高中數(shù)學(xué)人教A版3第二章隨機(jī)變量及其分布 章末復(fù)習(xí)課

章末復(fù)習(xí)課[整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建][警示·易錯提醒]1．“互斥事件”與“相互獨(dú)立事件”的區(qū)別．“互斥事件”是說兩個事件不能同時發(fā)生，“相互獨(dú)立事件”是說一個事件發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響．2．對獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)要準(zhǔn)確理解．(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：第一，每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行；第二，任何一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率相等；第三，每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．(2)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式的特點(diǎn)：關(guān)于P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，它是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件A恰好發(fā)生k次的概率．其中n是重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)，p是一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率，k是在n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生的次數(shù)，弄清公式中n，p，k的意義，才能正確運(yùn)用公式．3．(1)準(zhǔn)確理解事件和隨機(jī)變量取值的意義，對實(shí)際問題中事件之間的關(guān)系要清楚．(2)認(rèn)真審題，找準(zhǔn)關(guān)鍵字句，提高解題能力．如“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰有一個發(fā)生”等．(3)常見事件的表示．已知兩個事件A、B，則A，B中至少有一個發(fā)生為A∪B；都發(fā)生為A·B；都不發(fā)生為eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A))·eq\o(\s\up12(—),\s\do4(B))；恰有一個發(fā)生為(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A))·B)∪(A·eq\o(\s\up12(—),\s\do4(B)))；至多有一個發(fā)生為(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A))·eq\o(\s\up12(—),\s\do4(B)))∪(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A))·B)∪(A·eq\o(\s\up12(—),\s\do4(B)))．4．對于條件概率，一定要區(qū)分P(AB)與P(B|A)．5．(1)離散型隨機(jī)變量的期望與方差若存在則必唯一，期望E(ξ)的值可正也可負(fù)，而方差的值則一定是一個非負(fù)值．它們都由ξ的分布列唯一確定．(2)D(ξ)表示隨機(jī)變量ξ對E(ξ)的平均偏離程度．D(ξ)越大表明平均偏離程度越大，說明ξ的取值越分散；反之D(ξ)越小，ξ的取值越集中．(3)D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，在記憶和使用此結(jié)論時，請注意D(aξ＋b)≠aD(ξ)＋b，D(aξ＋b)≠aD(ξ)．6．對于正態(tài)分布，要特別注意N(μ，σ2)由μ和σ唯一確定，解決正態(tài)分布問題要牢記其概率密度曲線的對稱軸為x＝μ.專題一條件概率的求法條件概率是高考的一個熱點(diǎn)，常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，也可能是大題中的一個部分，難度中等．[例1]壇子里放著7個大小、形狀相同的鴨蛋，其中有4個是綠皮的，3個是白皮的．如果不放回地依次拿出2個鴨蛋，求：(1)第1次拿出綠皮鴨蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出綠皮鴨蛋的概率；(3)在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率．解：設(shè)“第1次拿出綠皮鴨蛋”為事件A，“第2次拿出綠皮鴨蛋”為事件B，則“第1次和第2次都拿出綠皮鴨蛋”為事件AB.(1)從7個鴨蛋中不放回地依次拿出2個的事件數(shù)為n(Ω)＝Aeq\o\al(2,7)＝42，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，n(A)＝Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(1,6)＝24.于是P(A)＝eq\f(n（A）,n（Ω）)＝eq\f(24,42)＝eq\f(4,7).(2)因?yàn)閚(AB)＝Aeq\o\al(2,4)＝12，所以P(AB)＝eq\f(n（AB）,n（Ω）)＝eq\f(12,42)＝eq\f(2,7).(3)法一由(1)(2)可得，在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率為P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(2,7)÷eq\f(4,7)＝eq\f(1,2).法二因?yàn)閚(AB)＝12，n(A)＝24，所以P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)＝eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).歸納升華解決概率問題的步驟．第一步，確定事件的性質(zhì)：古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、條件概率，然后把所給問題歸結(jié)為某一種．第二步，判斷事件的運(yùn)算(和事件、積事件)，確定事件至少有一個發(fā)生還是同時發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件公式．第三步，利用條件概率公式求解：(1)條件概率定義：P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）).(2)針對古典概型，縮減基本事件總數(shù)P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).[變式訓(xùn)練]把一枚骰子連續(xù)擲兩次，已知在第一次拋出的是偶數(shù)點(diǎn)的情況下，第二次拋出的也是偶數(shù)點(diǎn)的概率為是多少？解：“第一次拋出偶數(shù)點(diǎn)”記為事件A，“第二次拋出偶數(shù)點(diǎn)”記為事件B，則P(A)＝eq\f(3×6,6×6)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3×3,6×6)＝eq\f(1,4).所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(1,4)÷eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).專題二互斥事件、獨(dú)立事件的概率要正確區(qū)分互斥事件與相互獨(dú)立事件，準(zhǔn)確應(yīng)用相關(guān)公式解題，互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，相互獨(dú)立事件是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件沒有影響．[例2]如圖所示，由M到N的電路中有4個元件，分別標(biāo)為T1，T2，T3，T4，電流能通過T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過T4的概率是，電流能否通過各元件相互獨(dú)立．已知T1，T2，T3中至少有一個能通過電流的概率為.(1)求p；(2)求電流能在M與N之間通過的概率．解：記Ai表示事件：電流能通過Ti，i＝1，2，3，4，A表示事件：T1，T2，T3中至少有一個能通過電流，B表示事件：電流能在M與N之間通過．(1)，A1，A2，A3相互獨(dú)立，P(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A)))＝P＝(1－p)3.又P(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A)))＝1－P(A)＝1－＝，P(A3)＝＋××＋×××＝1.歸納升華求解相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率時，要注意以下幾個問題：(1)若事件A與B相互獨(dú)立，則事件eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A))與B，A與eq\o(\s\up12(—),\s\do4(B))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A))與eq\o(\s\up12(—),\s\do4(B))分別相互獨(dú)立，且有P(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A))B)＝P(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A)))P(B)，P(Aeq\o(\s\up12(—),\s\do4(B)))＝P(A)P(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(B)))，P(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A))eq\o(\s\up12(—),\s\do4(B)))＝P(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A)))P(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(B)))．(2)若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則有P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P([變式訓(xùn)練]一個電路如圖所示，A，B，C，D，E，F(xiàn)為6個開關(guān)，其閉合的概率都是eq\f(1,2)，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是多少？解：由題意知，四條線路是否閉合相互獨(dú)立，開關(guān)A，B與E，F(xiàn)閉合的概率相等，都是P(AB)＝P(A)·P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，所以四條線路都不閉合的概率為P1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,64)，所以燈亮的概率為P＝1－eq\f(9,64)＝eq\f(55,64).專題三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項分布二項分布是高考考查的重點(diǎn)，要準(zhǔn)確理解、熟練運(yùn)用其概率公式Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)·pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，高考以解答題為主，有時也用選擇題、填空題形式考查．[例3]現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答．(1)求張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類題的概率；(2)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題．設(shè)張同學(xué)答對每道甲類題的概率都是eq\f(3,5)，答對每道乙類題的概率都是eq\f(4,5)，且各題答對與否相互獨(dú)立．用X表示張同學(xué)答對題的個數(shù)，求X為1和3的概率．解：(1)設(shè)事件A＝“張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類題”，則有A＝“張同學(xué)所取的3道題都是甲類題”．因?yàn)镻(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A)))＝eq\f(Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，所以P(A)＝1－P(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A)))＝eq\f(5,6).(2)P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(1)·eq\f(1,5)＋Ceq\o\al(0,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)·eq\f(4,5)＝eq\f(28,125)；P(X＝3)＝Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(0)·eq\f(4,5)＝eq\f(36,125).歸納升華解決二項分布問題必須注意：(1)對于公式Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)·pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n必須在滿足“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”時才能運(yùn)用，否則不能應(yīng)用該公式．(2)判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是對立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次．[變式訓(xùn)練]一位病人服用某種新藥后被治愈的概率為，服用這種新藥的有甲、乙、丙3位病人，且各人之間互不影響，有下列結(jié)論：①3位病人都被治愈的概率為；②3人中的甲被治愈的概率為；③3人中恰好有2人被治愈的概率是2××；④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3××.其中正確結(jié)論的序號是________(把正確結(jié)論的序號都填上)．解析：①中事件為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有3次發(fā)生的概率，其概率為，故①正確；由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率相同，知②正確；③中恰有2人被治愈的概率為P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)p2(1－p)＝3××，從而③錯誤；④中恰好有2人未被治愈相當(dāng)于恰好1人被治愈，故概率為Ceq\o\al(1,3)××＝3××，從而④正確．答案：①②④專題四離散型隨機(jī)變量的期望與方差離散型隨機(jī)變量的均值和方差在實(shí)際問題中具有重要意義，也是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容．[例4]一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件做檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n＝3，再從這批產(chǎn)品中任取4件檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n＝4，再從這批產(chǎn)品中任取1件做檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為eq\f(1,2)，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立．(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件A，依題意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝eq\f(4,16)×eq\f(1,16)＋eq\f(1,16)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,64).(2)X可能的取值為400，500，800，并且P(X＝400)＝1－eq\f(4,16)－eq\f(1,16)＝eq\f(11,16)，P(X＝500)＝eq\f(1,16)，P(X＝800)＝eq\f(1,4).所以X的分布列為：X400500800Peq\f(11,16)eq\f(1,16)eq\f(1,4)E(X)＝400×eq\f(11,16)＋500×eq\f(1,16)＋800×eq\f(1,4)＝.歸納升華(1)求離散型隨機(jī)變量的分布列有以下三個步驟：①明確隨機(jī)變量X取哪些值；②計算隨機(jī)變量X取每一個值時的概率；③將結(jié)果用表格形式列出．計算概率時要注意結(jié)合排列組合知識．(2)均值和方差的求解方法是：在分布列的基礎(chǔ)上利用E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn求出均值，然后利用D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,[)xi－E(X)]2pi求出方差．[變式訓(xùn)練]甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為，3a，a，，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為，，(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)．解：(1)由題意得：＋3a＋a＋＝1，解得a＝因?yàn)橐疑渲?0，9，8環(huán)的概率分別為，，，所以乙射中7環(huán)的概率為1－＋＋＝.所以ξ，η的分布列分別為：ξ10987Pη10987P(2)由(1)得：E(ξ)＝10×＋9×＋8×＋7×＝；E(η)＝10×＋9×＋8×＋7×＝；D(ξ)＝(10－2×＋(9－2×＋(8－2×＋(7－2×＝；D(η)＝(10－2×＋(9－2×＋(8－2×＋(7－2×＝.由于E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＜D(η)，說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成績比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好.專題五正態(tài)分布及簡單應(yīng)用高考主要以選擇題、填空題形式考查正態(tài)曲線的形狀特征與性質(zhì)，抓住其對稱軸是關(guān)鍵．[例5]為了解一種植物的生長情況，抽取一批該植物樣本測量高度(單位：cm)，其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求該植物樣本高度的平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)假設(shè)該植物的高度Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s2，利用該正態(tài)分布求P＜Z＜96)．(附：eq\r(110)＝.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝6，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝4)解：(1)x＝55×＋65×＋75×＋85×＋95×＝75，s2＝(55－75)2×＋(65－75)2×＋(75－75)2×＋(85－75)2×＋(95－75)2×＝110.(2)由(1)知，Z～N(75，110)，從而P＜Z＜75)＝eq\f(1,2)×P(75－＜Z＜75＋＝eq\f(1,2)×6＝3，P(75＜Z＜96)＝eq\f(1,2)×P(75－2×＜Z＜75＋2×＝eq\f(1,2)×4＝2，所以P＜Z＜96)＝P＜Z＜75)＋P(75＜Z＜96)＝3＋2＝5.歸納升華求解正態(tài)分布的問題，要根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，還要結(jié)合3σ原則以及正態(tài)曲線與x軸之間的面積為1.[變式訓(xùn)練]某鎮(zhèn)農(nóng)民年收入服從μ＝5000元，σ＝200元的正態(tài)分布．則該鎮(zhèn)農(nóng)民平均收入在5000～5200元的人數(shù)的百分比是________．解析：設(shè)X表示此鎮(zhèn)農(nóng)民的平均收入，則X～N(5000，2023)．由P(5000－200＜X≤5000＋200)＝6.得P(5000＜X≤5200)＝eq\f6,2)＝3.故此鎮(zhèn)農(nóng)民平均收入在5000～5200元的人數(shù)的百分比為%.答案：%專題六方程思想方程思想是解決概率問題中的重要思想，在求離散型隨機(jī)變量的分布列，求兩個或三個事件的概率時常會用到方程思想．即根據(jù)題設(shè)條件列出相關(guān)未知數(shù)的方程(或方程組)求得結(jié)果．[例6]甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為eq\f(1,4)，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為eq\f(1,12)，甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為eq\f(2,9).(1)分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗(yàn)，求至少有一個一等品的概率．解：記A，B，C分別為甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件．由題設(shè)條件有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（Aeq\o(\s\up12(—),\s\do4(B))）＝\f(1,4)，,P（Beq\o(\s\up12(—),\s\do4(C))）＝\f(1,12)，,P（A