高中數學人教A版第二章點直線平面之間的位置關系 市獲獎

(本欄目內容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．下列命題中：①兩個相交平面組成的圖形叫作二面角；②異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補；③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內作射線所成的角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系．其中正確的是()A．①③ B．②④C．③④ D．①②解析：由二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角，所以①不對，實質上它共有四個二面角；由a，b分別垂直于兩個面，則a，b都垂直于二面角的棱，故②正確；③中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故③不對；由定義知④正確．故選B.答案：B2.在四棱錐P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，則下列結論中錯誤的是()A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD解析：由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正確．答案：C3.如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B－PA－C的大小為()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：∵PA⊥平面ABC，BA，CA?平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即為二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故選A.答案：A4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值為()\f(\r(3),2) \f(\r(2),2)\r(2) \r(3)解析：如右圖所示，連接AC交BD于點O，連接A1O，O為BD中點，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠A1OA為二面角A1－BD－A的平面角．設AA1＝1，則AO＝eq\f(\r(2),2).∴tan∠A1OA＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2).二、填空題(每小題5分，共15分)5．經過平面α外一點和平面α內一點與平面α垂直的平面有________個．解析：設面外的點為A，面內的點為B，過點A作面α的垂線l，若點B恰為垂足，則所有過AB的平面均與α垂直，此時有無數個平面與α垂直；若點B不是垂足，則l與點B確定唯一平面β滿足α⊥β.答案：1或無數6．正四面體的側面與底面所成的二面角的余弦值是________．解析：如圖所示，設正四面體ABCD的棱長為1，頂點A在底面BCD上的射影為O，連接DO并延長交BC于點E，連接AE，則E為BC的中點，故AE⊥BC，DE⊥BC，∴∠AEO為側面ABC與底面BCD所成二面角的平面角．在Rt△AEO中，AE＝eq\f(\r(3),2)，EO＝eq\f(1,3)ED＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)，∴cos∠AEO＝eq\f(EO,AE)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)7．如圖，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，則AD＝________.解析：取BC中點M，則AM⊥BC，由題意得AM⊥平面BDC，∴△AMD為直角三角形，AM＝MD＝eq\f(\r(2),2)a.∴AD＝eq\f(\r(2),2)a×eq\r(2)＝a.答案：a三、解答題(每小題10分，共20分)8.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，直線SC⊥平面ABCD，E是SA的中點，求證：平面EDB⊥平面ABCD.證明：連接AC，交BD于點F，連接EF，∴EF是△SAC的中位數，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又EF?平面EDB.∴平面EDB⊥平面ABCD.9．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，求截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值大?。馕觯喝D的中點O，連接AO，A1O(圖略)．在正方體中，AO⊥BD，A1B＝A1D，∴A1O⊥BD，∴∠A1OA為二面角A1－BD－A的平面角，設AA1＝a，在Rt△A1OA中，tan∠A1OA＝eq\f(A1A,AO)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2).即二面角A1－BD－A的正切值為eq\r(2).10.(2023·蚌埠一中高二期中)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，M為棱BB1的中點，則下列結論中錯誤的是()A．D1O∥平面A1BC1B．MO⊥平面A1BC1C．異面直線BC1與AC所成的角等于60°D．二面角M－AC－B等于90°解析：對于選項A，連接B1D1，BO，交A1C1于E，則四邊形D1OBE為平行四邊形，所以D1O∥BE，因為D1O?平面A1BC1，BE?平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1，故正確；對于選項B，連接B1D，因為O為底面ABCD的中心，M為棱BB1的中點，所以MO∥B1D，易證B1D⊥平面A1BC1，所以MO⊥平面A1BC1，故正確；對于選項C，因為AC∥A1C1，所以∠A1C1B為異面直線BC1與AC所成的角，因為△A1C1B為等邊三角形，所以∠A1C1B＝60°，故正確；對于選項D，因為BO⊥AC，MO⊥AC，所以∠MOB為二面角M－AC－B的平面角，顯然不等于90°，故不正確．綜上知，選D.答案：D11．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上一動點．當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為正確的條件即可)解析：連接AC，則BD⊥AC.由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，所以當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)12.(2023·杭州重點中學高二聯考)如圖多面體中，正方形ADEF所在的平面與直角梯形ABCD所在的平面垂直，且AD＝AB＝eq\f(1,2)CD＝2，AB∥CD，M為CE的中點．(1)證明：BM∥平面ADEF；(2)證明：平面BCE⊥平面BDE.證明：(1)取DE中點N，連接MN，AN，因為M、N分別為EC，ED的中點，所以MN綊eq\f(1,2)CD，由已知AB∥CD，AB＝eq\f(1,2)CD，所以MN綊AB.所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，又因為AN?平面ADEF，且BM?平面ADEF，所以BM∥平面ADEF.(2)在正方形ADEF中，ED⊥AD，又因為平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC.在直角梯形ABCD中，取CD的中點P，連接BP，AB＝AD＝2，CD＝4，可得BC＝2eq\r(2)，在△BCD中，BD＝BC＝2eq\r(2)，CD＝4，所以BC⊥BD，BD∩ED＝D.所以BC⊥平面BDE，又因為BC?平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE.13．(2023·杭州重點中學高二聯考)在圖(1)等邊三角形ABC中，AB＝2，E是線段AB上的點(除點A外)，過點E作EF⊥AC于點F，將△AEF沿EF折起到△PEF(點A與點P重合，如圖(2))，使得∠PFC＝60°.(1)求證：EF⊥PC；(2)試問，當點E在線段AB上移動時，二面角P－EB－C的大小是否為定值？若是，求出這個二面角的平面角的正切值，若不是，請說明理由．解析：(1)證明：因為EF⊥PF，EF⊥FC，又由PF∩FC＝F，所以EF⊥平面PFC.又因為PC?平面PFC，所以EF⊥PC.(2)由(1)知，EF⊥平面PFC，所以平面BCFE⊥平面PFC，作PH⊥FC，則PH⊥