方案二，設摸到紅球的個數(shù)為，款金額為Z，

Z

，由已知可得

3Y~3,

，故

31010

，所以

E200

（元）因為

E抽方案更合.【一隅三反】1遼大連市）學校游活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個球2個球，乙箱子里裝有1個白2個黑球，這些除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸2個，若摸出的白球不少于2個，獲獎次游戲結束后將球放回原箱）（1求在1次戲中，①摸出3個白的概率；②獲獎的概率；10/

32410221010343241022101034（2求在4次戲中獲獎次數(shù)X的布列及數(shù)學期望【答案）①，②）布列見解析，.105

(X

.【解析）設“在次戲中摸出i個白球”為事件

(i0,1,2,3),iC11(A)·2①C255②設“在1次戲中獲獎”為事，則

2

，又

C2P(A)·2C25

C1132C25

且，互，所以

()P()(A)23

1172510

（2由題意可知X的有可能取值為0，1，3，4，由（1）

()

，

()()

310

，(B

4

38110000

，(P(B)4

()

3

710

3

1892500

，(2))4

2

13235000()4

()

310292500(X所以X的分列是

724011010000X0123P

81189132310292401100002500500025001000011/14

01233230，01233230，顯然

7~B，10

，所以X的學期望E(X)=

．2廣東云浮市）甲、乙某公司應聘面該公司的面試方案:應聘者從6道選題中次性隨機抽取3道，照答對題目的個數(shù)為標準進行篩.已知道備題中應聘者甲有4道能正確完成2道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是

，且每題正確完成與否互不影.(1)分別求甲、乙兩人正確完成試題數(shù)的分布列，并計算其數(shù)學期;(2)請分析比較甲、乙兩人誰的試通過的可能性較?【答案】(1)甲乙的分布列見解析；甲的數(shù)學期望2、乙的數(shù)學期望2；(2)甲過面試的概率較大．【解析）設X為甲正確完成面試題的數(shù)量，為乙正確完成面試題的數(shù)量，依題意可得：

XH

，∴

P(X

C

12C4，(4，(3)C5CC6

，∴X的布列為：X

123P

15

35

15∴

1312555

．Y~B3,

，12∴Y，1，27279P(Y2)

23

12427

，Y3

∴Y的布