7.4 二項(xiàng)分布與超幾何分布(精講)

二分與幾分（講思維導(dǎo)常見(jiàn)考1/

42433234243323考一二分【例全高二課時(shí)練）高爾釘板在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行水間隔相等的圓柱形鐵釘如圖)，并且每排鐵釘數(shù)目都比上一排多一個(gè)，一排中各個(gè)鐵釘恰好對(duì)準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒霃娜肟谔幏湃胍粋€(gè)直徑略小于兩顆鐵釘間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下時(shí)，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過(guò)兩鐵釘?shù)拈g隙，又到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去，在最底層5個(gè)出口處各放置一個(gè)容器接住小.（1理論上，小球落入4號(hào)器的概率是多少？（2一數(shù)學(xué)興趣小組取3個(gè)球進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)其中落入4號(hào)容器的小球的個(gè)數(shù)為，求的布列.【答案）

）布列答案見(jiàn)解析【解析）記“小球落入4號(hào)器”為事件A

，若要小球落入4號(hào)容，則需要在通過(guò)的四層中有三層向右，一層向左，∴理論上，小球落入4號(hào)容器的率P)

34

.（2落入4號(hào)器的小球的個(gè)數(shù)X的有可能取值為0，2，(0)01

2764

，1127(11，44642/

23333122333312k3320k20Ck3320(2)21，641(3)364X的分布列為

，X

0123P

2764

2764

964

164【一隅三反】1重慶市第七中學(xué)校高月考）若隨機(jī)變量

～4,

，則

E

（）A．2【答案】

BCD．5【解析】因?yàn)?/p>

1～B2

，所以

4

12

，以E

.故選：2選全高二單測(cè)試）已知隨機(jī)變量

1

，若使

P(X)

的值最大，則等（）A．5【答案】BC

BC

D【解析】令

C

k

202

，得k，即當(dāng)6時(shí)，

PX(X)

；當(dāng)

時(shí)，

((

；當(dāng)

時(shí)，

PP()

，所以

(X和PX

的值最大.故選：.3/

21210102，10101000310100021210102，1010100031010003江蘇淮安市·淮陰中高二期末）江蘇實(shí)行的“新高考方案：32”式其中統(tǒng)考科目：“3”語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)，不分文理：學(xué)生根據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長(zhǎng)興趣”首先在在物理、歷史門(mén)科目中選擇一門(mén)”再?gòu)乃枷胝?、地理、化學(xué)、生物4門(mén)目中選擇2門(mén)校，根據(jù)統(tǒng)計(jì)選物理的學(xué)生占整個(gè)學(xué)生的

34

且在選物理的條件下?lián)窭淼母怕蕿檫x歷史的條件下，選地理的概率為

．（1求該校最終選地理的學(xué)生率；（2該校甲、乙、丙三人選地的人數(shù)設(shè)為隨機(jī)變量．①求隨機(jī)變量X2的概率；②求X的概率分布列以及數(shù)學(xué)期望．【答案）

）；分布列見(jiàn)解，

2110

.【解析）該校最終選地理的生為事件A因此，該校最終選地理的學(xué)生為；

，

31474410

；（2①由題意可知，

7B3,

，所以，

X

3

3441；101000②由于

B

，則

310

3

27，10003

1891000

，3

4413

343

，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示X

0

1

PE

71010

271894413431000100010001000．4/

224213313333444224213313333444444陜西渭南市）已知某物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為，植物研究所分三個(gè)小組分別獨(dú)立進(jìn)行該種子的發(fā)芽試驗(yàn)，每次試驗(yàn)種一粒種子，每次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú).假某次試驗(yàn)種子發(fā)芽，稱(chēng)該次試驗(yàn)是成功的，如果種子沒(méi)有發(fā)芽，則稱(chēng)該次試驗(yàn)是失敗.（1第一小組做了四次試驗(yàn)，該小組恰有兩次失敗的概率；（2第二小組做了四次試驗(yàn)，試驗(yàn)成功與失敗的次數(shù)的差的絕對(duì)值為X，求的布列及數(shù)學(xué)期望【答案）

）案見(jiàn)解析；.【解析）記“該小組有兩次敗”為事件A

，24P(A27

.（2由題意可知X的可能取值為0，4.P(4

827

，PX4

，8181P(X4)0.81故X的布列為：X

024P

827

4081

1781(X)

8401714827

.考二超何布【例全高二單元測(cè)）現(xiàn)對(duì)某高校6名籃運(yùn)動(dòng)員在多次訓(xùn)練比賽中的得分進(jìn)行統(tǒng)，將每位運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)所得數(shù)據(jù)用頻率分布直方圖表示如下區(qū)[10內(nèi)頻率/組距0.0125)規(guī)定分?jǐn)?shù)在10，20)，[20，30)，[30，40)的運(yùn)動(dòng)員分別為三級(jí)籃球運(yùn)動(dòng)員、二級(jí)籃球運(yùn)動(dòng)員、一級(jí)籃球運(yùn)動(dòng)員，現(xiàn)從這批籃球運(yùn)動(dòng)員中利用分層抽樣的方法選出16名動(dòng)員作為該高校的籃球運(yùn)動(dòng)員表．5/

321321（1求a的值和選出籃球運(yùn)動(dòng)員代表中一級(jí)運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)；（2若從籃球運(yùn)動(dòng)員代表中選三人，求其中含有一級(jí)運(yùn)動(dòng)員人數(shù)X的分布列；（3若從該?；@球運(yùn)動(dòng)員中有回地選三人，求其中含有一級(jí)運(yùn)動(dòng)員人數(shù)Y的期望．【答案）a，4人）案見(jiàn)解析

34

.【解析）由頻率分布直方圖(0.0625＋0.0500＋0.0375＋＝1∴＝0.0250.其中為一級(jí)運(yùn)動(dòng)員的概率(0.0125＋0.0375)×5＝0.25∴選出籃球運(yùn)動(dòng)員代表中一級(jí)運(yùn)動(dòng)員為＝4．（2由已知可得X的能取值分別為0，1，3，CP(X＝0)＝＝，C316CP(X＝1)＝124＝，C316CP(X＝2)＝1＝，C70C3P(X＝3)＝＝，C314016∴X的布列為X

0123P

11332870

11401（3由已知得～(3,)，4∴(＝np＝3×

1＝，46/

∴含有一級(jí)運(yùn)動(dòng)員人數(shù)的望

34

.【一隅三反】1全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）冠肺炎疫情期間，為了更有效地進(jìn)行防控，各地學(xué)校都發(fā)出延期開(kāi)學(xué)的通知.很多學(xué)校及老師為響應(yīng)各教育行政部門(mén)實(shí)行“停課不停學(xué)”的號(hào)召，讓學(xué)生們?cè)诩彝ㄟ^(guò)收看網(wǎng)絡(luò)直播的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，已知高一某班共有學(xué)生21人其中男生12人女生9人現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，試他們對(duì)網(wǎng)絡(luò)課程學(xué)習(xí)的效果，效果分為優(yōu)秀和不優(yōu)秀兩種，優(yōu)秀得2分不優(yōu)秀分.（1應(yīng)抽取男生女各多少人？（2若抽取的7人，人的試效果為優(yōu)秀3人為不優(yōu)秀，現(xiàn)從這7人隨機(jī)抽取3人（i用X表示抽取的3人得分之，求隨機(jī)變量x的分布列及數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)事件A為抽取的人中，既有測(cè)試效果為優(yōu)秀的，也有為不優(yōu)秀的件發(fā)的概率【答案）4人）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：

6）.7【解析）因?yàn)椴捎梅謱映闃臃椒ㄟM(jìn)行抽樣，所以應(yīng)抽取女生

7

9人抽取男421

人（2）隨機(jī)變量的有可能取值為3，4，6.(X3)

C11C4，P(4)3CC377

，P(X5)

C3044，P43CC7

，所以隨機(jī)變量的布列為X

3456P

135

1235

1835

435數(shù)學(xué)期望

(X)

11233353535

.（ii）由（i）知

()PX4)(X

12183535

，故事件A

發(fā)生的概率為

67

.2綿市·四川省綿陽(yáng)油中學(xué)）某校五四青年藝術(shù)節(jié)選拔主持人，現(xiàn)有來(lái)自高一年級(jí)參賽選名，其中男生2名;高二年級(jí)參選手4，其中男生.從這8名賽選手中隨機(jī)選擇4人成搭檔參7/

2222賽.（Ⅰ）設(shè)A為事件“選出的4人恰有2名生，且這2名生來(lái)自同一個(gè)年級(jí)事件發(fā)的概率（Ⅱ）設(shè)X為選出的4人男生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X分布列和數(shù)學(xué)期望【答案）

635

（Ⅱ）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望

【解析）已知有

C

22623C8

6，所以事件A發(fā)生的概率為.35（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所可能取為1，2，3，4

Ck45C8

1,2,3,4

所以隨機(jī)變量X的分布列為X

1

1P14所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望

3377135147142

.

1143北京東城區(qū)）為了解生自主學(xué)習(xí)期間完成數(shù)學(xué)套卷的情況，一名教師對(duì)某班級(jí)的所有學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下.（1從這班學(xué)生中任選一名男，一名女生，求這兩名學(xué)生完成套卷數(shù)之和為4的率？（2若從完成套卷數(shù)不少于4套的學(xué)生中任選4人，設(shè)選到的男學(xué)生人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的布列和數(shù)學(xué)期望；（3試判斷男學(xué)生完成套卷數(shù)方差

與女學(xué)生完成套卷數(shù)的方差s1

的大?。ㄖ恍鑼?xiě)出結(jié)論）【答案）

796

（2）詳見(jiàn)解析（）

21【解析）設(shè)事件4,

：從這個(gè)班級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)選取一名男,名女,這兩名學(xué)生完成套卷數(shù)之和為8/

由題意可知

11296

.（2完成套卷數(shù)不少于4本學(xué)生共人其男學(xué)生人數(shù)為4人,故的值為0,1,2,3,4.由題意可得

C4C8

；

C44C8

；

C44C8

；P

X

C3C44C8

；

C4C8

.所以隨機(jī)變量的布列為X

0124P

170

835

1835

835

170隨機(jī)變量的值2(3).1

116170707070

.考三二分與超何布合用【3浙臺(tái)州市高二期中年五一期間，銀泰百貨舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活，消費(fèi)每超過(guò)元含600元，可抽獎(jiǎng)次，抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一.方案一：從裝10個(gè)形狀大完全相同的小球(其中球2個(gè)，白球1個(gè)，黑球7個(gè)的獎(jiǎng)盒中，一次性摸出3個(gè)其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到2個(gè)紅和1個(gè)球，享受免單優(yōu)惠；若摸出個(gè)紅和1個(gè)球則打5折；摸1個(gè)白球2個(gè)球打7折余情況不打方案二裝有10個(gè)形狀大小完全相同的小球其中紅3個(gè)，黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中，有放回每次摸取1球連摸次每摸到1次球，立減200元（1若兩個(gè)顧客均分別消費(fèi)了600元且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概；（2若某顧客消費(fèi)恰好滿(mǎn)1000元，試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？9/

【答案）

114400

）擇第二種方案更合算.【解析）選擇方案一若享受免單優(yōu)惠，則需要摸出三個(gè)紅球，設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件A，則

C121C10

，所以?xún)晌活櫩途硎艿矫鈫蔚母怕蕿?/p>

；（2若選擇方案一，設(shè)付款金為元?jiǎng)t可的取值為、CC2，PX50027，C31010

、

、

.

CC71，PC10

77120120

.故X的布列為，所以

XP

500700017712040120177911000910120120120

（元）

100091120若選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為，款金額為Z，

Z

，由已知可得

3Y~3,

，故

31010

，所以

E200

（元）因?yàn)?/p>

E抽方案更合.【一隅三反】1遼大連市）學(xué)校游活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)球2個(gè)球，乙箱子里裝有1個(gè)白2個(gè)黑球，這些除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸2個(gè)，若摸出的白球不少于2個(gè)，獲獎(jiǎng)次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（1求在1次戲中，①摸出3個(gè)白的概率；②獲獎(jiǎng)的概率；10/

32410221010343241022101034（2求在4次戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的布列及數(shù)學(xué)期望【答案）①，②）布列見(jiàn)解析，.105

(X

.【解析）設(shè)“在次戲中摸出i個(gè)白球”為事件

(i0,1,2,3),iC11(A)·2①C255②設(shè)“在1次戲中獲獎(jiǎng)”為事，則

2

，又

C2P(A)·2C25

C1132C25

且，互，所以

()P()(A)23

1172510

（2由題意可知X的有可能取值為0，1，3，4，由（1）

()

，

()()

310

，(B

4

38110000

，(P(B)4

()

3

710

3

1892500

，(2))4

2

13235000()4

()

310292500(X所以X的分列是

724011010000X0123P

81189132310292401100002500500025001000011/14

01233230，01233230，顯然

7~B，10

，所以X的學(xué)期望E(X)=

．2廣東云浮市）甲、乙某公司應(yīng)聘面該公司的面試方案:應(yīng)聘者從6道選題中次性隨機(jī)抽取3道，照答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行篩.已知道備題中應(yīng)聘者甲有4道能正確完成2道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是

，且每題正確完成與否互不影.(1)分別求甲、乙兩人正確完成試題數(shù)的分布列，并計(jì)算其數(shù)學(xué)期;(2)請(qǐng)分析比較甲、乙兩人誰(shuí)的試通過(guò)的可能性較?【答案】(1)甲乙的分布列見(jiàn)解析；甲的數(shù)學(xué)期望2、乙的數(shù)學(xué)期望2；(2)甲過(guò)面試的概率較大．【解析）設(shè)X為甲正確完成面試題的數(shù)量，為乙正確完成面試題的數(shù)量，依題意可得：

XH

，∴

P(X

C

12C4，(4，(3)C5CC6

，∴X的布列為：X

123P

15

35

15∴

1312555

．Y~B3,

，12∴Y，1，27279P(Y2)

23

12427

，Y3

∴Y的布