高中數(shù)學(xué)人教A版第一章集合與函數(shù)概念（市一等獎）

第一章集合與函數(shù)概念函數(shù)的基本性質(zhì)單調(diào)性與最大(小)值(第二課時)學(xué)習(xí)目標(biāo)①通過實例,使學(xué)生體會、理解函數(shù)的最大(小)值及其幾何意義,能夠借助函數(shù)圖象的直觀性得出函數(shù)的最值,培養(yǎng)以形識數(shù)的解題意識;②能夠用函數(shù)的性質(zhì)解決日常生活中簡單的實際問題,使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的必要性與重要性,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的緊迫感,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.合作學(xué)習(xí)一、設(shè)計問題,創(chuàng)設(shè)情境某工廠為了擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模,計劃重新建造一個面積為10000m2的矩形新廠址,新廠址的長為xm,則寬為10000xm,所建圍墻ym,假如你是這個工廠的廠長,你會選擇一個長和寬各為多少米的矩形土地,使得新廠址的圍墻y最短二、自主探索,嘗試解決問題1:如圖所示是函數(shù)y=-x2-2x,y=-2x+1(x∈[-1,+∞)),y=f(x)的圖象.觀察這三個圖象的共同特征.問題2:你是怎樣理解函數(shù)y=f(x)的圖象的?問題3:你是怎樣理解函數(shù)圖象最高點的?問題4:問題1中,在函數(shù)y=f(x)的圖象上任取一點A(x,y),如圖所示,設(shè)點C的坐標(biāo)為(x0,y0),誰能用數(shù)學(xué)符號解釋:函數(shù)y=f(x)的圖象有最高點C?三、信息交流,揭示規(guī)律問題5:在數(shù)學(xué)中,形如問題1中函數(shù)y=f(x)的圖象上最高點C的縱坐標(biāo)就稱為函數(shù)y=f(x)的最大值.誰能給出函數(shù)最大值的定義?1.函數(shù)最大值的定義問題6:函數(shù)最大值的定義中f(x)≤M即f(x)≤f(x0),這個不等式反映了函數(shù)y=f(x)的函數(shù)值具有什么特點?其圖象又具有什么特征?問題7:函數(shù)最大值的幾何意義是什么?問題8:函數(shù)y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值嗎?為什么?問題9:點(-1,3)是不是函數(shù)y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高點?問題10:由這個問題你發(fā)現(xiàn)了什么值得注意的地方?問題11:類比函數(shù)的最大值,請你給出函數(shù)最小值的定義及其幾何意義.2.函數(shù)最小值的定義問題12:類比問題10,你認(rèn)為討論函數(shù)最小值應(yīng)注意什么?四、運用規(guī)律,解決問題【例1】求函數(shù)y=2x-1在區(qū)間[2,6【例2】畫出函數(shù)y=-x2+2|x|+3的圖象,指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值.【例3】“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時一般是期望在它達(dá)到最高點時爆裂.如果煙花距地面的高度hm與時間ts之間的關(guān)系為h(t)=++18,那么煙花沖出去后什么時候是它爆裂的最佳時刻?這時距地面的高度是多少(精確到1m)?五、變式演練,深化提高1.已知函數(shù)f(x)=x+1x(x>0)(1)證明當(dāng)0<x<1時,函數(shù)f(x)是減函數(shù);當(dāng)x≥1時,函數(shù)f(x)是增函數(shù);(2)求函數(shù)f(x)的最小值.2.求函數(shù)y=3-x1+2x(x≥3.求函數(shù)y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.4.某超市為了獲取最大利潤做了一番試驗,若將進(jìn)貨單價為8元的商品按10元一件的價格出售時,每天可銷售60件,現(xiàn)在采用提高銷售價格減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤,已知這種商品每漲1元,其銷售量就要減少10件,問該商品售價定為多少時才能賺取利潤最大,并求出最大利潤.六、反思小結(jié),觀點提煉請同學(xué)們從下列幾方面分組討論:1.函數(shù)的最值及幾何意義如何?2.你學(xué)了哪幾種求函數(shù)最值的方法?3.求函數(shù)最值時,要注意什么原則?七、作業(yè)精選,鞏固提高課本P39習(xí)題A組第5題,B組第1,2題.參考答案問題1:函數(shù)y=-x2-2x圖象有最高點A,函數(shù)y=-2x+1,x∈[-1,+∞)圖象有最高點B,函數(shù)y=f(x)圖象有最高點C.也就是說,這三個函數(shù)的圖象的共同特征是都有最高點.問題2:函數(shù)圖象是點的集合,是函數(shù)y=f(x)的一種表示形式,其上每一點的坐標(biāo)(x,y)的意義是:自變量x的取值為橫坐標(biāo),相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo).圖象從“形”的角度描述了函數(shù)的變化規(guī)律.問題3:圖象最高點的縱坐標(biāo)是所有函數(shù)值中的最大值,即函數(shù)的最大值.問題4:由于點C是函數(shù)y=f(x)圖象的最高點,則點A在點C的下方,即對定義域內(nèi)任意x,都有y≤y0,即f(x)≤f(x0),也就是對函數(shù)y=f(x)的定義域內(nèi)任意x,均有f(x)≤f(x0)成立.三、信息交流,揭示規(guī)律問題5:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足:(1)對于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.問題6:f(x)≤M反映了函數(shù)y=f(x)的所有函數(shù)值不大于實數(shù)M;這個函數(shù)的特征是圖象有最高點,并且最高點的縱坐標(biāo)是M.問題7:函數(shù)圖象上最高點的縱坐標(biāo),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.問題8:函數(shù)y=-2x+1,x∈(-1,+∞)沒有最大值,因為函數(shù)y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的圖象沒有最高點.問題9:不是,因為該函數(shù)的定義域中沒有-1.問題10:討論函數(shù)的最大值,要堅持定義域優(yōu)先的原則;函數(shù)圖象有最高點時,這個函數(shù)才存在最大值,最高點必須是函數(shù)圖象上的點.問題11:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足:(1)對于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值.函數(shù)最小值的幾何意義:函數(shù)圖象上最低點的縱坐標(biāo).問題12:討論函數(shù)的最小值,也要堅持定義域優(yōu)先的原則;函數(shù)圖象有最低點時,這個函數(shù)才存在最小值,最低點必須是函數(shù)圖象上的點.四、運用規(guī)律,解決問題【例1】解:設(shè)2≤x1<x2≤6,則有f(x1)-f(x2)=2x1-1=2(∵2≤x1<x2≤6,∴x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0.∴f(x1)>f(x2),即函數(shù)y=2x-1在區(qū)間[2,6所以,當(dāng)x=2時,函數(shù)y=2x-1在區(qū)間[2,6]上取得最大值f(2當(dāng)x=6時,函數(shù)y=2x-1在區(qū)間[2,6]上取得最小值f(6)【例2】解:函數(shù)圖象如圖所示.由圖象得,函數(shù)的圖象在區(qū)間(-∞,-1)和[0,1]上是上升的,在[-1,0)和(1,+∞)上是下降的,最高點是(-1,4)和(1,4),故函數(shù)在(-∞,-1),[0,1]上是增函數(shù);函數(shù)在[-1,0),(1,+∞)上是減函數(shù),最大值是4.點評:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和最值,以及最值的求法.求函數(shù)的最值時,先畫函數(shù)的圖象,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再用定義法證明,最后借助單調(diào)性寫出最值,這種方法適用于做解答題.單調(diào)法求函數(shù)最值:先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用其單調(diào)性求最值;常用到下面的結(jié)論:①如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c)上單調(diào)遞減,則函數(shù)y=f(x)在[a,c]上,當(dāng)x=b時取最大值f(b);②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c)上單調(diào)遞增,則函數(shù)y=f(x)在[a,c]上,當(dāng)x=b時取最小值f(b).【例3】解:作出函數(shù)h(t)=++18的圖象,如圖所示,顯然,函數(shù)圖象的頂點就是煙花上升的最高點,頂點的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時刻,縱坐標(biāo)就是這時距地面的高度.由二次函數(shù)的知識,對于函數(shù)h(t)=++18,我們有:當(dāng)t=-14.72×h=4×(-即煙花沖出后s是它爆裂的最佳時刻,這時距地面的高度約是29m.點評:本題主要考查二次函數(shù)的最值問題,以及應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題的能力.解應(yīng)用題步驟是:①審清題意讀懂題;②將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決;③歸納結(jié)論.注意:要堅持定義域優(yōu)先的原則;求二次函數(shù)的最值要借助圖象,即數(shù)形結(jié)合.五、變式演練,深化提高1.解:(1)任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=(x1+1x1)-(x2+1x2)=(x1-x2)+∵x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0.當(dāng)0<x1<x2<1時,x1x2-1<0,∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2),即當(dāng)0<x<1時,函數(shù)f(x)是減函數(shù).當(dāng)1≤x1<x2時,x1x2-1>0,∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2),即當(dāng)x≥1時,函數(shù)f(x)是增函數(shù).(2)方法一:由(1)得當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)=x+1x,x>0取最小值又f(1)=2,則函數(shù)f(x)=x+1x,x>0取最小值方法二:借助于計算機(jī)軟件畫出函數(shù)f(x)=x+1x,x>0的圖象,如圖所示由圖象知,當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)=x+1x,x>0取最小值f(1)2.解:可證明函數(shù)y=3-x1+2x(x≥∴函數(shù)y=3-x1+2x(x≥0)的最大值是f3.解:方法一:(圖象法)y=|x+1|+|x-1|=-2x由圖象得,函數(shù)的最小值是2,無最大值.方法二:(數(shù)形結(jié)合)函數(shù)的解析式y(tǒng)=|x+1|+|x-1|的幾何意義是:y是數(shù)軸上任意一點P到±1的對應(yīng)點