高中數(shù)學人教A版3第一章計數(shù)原理單元測試 高質(zhì)作品

1.2排列與組合第三課時組合與組合數(shù)公式一、課前準備1．課時目標(1)理解組合的定義，能區(qū)分一個問題是組合還是排列；(2)熟記組合數(shù)公式，能利用組合數(shù)進行熟練的計算；2．基礎預探1．一般地，從個不同的元素中，任意取出個元素，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合.2．從個不同的元素中，任意取出個元素的個數(shù)，叫做從個不同的元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示.3．組合數(shù)的計算公式：=，由于，所以__________（,并且ｍ≤ｎ）。4．組合數(shù)的性質(zhì)：=1\*GB3①；=2\*GB3②二、學習引領1.處理組合問題應注意什么？①組合要求ｎ個元素是不同的，被取的ｍ個元素也是不同的，即從ｎ個不同元素中進行ｍ次不放回的取出.②組合定義中包含了兩點：一是“取出元素”，二是“并成一組”即與元素的順序無關(guān)，無序性是組合的本質(zhì).如從某班中找出10名同學為組合，若找出10名同學后再排成一隊則為排列問題。③如果兩個組合中的元素完全相同，不管它們的順序如何都是相同的組合.當兩個組合中的元素不完全相同，即使只有一個元素不相同，就不是相同的組合.2.組合與排列有何異同？組合與排列的共同點是都要“從ｎ個不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）個元素”.不同點是前者是“不管順序并成一組”，而后者要“按照一定順序排成一列”.區(qū)分某一個問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān)，若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題；若交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題.3.組合數(shù)的計算有什么技巧？①“組合”與“組合數(shù)”是兩個不同的概念，組合是一個具體的事件，不是一個數(shù)；而“組合數(shù)”是符合條件的所有組合的個數(shù)，它是一個數(shù).②利用組合數(shù)公式進行計算、證明時，要注意隱含條件ｍ≤ｎ且n為整數(shù).③計算時還要靈活運用組合數(shù)的性質(zhì)，若ｍ比較大，可利用性質(zhì)；不計算而改為計算；在計算多個組合數(shù)和時，注意性質(zhì).三、典例導析題型一簡單的組合問題的應用例1甲、乙、丙3位同學選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有()A．36種B．48種C．96種D．192種思路分析:本題的解決要分為三步，甲選2門，乙選3門，丙選3門，然后利用分步乘法計數(shù)原理得到總的種數(shù)。解：甲先從4門課程中選修2門，乙、丙再選修3門，則不同的選修方案共有種，故選C.方法規(guī)律：按元素性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過程分步是處理排列、組合問題的基本思想方法.組合問題只需按事件發(fā)生的過程分步完成即可，與“誰先取，誰后取”，對結(jié)果沒有影響.變式訓練：某學校開設A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有種(用數(shù)字作答).答案:：A題型二組合數(shù)的簡單應用例2已知,求的值.思路導析：先將等式利用組合數(shù)公式展開化簡，得到關(guān)于m的方程求解。解：因為，所以，解得或x=21（舍去）所以方法規(guī)律：解和組合數(shù)有關(guān)的方程、不等式、求值、證明等問題時，要注意組合數(shù)公式及性質(zhì)，同時注意其成立的條件.組合數(shù)公式有兩種形式，乘積式主要用于計算，階乘式主要用于化簡或證明.變式訓練：解方程:題型三組合數(shù)的綜合應用例3已知，求x的值。思路導析:利用公式將原式合并后，再利用組合數(shù)相等建立關(guān)于x的方程求解。解析：由得所以或解得或又因為，所以，所以規(guī)律總結(jié)：利用組合數(shù)公式求和時，注意的應用，特別留意兩個式子上標差1，下標相同時。變式訓練：計算四、隨堂練習1.給出下面幾個問題，其中是組合問題的有()①由1，2，3，4構(gòu)成的2元素集合；②五個隊進行單循環(huán)比賽的分組情況；③由1，2，3組成兩位數(shù)的不同方法數(shù)；④由1，2，3組成無重復數(shù)字的兩位數(shù)．A①③B②④C①②D．①②④2．若，則的值為().A．6B．7C．8D．93.從5名男生和5名女生中選3人組隊參加某集體項目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊方案數(shù)為（）A.100B.110C.120D.1804.某高三學生希望報名參加某6所高校中的3所學校的自主招生考試，由于其中兩所學校的考試時間相同，因此該學生不能同時報考這兩所學校．該學生不同的報考方法種數(shù)是____。5．從編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十個形狀大小相同的球中，任取3個球，則這3個球編號之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)有_______________。6.有10名教師,其中男教師6名,女教師4名現(xiàn)要從中選2人去參加會議,有多少種不同的選法?現(xiàn)要從中選出男、女教師各兩名去參加會議,有多少種不同的選法?五、課后作業(yè)1.從10名大學畢業(yè)生中選3個人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為（）A85B56C49D282.計算的值為（）A120B240C60D4803.安排3名支教教師去4所學校任教，每校至多2人，則不同的分配方案共有種.4．在一個半圓周上共有12個點，如圖，以這些點為頂點，可以畫出____個三角形．5．計算：(1)；(2).6.5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員，現(xiàn)從中選出3名隊員排成1、2、3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有一名老隊員,且1、2號中至少有1名新隊員的排法有多少種？參考答案:1.2排列與組合第三課時組合與組合數(shù)公式一、課前準備2．基礎預探1.合成一組2.不同組合3.4.三、典例導析例1變式訓練答案:A解析：方法一：可分以下2種情況:(1)A類選修課選1門,B類選修課選2門,有種不同的選法;(2)A類選修課選2門,B類選修課選1門,有種不同的選法.所以不同的選法共有+種.方法二:不加任何限制共有種，去掉全選A類選修課共種，再去掉全選B類選修課共種，適合題意的種數(shù)有。例2變式訓練解:由已知可得或,解得x=1或x=5,或x=-7,或x=3.當x=1時,有符合題意,同理可驗證x=3與x=5也成立,當x=-7時,5x-5=-40顯然不符合組合數(shù)公式,所以方程的解集為{1,3,5}.例3變式訓練解：四、隨堂練習1.答案:C解析：對于①．兩個元素的集合，與元素的順序無關(guān)，是組合問題；對于②．單循環(huán)比賽，只需兩個隊比賽一場，與兩個隊的順序無關(guān)，是組合問題；對于③．組成的兩位數(shù)，若取出的是同一個數(shù)字，則與順序無關(guān)，是組合問題，若兩次取出的不是同一數(shù)字，則是排列問題；對于④，由③可知是排列問題．2．答案:B解析：由，得，故.3.答案:B解析：10人中任選3人的組隊方案有，沒有女生的方案有，所以符合要求的組隊方案數(shù)為110種.4.答案:16解析：從6所高校中選取3所學校進行考試，一共有種不同的報考方法，除去兩所學校的考試時間相同的報考數(shù)，故共有種不同的報考方法。5．答案:60解析：編號之和為奇數(shù)共有2類情況，一類是2個球的編號為偶數(shù)一個球的編號為奇數(shù)，一類是三個球的編號都為奇數(shù)，故結(jié)果數(shù)共有CC+C=60.6.解:(1)相當于從10個元素中選出2個元素的組合數(shù),有個.(2)選兩名男教師有種不同的選法,選兩名女教師有種不同的選法,,共有15×6=90種不同的選法.五、課后作業(yè)1.答案:C解析：分為兩類：一類是甲乙兩人只有一人入選的選法有：，另一類是甲乙都入選法有=7，所以共有42+7=49，故選C.2.答案:A解析：3.答案:60解析