高中數(shù)學(xué)人教A版第一章解三角形正弦定理和余弦定理 全國(guó)公開課

第三課時(shí):三角形解的個(gè)數(shù)一、課前準(zhǔn)備（一）課時(shí)目標(biāo)1.掌握判斷三角形解的情況的常用方法；2.靈活運(yùn)用正弦定理、余弦定理及三角函數(shù)有關(guān)知識(shí).（二）基礎(chǔ)預(yù)探1.在平面幾何中，一個(gè)三角形可以由個(gè)條件確定，具體為、、.2.一般地，我們把三角形的三個(gè)角和它們的對(duì)邊叫做三角形的.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做.3.正弦定理表述為：在一個(gè)三角形中，各邊的長(zhǎng)和它所對(duì)角的正弦的比相等，即，這個(gè)比值為，公式可變形為.4.利用正弦定理可以解決以下兩類解三角形的問(wèn)題：、.5.在中，已知、和角時(shí)，解的情況如下：若時(shí)，一解；若時(shí)，兩解；若時(shí)，無(wú)解.二、基本知識(shí)習(xí)題化1.若為△ABC的內(nèi)角，則下列函數(shù)中一定取正值的是（）A.B.C.D.2.在中，則滿足此條件的三角形有（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．無(wú)數(shù)個(gè)3．在△中，若，則等于（）A.B.C.D.4.在△ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是（）A. B.C. D.5．在中，A、B的對(duì)邊分別是，且，那么滿足條件的（）A、有一個(gè)解B、有兩個(gè)解C、無(wú)解D、不能確定6．在△ABC中，b=4asinB,則A=_____.三、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1.一般地，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解斜三角形（已知和），用正弦定理求B時(shí)的各種情況,可利用數(shù)形結(jié)合法：⑴若A為銳角時(shí):如下圖所示：⑵若A為直角或鈍角時(shí):.2.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（已知和）解斜三角形，可以常利用正弦定理結(jié)合“大邊對(duì)大角”來(lái)判斷三角形解的個(gè)數(shù)：(1)由正弦定理求得，，再進(jìn)行討論：=1\*GB3①如果，則問(wèn)題無(wú)解.=2\*GB3②如果，則，當(dāng)時(shí)問(wèn)題有一解；當(dāng)時(shí)問(wèn)題無(wú)解.=3\*GB3③如果，當(dāng)時(shí)，，則為銳角，問(wèn)題有唯一解；當(dāng)時(shí)，，則可能為銳角也可能為鈍角，問(wèn)題有兩解.3.利用余弦定理討論：已知a、b、A，由余弦定理，這可以看作關(guān)于c的一元二次方程.若方程無(wú)解或無(wú)正數(shù)解，則三角形無(wú)解；若方程有唯一正數(shù)解，則三角形一解；若方程有兩不同正數(shù)解，則三角形有兩解.四、典例導(dǎo)析題型一大邊對(duì)大角例1在△ABC中，已知a＝60，b＝50，A＝38°，求B(精確到1°)和c(保留兩個(gè)有效數(shù)字).思路導(dǎo)析：此例題屬于a≥b這一類情形，有一解.也可根據(jù)三角形內(nèi)大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊這一性質(zhì)來(lái)排除B為鈍角的情形.解：已知b＜a，所以B＜A，因此B也是銳角.∵sinB＝eq\f(b·sinA,a)＝eq\f(50·sin380,60)＝，∴B＝31°，∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(38°＋31°)＝111°∴c＝eq\f(a·sinC,sinA)＝eq\f(60·sin1110,sin380)≈91.規(guī)律總結(jié)：同樣是已知兩邊和一邊對(duì)角，但可能出現(xiàn)不同的結(jié)果，要結(jié)合已知條件注意分析解的情況，以防止漏解出錯(cuò).在三角形中，這是個(gè)隱含條件，在使用時(shí)我們要注意挖掘..變式訓(xùn)練1：在△ABC中，已知，，，求A、C及c.題型二數(shù)形結(jié)合法例2.思路導(dǎo)析：此例題屬于csinA＜a＜c的情形，故有兩解.這樣在求解之后呢，可以無(wú)需作進(jìn)一步的檢驗(yàn)，使學(xué)生在運(yùn)用正弦定理求邊、角時(shí)，感到目的很明確，同時(shí)體會(huì)分析問(wèn)題的重要性.解析：,,，，.規(guī)律總結(jié)：通過(guò)此例題可使學(xué)生明確，利用正弦定理所求得正弦值，進(jìn)而求角有兩種可能，但是否都符合題意，可以通過(guò)分析獲得，這就要求學(xué)生熟悉已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)解三角形的各種情形.變式訓(xùn)練2：如果滿足，，的恰有一個(gè)，那么的取值范圍是（）A．B． C． D．或題型三余弦定理法例3.在中，已知,解此三角形.思路導(dǎo)析：已知兩邊及一邊的對(duì)角求解三角形，有兩解、一解和無(wú)解三種情況，用正弦定理進(jìn)行求解，必須分情況討論，而如果利用余弦定理來(lái)解這類三角形，就可避開討論.解法一：由正弦定理，即，解得，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，，為直角三角形，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，所以.解法二：由余弦定理，得，化簡(jiǎn)可得，解得或.當(dāng)時(shí)，由正弦定理得，;當(dāng)時(shí)，由正弦定理得，規(guī)律總結(jié)：已知兩邊及一邊的對(duì)角求解三角形，既可以用正弦定理又可以用余弦定理，利用正弦定理，要先根據(jù)大邊對(duì)大角，對(duì)角的個(gè)數(shù)進(jìn)行判定，進(jìn)而再分別討論.利用余弦定理，可以得到關(guān)于邊一個(gè)一元二次方程，從而求得的值，進(jìn)而求得其它元素.變式訓(xùn)練3：在△ABC中，已知邊上的中線BD=，求sinA的值.五、隨堂練習(xí)1.在中，若，，，則的值為（）A．B.C.D.2.在△ABC中，若a＝2，b＝，C＝15°，則A的值為（）A.B.C.D.3.在中，角所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則角的大小為．4．在△ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos（2A+C）=，sinB=，則cos2（B+C）=__________5.在銳角三角形中，邊a、b是方程x2－2EQ\r(,3)x+2=0的兩根，角A、B滿足2sin(A+B)－EQ\r(,3)=0，求角C的度數(shù)，邊c的長(zhǎng)度及△ABC的面積.六、課后作業(yè)1．在中，若，且三角形有解，則的取值范圍是（）A．B． C． D．2.已知a,b,c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，若a=1,b=,A+C=2B,則sinC為（）A.B.C.D.3.若S是△ABC的面積，已知a＝4，b＝5，S＝5eq\r(3)，則c=．4在中，，，，則此三角形的最小邊的長(zhǎng)為__________．5.已知在中，，，解此三角形.6.在ABC中，已知，，，求b及A.7．在△ABC中，若，且，邊上的高為，求角的大小與邊的長(zhǎng).第三課時(shí)答案：一、1．三三條邊兩定角和一邊和兩角2．元素解三角形3．三角形外接圓半徑4．已知兩角和任意一邊已知兩邊和其中一邊對(duì)角5．二、1.A解析：.2．A解析：根據(jù)正弦定理得=即這是不成立的，所以不存在滿足此條件的三角形.3．D解析：或.4．C解析：在斜三角形中，用正弦定理求角時(shí)，若已知小角求大角，則有兩解；若已知大角求小角，則只有一解.5．B解析：由得，又故有兩解.6.或解析：b=4asinB,sinB=4sinAsinB,sinA=,在△ABC中,0<A<，sinA=，A=或.四、變式訓(xùn)練1：由正弦定理，得，因?yàn)?，，所以?當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.變式訓(xùn)練2：結(jié)合圖象知，當(dāng)或時(shí)，滿足條件的三角形恰有一個(gè)．答案為D.變式訓(xùn)練3：解法1：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE解法3：過(guò)A作AH⊥BC交BC于H，延長(zhǎng)BD到P使BD=DP，連接AP、PC，過(guò)P作PN⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于N，則HB=ABcosB=五．1.C解析：在中，若，，∴A為銳角，，，則根據(jù)正弦定理=．2.A解析：由余弦定理，得，∴.又由正弦定理，得.又，.3．解析：由得，即，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所?4．解析：∵A為最小角，∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180°.∵cos（2A+C）=－，∴sin（2A+C）=.∵C為最大角，∴B為銳角，又sinB=故cosB=.即sin（A+C）=，cos（A+C）=－.∵cos（B+C）=－cosA=－cos［（2A+C）－（A+C）］=－，∴cos2（B+C）=2cos2（B+C）－1=.5．解：由2sin(A+B)－EQ\r(,3)=0，得sin(A+B)=EQ\F(\r(,3),2),∵△ABC為銳角三角形，∴A+B=120°,C=60°,又∵a、b是方程x2－2EQ\r(,3)x+2=0的兩根，∴a+b=2EQ\r(,3)，a·b=2,∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,∴c=EQ\r(,6),S△ABC=EQ\F(1,2)absinC=EQ\F(1,2)×2×EQ\F(\r(,3),2)=EQ\F(\r(,3),2).六．解析：由正弦定理得，則，又，得.而，則，所以角的范圍為.2.D解析：由A+C=2B及得，由正弦定理得得，由知，所以，，所以3．eq\r(21)或eq\r(61)解：∵S＝eq\f(1,2)absinC，∴sinC＝eq\f(\r(3),2)，于是C＝60°或C＝120°.當(dāng)C＝60°時(shí)，c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab＝21，∴c＝eq\r(21)；當(dāng)C＝120°時(shí)，c2＝a2＋b2－2abcos