高中數(shù)學人教B版第三章概率3．4概率的應用 2023版第3章概率的應用

概率的應用1.通過實例進一步理解概率的意義及應用.(重點)2.能用概率的知識解決實際生活中的問題.(難點)[基礎·初探]教材整理概率的應用閱讀教材P116～P117，完成下列問題.概率是描述隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，它已經(jīng)滲透到人們的日常生活中，成為一個常用的詞匯，任何事件的概率是0～1之間的一個數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性.小概率事件(概率接近0)很少發(fā)生，而大概率事件(概率接近1)則經(jīng)常發(fā)生.1.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)事件A發(fā)生的概率很小時，該事件為不可能事件.()(2)某醫(yī)院治愈某種病的概率為，則10個人去治療，一定有8人能治愈.()(3)平時的多次比賽中，小明獲勝的次數(shù)比小華的高，所以這次比賽應選小明參加.()【答案】(1)×(2)×(3)√2.已知某人在投籃時投中的概率為50%，則下列說法正確的是()A.若他投100次，一定有50次投中B.若他投一次，一定投中C.他投一次投中的可能性大小為50%D.以上說法均錯【解析】概率是指一件事情發(fā)生的可能性大小.【答案】C3.若在同等條件下進行n次重復試驗得到某個事件A發(fā)生的頻率f(n)，則隨著n的逐漸增加，有()(n)與某個常數(shù)相等(n)與某個常數(shù)的差逐漸減小(n)與某個常數(shù)差的絕對值逐漸減小(n)在某個常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定【解析】隨著n的增大，頻率f(n)會在概率附近擺動并趨于穩(wěn)定，這也是頻率與概率的關系.【答案】D4.事件A發(fā)生的概率是eq\f(3,5)，則eq\f(3,5)表示的________.【導學號：00732099】【解析】根據(jù)概率的含義知eq\f(3,5)表示的是事件A發(fā)生的可能性大小.【答案】事件A發(fā)生的可能性的大小概率在密碼中的應用為了保證信息安全傳輸，有一種稱為密鑰的密碼系統(tǒng)(Private-KeyCryptosystem)，其加密、解密原理如下：明文eq\o(→,\s\up14(加密密鑰))密文eq\o(→,\s\up14(解密密鑰))明文.設加密密鑰為y＝ax＋1，明文“3”通過加密后得到密文“16”，接收方收到密文后，通過解密密鑰解密得到明文“3”.(1)若接收方接到密文為“64”，則解密后的明文是多少？(2)若用數(shù)字1,2,3，…分別表示A，B，C，…(字母表中的順序)，且在英文常用文章中字母“E”(即5)出現(xiàn)的概率為%，則上述密碼系統(tǒng)中，其對應的密文出現(xiàn)的概率是多少？【精彩點撥】(1)由條件給出的信息可得16＝a3＋1，即求出a后，可解決.(2)利用明文與密文之間的對應關系結合條件給出判斷.【嘗試解答】由題意知，16＝a3＋1，解得a＝2.(1)由64＝2x＋1，得x＝5，所以解密后的明文是“5”.(2)因為明文與密文之間是一一對應關系，所以其對應密文出現(xiàn)的概率也是%.密碼技術在軍事、政治、經(jīng)濟方面有著廣泛的用途.為了使密碼設計更難破譯，人們發(fā)明了許多反破譯的方法，利用隨機序列就是一種極為重要的方法，其原理是：利用取值在1到26之間的整數(shù)值隨機數(shù)序列，使每個字母出現(xiàn)在密碼中的概率都相等.[再練一題]1.現(xiàn)代社會對破譯密碼的要求越來越高，有一種密碼把英文的明文(真實文)按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26個字母(不論大小寫)依次對應1,2,3，…，26，這26個自然數(shù)，見表格：abcdefghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526給出下列一個變換公式：x′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)，x∈N，1≤x≤26，x不能被2整除.,\f(x,2)＋13，x∈N，1≤x≤26，x能被2整除.))將明文轉(zhuǎn)換成密文，如8→eq\f(8,2)＋13＝17，即h變成q；5→eq\f(5＋1,2)＝3，即e變成c.(1)按上述規(guī)定，將明文good譯成密文是()(2)按上述規(guī)定，若將某明文譯成的密文是shxc，那么原來的明文是()【解析】(1)g→7→eq\f(7＋1,2)＝4→d，o→15→eq\f(15＋1,2)＝8→h，d→4→eq\f(4,2)＋13＝15→o，故明文good的密文是dhho.(2)逆變換公式為x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x′－1，x′∈N，1≤x′≤13，,2x′－26，x′∈N，14≤x′≤26，))則s→19→2×19－26＝12→l，h→8→2×8－1＝15→o，x→24→2×24－26＝22→v，c→3→2×3－1＝5→e，故密文shxc的明文是love.【答案】(1)C(2)C社會調(diào)查問題深夜，某市某路段發(fā)生一起出租車交通事故.該市有兩家出租車公司，紅色出租車公司和藍色出租車公司，其中紅色出租車公司和藍色出租車公司的出租車分別占整個城市出租車的15%和85%.據(jù)現(xiàn)場目擊證人說，事故現(xiàn)場的出租車是紅色的，并對現(xiàn)場目擊證人的辨別能力做了測試，測得他辨認的正確率為80%，于是警察就認定紅色出租車具有較大嫌疑.你覺得警察這樣的認定公平嗎？【導學號：00732100】【精彩點撥】利用條件給出的信息可將真實顏色與證人眼中的顏色列表分析.【嘗試解答】設該市的出租車有1000輛，那么依題意可得如下信息：證人眼中的顏色(正確率80%)真實顏色實際數(shù)據(jù)藍色紅色藍色(85%)850680170紅色(15%)15030120合計1000710290從表中可以看出，當證人說出租車是紅色時，確定它是紅色的概率為eq\f(120,290)≈，而它是藍色的概率為eq\f(170,290)≈.在實際數(shù)據(jù)面前，警察僅以目擊證人的證詞作為推斷的依據(jù)對紅色出租車公司顯然是不公平的.社會調(diào)查人員希望從人群的隨機抽樣調(diào)查中得到對他們所提問題誠實的回答.但是被采訪者常常不愿意如實地作出應答.1965年StanleyL.Warner發(fā)明了一種應用概率知識來消除這種不愿意情緒的方法.Warner的隨機化應答方法要求人們隨機地回答所提兩個問題中的一個，而不必告訴采訪者回答的是哪個問題.兩個問題中有一個是敏感的或者是令人為難的；另一個問題是無關緊要的.這樣應答者將樂意如實地回答問題，因為只有他知道自己回答的是哪個問題.[再練一題]2.某地政府準備對當?shù)氐霓r(nóng)村產(chǎn)業(yè)結構進行調(diào)整，為此政府進行了一次民意調(diào)查.100個人接受了調(diào)查，他們被要求在“贊成調(diào)整”“反對調(diào)整”“對這次調(diào)查不發(fā)表看法”中任選一項，調(diào)查結果如下表：男女合計贊成調(diào)整18927反對調(diào)整122537對這次調(diào)查不發(fā)表看法201636合計5050100隨機選取一個被調(diào)查者，他對這次調(diào)整表示反對或不發(fā)表看法的概率是多少？【解】用A表示事件“對這次調(diào)整表示反對”，B表示事件“對這次調(diào)整不發(fā)表看法”，則A和B是互斥事件，并且A∪B就表示事件“對這次調(diào)整表示反對或不發(fā)表看法”.由互斥事件的概率加法公式，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(37,100)＋eq\f(36,100)＝.總體估計為了估計某自然保護區(qū)中天鵝的數(shù)量，可以使用以下方法：先從該保護區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，例如200只，給每只天鵝做上記號，不影響其存活，然后放回保護區(qū)，經(jīng)過適當?shù)臅r間，讓其和保護區(qū)中其余的天鵝充分混合，再從保護區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，例如150只，查看其中有記號的天鵝，設有20只，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計該自然保護區(qū)中天鵝的數(shù)量.【精彩點撥】利用古典概型的特征，等可能性可估計.【嘗試解答】設保護區(qū)中天鵝的數(shù)量約為n，假定每只天鵝被捕到的可能性是相等的，從保護區(qū)中任捕一只，設事件A＝{帶有記號的天鵝}，則P(A)＝eq\f(200,n). ①第二次從保護區(qū)中捕出150只天鵝，其中有20只帶有記號，由概率的統(tǒng)計定義可知P(A)＝eq\f(20,150). ②由①②兩式，得eq\f(200,n)＝eq\f(20,150)，解得n＝1500，所以該自然保護區(qū)中天鵝的數(shù)量約為1500只.用古典概型概率的觀點求隨機事件的概率時，首先對于在試驗中出現(xiàn)的結果的可能性認為是相等的，其次是通過一個比值的計算來確定隨機事件的概率.[再練一題]3.山東三吉鋼木家具廠為某游泳比賽場館生產(chǎn)觀眾座椅.質(zhì)檢人員對該廠所產(chǎn)2500套座椅進行抽檢，共抽檢了100套，發(fā)現(xiàn)有5套次品，試問該廠所產(chǎn)2500套座椅中大約有多少套次品？【解】設有n套次品，由概率的統(tǒng)計定義可知eq\f(n,2500)≈eq\f(5,100)，解得n≈125.所以該廠所產(chǎn)2500套座椅中大約有125套次品.1.從一群游戲的小孩中抽出k人，一人分一個蘋果，讓他們返回繼續(xù)游戲，一會兒后，再從中任取m人，發(fā)現(xiàn)其中有n個小孩曾分過蘋果，估計一共有小孩()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k·\f(n,m)))人\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k·\f(m,n)))人C.(k＋m－n)人\f(1,2)(k＋m－n)人【解析】設一共有x個小孩，根據(jù)概率的意義，有eq\f(n,m)＝eq\f(k,x)，所以x＝eq\f(km,n)人.【答案】B2.據(jù)人口普查統(tǒng)計，育齡婦女生男生女是等可能的，如果允許生育二胎，則某一育齡婦女兩胎均是女孩的概率是()\f(1,2)\f(1,3)\f(1,4)\f(1,5)【解析】所含的基本事件總數(shù)為4，分別為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，∴兩胎均是女孩的概率為eq\f(1,4).【答案】C3.在所有的兩位數(shù)10～99中，任取一個數(shù)，則這個數(shù)能被2或3整除的概率為()\f(5,6)\f(4,5)\f(2,3)\f(1,2)【解析】10～99中有90個兩位數(shù)，這些兩位數(shù)中，偶數(shù)有45個，10～99中有30個能被3整除的數(shù)，其中奇數(shù)有30÷2＝15(個)，∴所求的概率為eq\f(45＋15,90)＝eq\f(2,3).【答案】C4.電腦“掃雷”游戲的操作面被平均分成480塊，其中有99塊埋有地雷，現(xiàn)在操作面上任意點擊一下，碰到地雷的概率為________.【解析】由古典概型的概率公式可得碰到地雷的概率為eq\f(99,480)＝eq\f(33,160).【答案】eq\f(33,160)5.中央電視臺“幸運52”欄目中的“百寶箱”互動環(huán)節(jié)，是一種競猜游戲，游戲規(guī)則如下：在20個商標牌中，