上篇-2 復(fù)變函數(shù)的積分

1第二章復(fù)變函數(shù)的積分講授內(nèi)容：復(fù)變函數(shù)的積分；柯西定理；柯西公式?；疽螅毫私鈴?fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)；熟練掌握柯西定理和柯西公式。2§2.1復(fù)變函數(shù)的積分一、定義：設(shè)在復(fù)數(shù)平面的某分段光滑曲線l上定義了連續(xù)函數(shù)f(z)，在l上取一系列分點(diǎn)z0（起點(diǎn)A），z1

，

z2，…，

zn（終點(diǎn)B），把l分成n個(gè)小段，在每個(gè)小段[zk-1,zk]上任取一點(diǎn)k，作和????A??xyo?Bz0znlz1zk-1zkk3若極限存在且值與k的選取無關(guān),則這個(gè)和的極限稱為函數(shù)f(z)沿曲線l從A到B的路積分，記為

分量形式：

f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy參數(shù)形式：曲線l的參數(shù)方程{x=x(t),y=y(t)},起始點(diǎn)A

和結(jié)束點(diǎn)

BtA,tB4二、性質(zhì)常數(shù)因子可以移到積分號(hào)之外函數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的和反轉(zhuǎn)積分路徑，積分值變號(hào)5全路徑上的積分等于各分段上的積分的和即：如果

l=l1+l2+……+ln積分不等式1：積分不等式2：其中M

是|f(z)|在l上的最大值，L

是l

的全長。6例1：計(jì)算積分復(fù)變函數(shù)的積分不僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，同時(shí)還與路徑有關(guān)。oxyl1l1l2l211+i1解：7解：積分路徑的參數(shù)方程為2積分值與積分路線圓周的半徑無關(guān)。取C為圓周|z|=3，結(jié)果？8解：積分路徑的參數(shù)方程為9積分值與積分路線圓周的中心和半徑無關(guān)。10§2.2柯西定理一、單連通區(qū)域情形單連通區(qū)域柯西定理：如果函數(shù)f(z)在閉單連通區(qū)域上解析，則沿上任一分段光滑閉合曲線l（可以是邊界），函數(shù)的積分均為零。xyclo11證明：因f(z)在上解析，因而在上連續(xù)。對(duì)實(shí)部虛部分別應(yīng)用格林公式將回路積分化成面積分因?yàn)閡、v滿足C-R條件12推論：在單連通區(qū)域中解析的函數(shù)f(z)的積分值只依賴于起點(diǎn)和終點(diǎn)，而與積分線路無關(guān)。證明：已知其中C2-表示C2

的反方向。單連通區(qū)域內(nèi)，只要起點(diǎn)和終點(diǎn)固定不變，當(dāng)積分路徑連續(xù)變形時(shí)，函數(shù)的路積分值不變。最后可得：由積分的基本性質(zhì)可得：13解：根據(jù)柯西定理,有14

xyl1l2l3l0Bo區(qū)域邊界線的正方向當(dāng)觀察者沿著這個(gè)方向前進(jìn)時(shí)，區(qū)域總是在觀察者的左邊。二、復(fù)連通區(qū)域情形復(fù)連通區(qū)域：如果區(qū)域內(nèi)存在(1)奇點(diǎn)；(2)不連續(xù)線段；(3)無定義區(qū)

,為了把這些奇異部分排除在外，需要作適當(dāng)?shù)膰纋1、l2、l3

把它們分隔出去，形成帶孔的區(qū)域復(fù)連通區(qū)域柯西定理：如果f(z)

是閉復(fù)連通區(qū)域上的單值解析函數(shù)，則其中：l為外邊界線，li為內(nèi)邊界線，積分沿邊界線的正方向。15證：作割線連接內(nèi)外邊界線逆時(shí)針順時(shí)針16閉復(fù)連通區(qū)域上的單值解析函數(shù)沿外境界線逆時(shí)針方向的積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時(shí)針方向積分的和。引申：17解：18根據(jù)復(fù)連通區(qū)域柯西定理有：利用例3結(jié)果19練習(xí)：結(jié)論：不必是圓，a也不必是圓的圓心，只要a在簡單閉曲線內(nèi)即可。20§2.4柯西公式一、單連通區(qū)域情形若f(z)在閉單連通區(qū)域上單值解析，l為的邊界線，為內(nèi)的任一點(diǎn)，則有柯西公式：證明：21因被積函數(shù)一般以為奇點(diǎn)，作回路對(duì)右端的值作一估計(jì)??l從而僅需證明=022??l特例：如果l是以為圓心的圓周，z=

+rei

這就是說，一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周的平均值。23考慮到是解析區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)，將改為z，積分變數(shù)用表示24二、復(fù)連通區(qū)域情形Bl1l2l?

z

對(duì)復(fù)連通區(qū)域只要將l

理解成所有邊界線，且方向均取正向，上式仍成立。三、無界區(qū)域的情形如果當(dāng)|z|時(shí)，f(z)0（一致），則：l’與l反方向?zl’設(shè)f(z)在閉回路l的外部解析，以z=0為圓心，充分大的R為半徑，作圓CR，l在CR內(nèi)，有：25關(guān)于柯西公式的說明：內(nèi)點(diǎn)的值可用邊界線的積分表示；公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式；一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值。26解：由單連通區(qū)域柯西公式有：27解：28根據(jù)復(fù)連通區(qū)域柯西定理有：利用柯西公式29四、重要推論—高階導(dǎo)數(shù)公式兩邊對(duì)z求導(dǎo)：兩端反復(fù)在積分號(hào)下求導(dǎo)即得高階導(dǎo)數(shù)公式。一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù)，而且有各階導(dǎo)數(shù)，它的值也可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示，這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)完全不同。證：30C?z=0?z=1例7：計(jì)算積分I,其中C為不經(jīng)過點(diǎn)0和1的正向曲線。解：分四種情況考慮被積函數(shù)解析，因此，由柯西定理得I=0;

函數(shù)在C上及C包圍的區(qū)域解析，由柯西公式：(1)如果0和1都不在C中(2)若僅0在C內(nèi)31(3)若僅1在C內(nèi)(4)若0和1都在C內(nèi)C?z=1?z=0?z=0?z=1C1C0由柯西定理32因f0(z)在C0上及C0包圍的圓內(nèi)解析，同樣f1(z)在C1上及C1包圍的圓內(nèi)解析，可利用前面結(jié)果得：其中D

為曲線C

包圍的區(qū)域所以，最后結(jié)果為：330213解：僅包含奇點(diǎn)z=2。兩個(gè)奇點(diǎn)z=2和z=0都含在