高中數(shù)學(xué)蘇教版1第2章圓錐曲線與方程 省賽獲獎

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1．若直線ax－y＋1＝0經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a＝________.【解析】拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)是(1,0)，直線ax－y＋1＝0過焦點(diǎn)，∴a＋1＝0，∴a＝－1.【答案】－12．已知橢圓的準(zhǔn)線方程為y＝±4，離心率為eq\f(1,2)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.【導(dǎo)學(xué)號：09390053】【解析】由題意eq\f(a2,c)＝eq\f(a,e)＝4，∴a＝4e＝2.∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴c＝1，b2＝a2－c2＝3.由準(zhǔn)線方程是y＝±4可知，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1.【答案】eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝13．已知拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線與雙曲線x2－y2＝2的左準(zhǔn)線重合，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________．【解析】雙曲線的左準(zhǔn)線為x＝－1，拋物線的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，所以eq\f(p,2)＝1，所以p＝2.故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．【答案】(1,0)4．(2023·全國卷Ⅰ改編)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為eq\f(1,2)，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點(diǎn)，則|AB|＝________.【解析】拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，∴橢圓中c＝2，又eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，從而橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.∵拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線為x＝－2，∴xA＝xB＝－2，將xA＝－2代入橢圓方程可得|yA|＝3，由圖象可知|AB|＝2|yA|＝6.【答案】65．若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離等于3a，則雙曲線的離心率為________．【解析】由題意知，eq\f(a2,c)＋c＝3a，即a2＋c2＝3ac，∴e2－3e＋1＝0，解得e＝eq\f(3－\r(5),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e＝\f(3＋\r(5),2)＞1舍去)).【答案】eq\f(3－\r(5),2)6．設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的右焦點(diǎn)為F(3,0)，P(4，2eq\r(2))是雙曲線上一點(diǎn)，若雙曲線的右準(zhǔn)線為x＝m，則實(shí)數(shù)m的值是________．【解析】法一：由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝9，,\f(16,a2)－\f(8,b2)＝1，))解得b2＝eq\f(3\r(57)－15,2)，a2＝eq\f(33－3\r(57),2)，故右準(zhǔn)線x＝eq\f(a2,c)＝eq\f(11－\r(57),2)，即m＝eq\f(11－\r(57),2).法二：由題意PF＝eq\r(4－32＋2\r(2)－02)＝3，根據(jù)橢圓的第二定義得eq\f(PF,d)＝eq\f(3,4－m)＝e.又m＝eq\f(a2,c)，∴eq\f(m,c)＝eq\f(a2,c2)＝eq\f(1,e2).∵c＝3，∴e2＝eq\f(3,m)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4－m)))2＝eq\f(3,m)，∴m2－11m＋16＝0，∴m＝eq\f(11±\r(57),2)，∵m<c＝3，∴m＝eq\f(11－\r(57),2).【答案】eq\f(11－\r(57),2)7．已知橢圓eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1上有一點(diǎn)P，它到左、右焦點(diǎn)距離之比為1∶3，則點(diǎn)P到兩準(zhǔn)線的距離分別為________．【解析】設(shè)P(x，y)，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，由橢圓方程，可得a＝10，b＝6，c＝8，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，則PF1＋PF2＝2a＝20.又3PF1＝PF2，∴PF1＝5，PF2＝15.設(shè)點(diǎn)P到兩準(zhǔn)線的距離分別為d1，d2，可得d1＝eq\f(PF1,e)＝eq\f(25,4)，d2＝eq\f(PF2,e)＝eq\f(75,4).故點(diǎn)P到兩準(zhǔn)線的距離分別為eq\f(25,4)，eq\f(75,4).【答案】eq\f(25,4)，eq\f(75,4)8．已知點(diǎn)P在雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上，并且P到雙曲線的右準(zhǔn)線的距離恰是P到雙曲線的兩個焦點(diǎn)的距離的等差中項(xiàng)，那么P的橫坐標(biāo)是________．【解析】記實(shí)半軸、虛半軸、半焦距的長分別為a，b，c，離心率為e，點(diǎn)P到右準(zhǔn)線l的距離為d，則a＝4，b＝3，c＝5，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，右準(zhǔn)線l的方程為x＝eq\f(a2,c)＝eq\f(16,5).如果P在雙曲線右支上，則PF1＝PF2＋2a＝ed＋2a.從而，PF1＋PF2＝(ed＋2a)＋ed＝2ed＋2a>2d，這不可能；故P在雙曲線的左支上，則PF2－PF1＝2a，PF1＋PF2＝2d.兩式相加得2PF2＝2a＋2d.又PF2＝ed，從而ed＝a＋d.故d＝eq\f(a,e－1)＝eq\f(4,\f(5,4)－1)＝16.因此，P的橫坐標(biāo)為eq\f(16,5)－16＝－eq\f(64,5).【答案】－eq\f(64,5)二、解答題9．已知橢圓的一個焦點(diǎn)是F(3,1)，相應(yīng)于F的準(zhǔn)線為y軸，l是過F且傾斜角為60°的直線，l被橢圓截得的弦AB的長是eq\f(16,5)，求橢圓的方程．【解】設(shè)橢圓離心率為e，M(x，y)為橢圓上任一點(diǎn)，由統(tǒng)一定義eq\f(MF,d)＝e，得eq\f(\r(x－32＋y－12),|x|)＝e，整理得(x－3)2＋(y－1)2＝e2x2.①∵直線l的傾斜角為60°，∴直線l的方程為y－1＝eq\r(3)(x－3)，②①②聯(lián)立得(4－e2)x2－24x＋36＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韋達(dá)定理得x1＋x2＝eq\f(24,4－e2)，∴AB＝e(x1＋x2)＝e·eq\f(24,4－e2)＝eq\f(16,5)，∴e＝eq\f(1,2)，∴橢圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝eq\f(1,4)x2，即eq\f(x－42,4)＋eq\f(y－12,3)＝1.10．已知定點(diǎn)A(－2，eq\r(3))，點(diǎn)F為橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動，求AM＋2MF的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解】∵a＝4，b＝2eq\r(3)，∴c＝eq\r(a2－b2)＝2，∴離心率e＝eq\f(1,2).A點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)M到右準(zhǔn)線的距離為d，則eq\f(MF,d)＝e，即MF＝ed＝eq\f(1,2)d，右準(zhǔn)線l：x＝8，∴AM＋2MF＝AM＋d.∵A點(diǎn)在橢圓內(nèi)，∴過A作AK⊥l(l為右準(zhǔn)線)于K，交橢圓于點(diǎn)M0.則A，M，K三點(diǎn)共線，即M與M0重合時(shí)，AM＋d最小為AK，其值為8－(－2)＝10.故AM＋2MF的最小值為10，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(2eq\r(3)，eq\r(3))．能力提升]1．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓x2＋2y2＝2的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個動點(diǎn)，那么|eq\o(PF,\s\up6(→))1＋eq\o(PF,\s\up6(→))2|的最小值是________.【導(dǎo)學(xué)號：09390054】【解析】橢圓x2＋2y2＝2的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,2)＋y2＝1，∴a＝eq\r(2)，b＝1.∵eq\o(PF,\s\up6(→))1＋eq\o(PF,\s\up6(→))2＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PO,\s\up6(→))|.∵b≤|eq\o(PO,\s\up6(→))|≤a，∴1≤|eq\o(PO,\s\up6(→))|≤eq\r(2)，∴|eq\o(PF,\s\up6(→))1＋eq\o(PF,\s\up6(→))2|的最小值是2.【答案】22．過圓錐曲線C的一個焦點(diǎn)F的直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓與F相應(yīng)的準(zhǔn)線相交，則曲線C為________．【解析】設(shè)圓錐曲線的離心率為e，M為AB的中點(diǎn)，A，B和M到準(zhǔn)線的距離分別為d1，d2和d，圓的半徑為R，d＝eq\f(d1＋d2,2)，R＝eq\f(AB,2)＝eq\f(FA＋FB,2)＝eq\f(ed1＋d2,2).由題意知R>d，則e>1，圓錐曲線為雙曲線．【答案】雙曲線3．設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)恒過定點(diǎn)A(1,2)，則橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值為________．【解析】∵A(1,2)在橢圓上，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(4,b2)＝1，∴b2＝eq\f(4a2,a2－1)，則橢圓中心到準(zhǔn)線距離的平方為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))2＝eq\f(a4,c2)＝eq\f(a4,a2－b2)＝eq\f(a4,a2－\f(4a2,a2－1))＝eq\f(a4－a2,a2－5).令a2－5＝t>0，f(t)＝eq\f(t＋52－t＋5,t)＝t＋eq\f(20,t)＋9≥9＋4eq\r(5).當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(20,t)時(shí)取“＝”，∴eq\f(a2,c)≥eq\r(9＋4\r(5))＝eq\r(5)＋2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))min＝eq\r(5)＋2.【答案】eq\r(5)＋24．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右準(zhǔn)線l2與一條漸近線l交于點(diǎn)P，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)．(1)求證：PF⊥l；(2)若|PF|＝3，且雙曲線的離心率e＝eq\f(5,4)，求該雙曲線的方程．【解】(1)證明：右準(zhǔn)線為l2：x＝eq\f(a2,c)，由對稱性不妨設(shè)漸近線l為y＝eq\f(b,a)x，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))，又F(c,0)，∴kPF＝eq\f(\f(ab,c)－0,\f