高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章平面解析幾何初步單元測試 模塊綜合檢測卷

模塊綜合檢測卷(測試時間：120分鐘評價分值：150分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．直線x－eq\r(3)＝0的傾斜角是(C)A．45°B．60°C．90°D．不存在2．已知點A(x，1，2)和點B(2，3，4)，且|AB|＝2eq\r(6)，則實數(shù)x的值是(D)A．－3或4B．－6或2C．3或－4D．63．圓x2＋y2－2x＝0與圓x2＋y2－2x－6y－6＝0的位置關(guān)系是(D)A．相交B．相離C．外切D．內(nèi)切4．在同一個平面直角坐標(biāo)系中，表示直線y＝ax與y＝x＋a正確的是(C)5．(2023·重慶卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(C)A．12B．18C．24D．30解析：因為三個視圖中直角較多，所以可以在長方體中對幾何體進(jìn)行分析還原，在長方體中計算其體積．由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為直角三角形，由正視圖和左視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)截取得到的．在長方體中分析還原，如圖(1)所示，故該幾何體的直觀圖如圖(2)所示．在圖(1)中，V棱柱ABCA1B1C1＝S△ABC·AA1＝eq\f(1,2)×4×3×5＝30，V棱錐PA1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·PB1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×3×3＝6.故幾何體ABCPA1C1的體積為30－6＝24.故選C.6．(2023·重慶卷)已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為(A)A．5eq\r(2)－4\r(17)－1C．6－2eq\r(2)\r(17)解析：先求出圓心坐標(biāo)和半徑，再結(jié)合對稱性求解最小值，設(shè)P(x，0)，C1(2，3)關(guān)于x軸的對稱點為C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C′1C2|＝eq\r(（2－3）2＋（－3－4）2)＝5eq\r(2).而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5eq\r(2)－4.7．如圖，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，則圖中互相垂直的平面有(B)A．4對B．3對C．2對D．1對8．(2023·遼寧卷)已知點O(0，0)、A(0，b)、B(a，a3)，若△AOB為直角三角形，則必有(C)A．b＝a3B．b＝a3＋eq\f(1,a)C．(b－a3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0D．|b－a3|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0解析：根據(jù)直角三角形的直角的位置求解．若以O(shè)為直角頂點，則B在x軸上，則a必為0，此時O，B重合，不符合題意；若∠A＝eq\f(π,2)，則b＝a3≠0.若∠B＝eq\f(π,2)，根據(jù)斜率關(guān)系可知a2·eq\f(a3－b,a)＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－eq\f(1,a)＝0.以上兩種情況皆有可能，故只有C滿足條件．9．一個圓柱的軸截面為正方形，其體積與一個球的體積之比是3∶2，則這個圓柱的側(cè)面積與這個球的表面積之比為(A)A．1∶1B．1∶eq\r(2)\r(2)∶eq\r(3)D．3∶210．(2023·廣東卷)若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是(D)A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定解析：在長方體模型中進(jìn)行推理論證，利用排除法求解．如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，記l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此時l1∥l4，可以排除選項A和C若l4＝DC1，也滿足條件，可以排除選項B.故選D.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將正確答案填在題中的橫線上)11．若M、N分別是△ABC邊AB、AC的中點，MN與過直線BC的平面β(不包括△ABC所在平面)的位置關(guān)系是________．答案：平行12．(2023·重慶卷)已知直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2－(y－a)2＝4相交于A，B兩點，且△ABC為等邊三角形，則實數(shù)a＝________．解析：根據(jù)“半徑、弦長AB的一半、圓心到直線的距離”滿足勾股定理可建立關(guān)于a的方程，解方程求a.圓心C(1，a)到直線ax＋y－2＝0的距離為eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1)).因為△ABC為等邊三角形，所以|AB|＝|BC|＝2.所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))))eq\s\up12(2)＋12＝22.解得a＝4±eq\r(15).答案：4±eq\r(15)13．兩條平行線2x＋3y－5＝0和x＋eq\f(3,2)y＝1間的距離是________．答案：eq\f(3\r(13),13)14．(2023·大綱全國卷)已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長等于球O的半徑，OK＝eq\f(3,2)，且圓O與圓K所在的平面所成的一個二面角為60°，則球O的表面積等于________．解析：根據(jù)球的截面性質(zhì)以及二面角的平面角的定義確定平面角，把球的半徑轉(zhuǎn)化到直角三角形中計算，進(jìn)而求得球的表面積．如圖所示，公共弦為AB，設(shè)球的半徑為R，則AB＝R.取AB中點M，連接OM、KM，由圓的性質(zhì)知OM⊥AB，KM⊥AB，所以∠KMO為圓O與圓K所在平面所成的一個二面角的平面角，則∠KMO＝60°.在Rt△KMO中，OK＝eq\f(3,2)，所以O(shè)M＝eq\f(OK,sin60°)＝eq\r(3).在Rt△OAM中，因為OA2＝OM2＋AM2，所以R2＝3＋eq\f(1,4)R2，解得R2＝4.所以球O的表面積為4πR2＝16π.答案：16π三、解答題(本大題共6小題，共80分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟)15．(本小題滿分12分)已知兩點A(－1，2)，B(m，3)．(1)求直線AB的斜率；(2)已知實數(shù)m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)－1，\r(3)－1))，求直線AB的傾斜角α的范圍．解析：(1)當(dāng)m＝－1時，直線AB的斜率不存在；當(dāng)m≠－1時，k＝eq\f(1,m＋1).(2)當(dāng)m＝－1時，α＝eq\f(π,2)；當(dāng)m≠－1時，k＝eq\f(1,m＋1)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\r(3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，則α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))).綜上，α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))).16．(本小題滿分12分)(2023·上海卷)如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝6，異面直線BC1與AA1所成角的大小為eq\f(π,6)，求該三棱柱的體積．解析：因為CC1∥AA1，所以∠BC1C為異面直線BC1與AA1所成的角，即∠BC1C＝eq\f(π,6).在Rt△BC1C中，BC＝CC1·tan∠BC1C＝6×eq\f(\r(3),3)＝2eq\r(3)，從而S△ABC＝eq\f(\r(3),4)BC2＝3eq\r(3)，因此該三棱柱的體積為V＝S△ABC·AA1＝3eq\r(3)·6＝18eq\r(3).17．(本小題滿分14分)(2023·湖北卷)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、P、Q、M、N分別是棱AB、AD、DD1、BB1、A1B1、A1D1(1)直線BC1∥平面EFPQ；(2)直線AC1⊥平面PQMN.分析：借助三角形中位線的性質(zhì)、線面平行的判定及線面垂直的判定和性質(zhì)證明．證明：(1)連接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方體，知AD1∥BC因為F，P分別是AD，DD1的中點，所以FP∥AD1.從而BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直線BC1∥平面EFPQ.(2)如圖，連接AC，BD，則AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1?平面ACC1，所以BD⊥AC1.因為M，N分別是A1B1，A1D1的中點，所以MN∥BD，從而MN⊥AC1.同理可證PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直線AC1⊥平面PQMN.18．(本小題滿分14分)下圖是某幾何體的三視圖，請你指出這個幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并求出它的表面積與體積．解析：此幾何體是一個組合體，下半部是長方體，上半部是半圓柱，其軸截面的大小與長方體的上底面大小一致．表面積為S，則S＝32＋96＋48＋4π＋16π＝176＋20π.體積為V，則V＝8×4×6＋eq\f(1,2)×22×8π＝192＋16π.所以幾何體的表面積為(176＋20π)cm2，體積為(192＋16π)cm3.19．(本小題滿分14分)如圖，△ABC中，AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，四邊形ABED是邊長為a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分別是EC、BD的中點．(1)求證：GF∥平面ABC；(2)求BD與平面EBC所成角的大小；(3)求幾何體EFBC的體積．(1)證明：如圖，連EA交BD于點F，∵F是正方形ABED對角線BD的中點，∴F是EA的中點．∴FG∥AC.又FG?平面ABC，AC?平面ABC，∴FG∥平面ABC.(2)解析：∵平面ABED⊥平面ABC，BE⊥AB，∴BE⊥平面ABC.∴BE⊥AC.又∵AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，∴BC⊥AC.又∵BE∩BC＝B，∴AC⊥平面EBC.由(1)知，F(xiàn)G∥AC，∴FG⊥平面EBC.∴∠FBG就是線BD與平面EBC所成的角．又BF＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2)a,2)，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2)a,4)，sin∠FBG＝eq\f(FG,BF)＝eq\f(1,2)，∴∠FBG＝30°.(3)VEFBC＝VFEBC＝eq\f(1,3)S△EBC·FG＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·a·eq\f(\r(2)a,2)·eq\f(1,2)·eq\f(\r(2)a,2)＝eq\f(a3,24).20．(本小題滿分14分)(2023·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(0，3)，直線l：y＝2x－4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．(1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．解析：(1)由題設(shè)，圓心C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點，解得點C(3，2)，于是切線的斜率必存在，設(shè)過A(0，3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3.由題意，得eq\f(|3k＋1|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝0或k＝－eq\f(3,4)，故所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因為圓心在直線y＝2x－4上，設(shè)圓心C(a，2(a－2))，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.設(shè)點M(x，y)，因為MA＝2MO，所以e