高中數(shù)學(xué)蘇教版1第2章圓錐曲線與方程 全國一等獎2_第1頁
高中數(shù)學(xué)蘇教版1第2章圓錐曲線與方程 全國一等獎2_第2頁
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學(xué)業(yè)分層測評(建議用時:45分鐘)學(xué)業(yè)達標]一、填空題1.拋物線y=2x2的焦點坐標是________.【解析】∵拋物線y=2x2的標準方程是x2=eq\f(1,2)y,∴2p=eq\f(1,2),p=eq\f(1,4),eq\f(p,2)=eq\f(1,8),∴焦點坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,8))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,8)))2.拋物線y2=10x的焦點到準線的距離是________.【解析】∵2p=10,p=5,∴焦點到準線的距離為5.【答案】53.以原點為頂點,坐標軸為對稱軸,并且準線經(jīng)過P(-2,-4)的拋物線方程為________.【解析】若拋物線的準線為x=-2,則拋物線的方程為y2=8x;若拋物線的準線為y=-4,則拋物線的方程為x2=16y.【答案】y2=8x或x2=16y4.已知拋物線y=4x2上一點M到焦點的距離為1,則點M的坐標是________.【導(dǎo)學(xué)號:09390042】【解析】設(shè)M(x0,y0),把拋物線y=4x2化為標準方程,得x2=eq\f(1,4)y.則其準線方程為y=-eq\f(1,16),由拋物線的定義,可知y0-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,16)))=1,得y0=eq\f(15,16),代入拋物線的方程,得xeq\o\al(2,0)=eq\f(1,4)×eq\f(15,16)=eq\f(15,64),解得x0=±eq\f(\r(15),8),則M的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(15),8),\f(15,16))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(15),8),\f(15,16)))5.拋物線x2=2y上的點M到其焦點F的距離MF=eq\f(5,2),則點M的坐標是________.【解析】設(shè)點M(x,y),拋物線準線為y=-eq\f(1,2),由拋物線定義,y-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))=eq\f(5,2),y=2,所以x2=2y=4,x=±2,所以點M的坐標為(±2,2).【答案】(±2,2)6.已知F是拋物線y2=x的焦點,A,B是該拋物線上的兩點,AF+BF=3,則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為________.【解析】如圖,由拋物線的定義知,AM+BN=AF+BF=3,CD=eq\f(3,2),所以中點C的橫坐標為eq\f(3,2)-eq\f(1,4)=eq\f(5,4),即C到y(tǒng)軸的距離為eq\f(5,4).【答案】eq\f(5,4)7.若動圓與圓(x-2)2+y2=1外切,又與直線x+1=0相切,則動圓圓心的軌跡方程為________.【解析】設(shè)動圓半徑為r,動圓圓心O′(x,y)到點(2,0)的距離為r+′到直線x=-1的距離為r,∴O′到(2,0)的距離與O′到直線x=-2的距離相等,由拋物線的定義知動圓圓心的軌跡方程為y2=8x.【答案】y2=8x8.在平面直角坐標系xOy中,有一定點A(2,1).若線段OA的垂直平分線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,則該拋物線的準線方程是________.【解析】由題意可求出線段OA的垂直平分線交x軸于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4),0)),此點為拋物線的焦點,故準線方程為x=-eq\f(5,4).【答案】x=-eq\f(5,4)二、解答題9.已知拋物線的頂點在原點,焦點在x軸上,拋物線上的點M(-3,m)到焦點的距離等于5,求拋物線的標準方程和m的值.【解】法一:由題意可設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p>0),則焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(p,2),0)),因為點M在拋物線上,且MF=5,所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2=6p,,\r(m2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3-\f(p,2)))2=5,)))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p=4,,m=2\r(6)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p=4,,m=-2\r(6).))故所求的拋物線方程為y2=-8x,m的值為±2eq\r(6).法二:由題可設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p>0),則焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(p,2),0)),準線方程為x=eq\f(p,2),根據(jù)拋物線的定義,點M到焦點的距離等于5,也就是M到準線的距離為5,則3+eq\f(p,2)=5,∴p=4,∴拋物線方程為y2=-8x.又點M(-3,m)在拋物線上,∴m2=24,∴m=±2eq\r(6).10.求焦點在x軸上,且焦點在雙曲線eq\f(x2,4)-eq\f(y2,2)=1上的拋物線的標準方程.【解】由題意可設(shè)拋物線方程為y2=2mx(m≠0),則焦點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2),0)).∵焦點在雙曲線eq\f(x2,4)-eq\f(y2,2)=1上,∴eq\f(m2,4×4)=1,求得m=±4,∴所求拋物線方程為y2=8x或y2=-8x.能力提升]1.設(shè)M(x0,y0)為拋物線C:x2=8y上一點,F(xiàn)為拋物線C的焦點,以F為圓心,F(xiàn)M為半徑的圓和拋物線C的準線相交,則y0的取值范圍是________.【導(dǎo)學(xué)號:09390043】【解析】圓心到拋物線準線的距離為p=4,根據(jù)已知,只要FM>4即可.根據(jù)拋物線定義,F(xiàn)M=y(tǒng)0+2,由y0+2>4,解得y0>2.故y0的取值范圍是(2,+∞).【答案】(2,+∞)2.設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2=ax(a≠0)的焦點F,且和y軸交于點A,若△OAF(O為坐標原點)的面積為4,則拋物線的方程為________.【解析】因為拋物線y2=ax(a≠0)的焦點F的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4),0)),所以直線l的方程為y=2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(a,4))),它與y軸的交點為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,-\f(a,2))),則△OAF的面積為eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(-\f(a,2)))=4,解得a=±8,故拋物線的方程為y2=8x或y2=-8x.【答案】y2=8x或y2=-8x3.已知點P是拋物線y2=4x上的點,設(shè)點P到拋物線準線的距離為d1,到圓(x+3)2+(y-3)2=1上的一動點Q的距離為d2,則d1+d2的最小值是________.【解析】由拋物線的定義得P到拋物線準線的距離為d1=PF,d1+d2的最小值即為拋物線的焦點F(1,0)到圓(x+3)2+(y-3)2=1上的一動點Q的距離的最小值,最小值為F與圓心的距離減半徑,即為4,故填4.【答案】44.如圖2-4-1所示,一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路,其截面由長方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成,為保證安全,要求行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米.圖2-4-1(1)以拋物線的頂點為原點O,其對稱軸所在的直線為y軸,建立平面直角坐標系(如圖),求該拋物線的方程;(2)若行車道總寬度AB

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