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山西省忻州市富村中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知F1、F2分別是橢圓:的左、右焦點(diǎn),若橢圓C上存在點(diǎn)A,滿(mǎn)足,則橢圓的離心率取值范圍是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D2.已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)則z的共軛復(fù)數(shù)是(
)(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:D【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)綜合運(yùn)算因?yàn)?/p>
所以,z的共軛復(fù)數(shù)是
故答案為:D3.定義;平面內(nèi)兩條相交但不垂直的數(shù)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系(兩條數(shù)軸的原點(diǎn)重合且單位長(zhǎng)度相同)稱(chēng)為平面斜坐標(biāo)系.在平面斜坐標(biāo)系xOy中,若=xe1+xe2(其中e1、e2分別是斜坐標(biāo)系x軸y軸正方向上的單位向量x,yR,O為坐標(biāo)系原點(diǎn)),則有序數(shù)對(duì)(x,y)稱(chēng)為點(diǎn)P的斜坐標(biāo).在平面斜坐標(biāo)系xOy中,若∠x(chóng)Oy=120o,點(diǎn)C的斜坐標(biāo)為(1,2),則以點(diǎn)C為圓心,1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xOy中的方程是(
)
A.x2+y2-xy-3y+2=0
B.x2+y2-2x-4y+4=0
C.x2+y2-xy+3y-2=0ks5u
D.x2+y2-2x+4y-4=0參考答案:A略4.若復(fù)數(shù),則z2=(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:B5.設(shè),,,則a,b,c的大小關(guān)系為(
)A.
B. C.
D.參考答案:A6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見(jiàn)次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還?!逼湟馑紴椋河幸粋€(gè)人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地,請(qǐng)問(wèn)第2天走了(
)A.192里
B.96里
C.48里
D.24里參考答案:B7.已知,,則
(
)(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:C略8.設(shè)集合P={3,log2a},Q={a,b},若P∩Q={0},則P∪Q=()A.{3,0} B.{3,0,1} C.{3,0,2} D.{3,0,1,2}參考答案:B【考點(diǎn)】1D:并集及其運(yùn)算.【分析】根據(jù)集合P={3,log2a},Q={a,b},若P∩Q={0},則log2a=0,b=0,從而求得P∪Q.【解答】解:∵P∩Q={0},∴l(xiāng)og2a=0∴a=1從而b=0,P∪Q={3,0,1},故選B.9.如圖給出的是計(jì)算的值的一個(gè)框圖,其中菱形判斷橫應(yīng)填入的條件是A.
B.
C.
D.參考答案:A試題分析:由于共10個(gè)數(shù),每執(zhí)行一次加一個(gè)數(shù),的值增加1,加10個(gè)數(shù)之后,的值變?yōu)?1,此時(shí)判斷框的條件成立,退出循環(huán)體,判斷框內(nèi)條件應(yīng)為,故答案為A.考點(diǎn):程序框圖的應(yīng)用.10.某幾何體三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在極坐標(biāo)系中,過(guò)圓的圓心,且垂直于極軸的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為
。參考答案:12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為
參考答案:505013.對(duì)正整數(shù)n,設(shè)曲線(xiàn)y=xn(1﹣x)在x=2處的切線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an,則數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式是
.參考答案:2n+1﹣2考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程;數(shù)列的求和.專(zhuān)題:計(jì)算題;壓軸題.分析:欲求數(shù)列的前n項(xiàng)和,必須求出在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)方程,須求出其斜率的值即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線(xiàn)的斜率即得直線(xiàn)方程進(jìn)而得到切線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo).最后利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算,從而問(wèn)題解決.解答: 解:y′=nxn﹣1﹣(n+1)xn,曲線(xiàn)y=xn(1﹣x)在x=2處的切線(xiàn)的斜率為k=n2n﹣1﹣(n+1)2n切點(diǎn)為(2,﹣2n),所以切線(xiàn)方程為y+2n=k(x﹣2),令x=0得an=(n+1)2n,令bn=.?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為2+22+23+…+2n=2n+1﹣2.故答案為:2n+1﹣2.點(diǎn)評(píng):本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)切線(xiàn)的斜率,數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式.解后反思:應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)切線(xiàn)的斜率時(shí),要首先判定所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)為切點(diǎn).否則容易出錯(cuò).14.已知,,則參考答案:15.已知點(diǎn)是函數(shù)的圖像上任意不同兩點(diǎn),依據(jù)圖像可知,線(xiàn)段AB總是位于A、B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的上方,因此有結(jié)論成立.運(yùn)用類(lèi)比思想方法可知,若點(diǎn)是函數(shù)的圖像上的不同兩點(diǎn),則類(lèi)似地有
成立.參考答案:略16.已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊,,且,則
.參考答案:(或30°)因?yàn)?,所以由正弦定理?7.集合,,則等于
.參考答案:【測(cè)量目標(biāo)】數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學(xué)中有關(guān)方程與代數(shù)的基本知識(shí).【知識(shí)內(nèi)容】方程與代數(shù)/集合與命題/交集,并集,補(bǔ)集;方程與代數(shù)/不等式/一元二次不等式(組)的解法、含有絕對(duì)值的不等式的解法.【試題分析】集合,,所以,故答案為.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本題滿(mǎn)分14分)如圖,已知平面,∥,是正三角形,且.(1)設(shè)是線(xiàn)段的中點(diǎn),求證:∥平面;(2)求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值.參考答案:(I)證明:取CE中點(diǎn)N,連接MN,BN則MN∥DE∥AB且MN=DE=AB∴四邊形ABNM為平行四邊形∴AM∥BN
………....4分
∴AM∥平面BCE………....6分(Ⅱ)解:取AD中點(diǎn)H,連接BH,
∵是正三角形,
∴CH⊥AD
…....8分
又∵平面
∴CH⊥AB
∴CH⊥平面ABED
....10分
∴∠CBH為直線(xiàn)與平面所成的角………....12分設(shè)AB=a,則AC=AD=2a
,
∴BH=a
BC=a
cos∠CBH=
………………....14分略19.參考答案:解析:(Ⅰ)連結(jié)AC,交BD于點(diǎn)O,連結(jié)PO,則PO⊥面ABCD
(2分)又∵
,∴,(2分)∵,∴
.(2分)
(Ⅱ)∵AO⊥BD,AO⊥PO,∴AO⊥面PBD,(1分)過(guò)點(diǎn)O作OM⊥PD于點(diǎn)M,連結(jié)AM,AM⊥PD,
(1分)
∴∠AMO就是二面角A-PD-O的平面角,(1分)∵,∴AO=,PO=
,(1分)∴
,即二面角的大小為.
(2分)20.設(shè)a、b、c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C的對(duì)邊,若向量,且,(1)求tanA?tanB的值;(2)求的最大值.參考答案:【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值;平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【專(zhuān)題】三角函數(shù)的求值.【分析】(1)由,化簡(jiǎn)得4cos(A﹣B)=5cos(A+B),由此求得tanA?tanB的值.(2)利用正弦定理和余弦定理化簡(jiǎn)為,而,利用基本不等式求得它的最小值等于,從而得到tanC有最大值,從而求得所求式子的最大值.【解答】解:(1)由,得.…即
,亦即
4cos(A﹣B)=5cos(A+B),即4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB﹣5sinAsinB…所以,9sinAsinB=cosAcosB,求得.…(2)因,…而,所以,tan(A+B)有最小值,…
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值.又tanC=﹣tan(A+B),則tanC有最大值,故的最大值為.…【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量數(shù)量積公式,正弦定理和余弦定理,兩角和的正切公式,以及基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.21.已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為的等比數(shù)列.數(shù)列前項(xiàng)和為,且滿(mǎn)足,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求正整數(shù)的值;(3)是否存在正整數(shù),使得恰好為數(shù)列中的一項(xiàng)?若存在,求出所有滿(mǎn)足條件的值,若不存在,說(shuō)明理由.參考答案:【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì);等差數(shù)列的性質(zhì).D2
D3【答案解析】(1);(2)2;(3)存在正整數(shù)m=1,使得恰好為數(shù)列{an}中的第三項(xiàng),存在正整數(shù)m=2,使得恰好為數(shù)列{an}中的第二項(xiàng).解析:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,則a1=1,a2=2,a3=1+d,a4=2q,a9=1+4d.∵S5=2a4+a5,∴a1+a2+a3=a4,即4d=2q,又a9=a3+a4.∴1+4d=1+d=2q.解得:d=2,q=3.∴對(duì)于k∈N*,有.故;(2)若am=2k,則由amam+1=am+2,得2?3k﹣1(2k+1)=2?3k,解得:k=1,則m=2;若am=2k﹣1,則由(2k﹣1)?2?3k﹣1=2k+1,此時(shí)左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),不成立.故滿(mǎn)足條件的正數(shù)為2;(3)對(duì)于k∈N*,有..假設(shè)存在正整數(shù)m,使得恰好為數(shù)列{an}中的一項(xiàng),又由(1)知,數(shù)列中的每一項(xiàng)都為正數(shù),故可設(shè)=L(L∈N*),則,變形得到:(3﹣L)3m﹣1=(L﹣1)(m2﹣1)①.∵m≥1,L≥1,3m﹣1>0,∴L≤3.又L∈N*,故L可能取1,2,3.當(dāng)L=1時(shí),(3﹣L)3m﹣1>0,(L﹣1)(m2﹣1)=0,∴①不成立;當(dāng)L=2時(shí),(3﹣2)3m﹣1=(2﹣1)(m2﹣1),即3m﹣1=m2﹣1.若m=1,3m﹣1≠m2﹣1,令,則=.因此,1=T2>T3>…,故只有T2=1,此時(shí)m=2,L=2=a2.當(dāng)L=3時(shí),(3﹣3)3m﹣1=(3﹣1)(m2﹣1).∴m=1,L=3=a3.綜上,存在正整數(shù)m=1,使得恰好為數(shù)列{an}中的第三項(xiàng),存在正整數(shù)m=2,使得恰好為數(shù)列{an}中的第二項(xiàng).【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q由題意列式求出公差和公比,則等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;(2)分am=2k和am=2k﹣1,利用amam+1=am+2即可求出滿(mǎn)足該等式的正整數(shù)m的值;(3)對(duì)于k∈N*,有..假設(shè)存在正整數(shù)m,使得恰好為數(shù)列{an}中的一項(xiàng),設(shè)=L(L∈N*),則,變形得到(3﹣L)3m﹣1=(L﹣1)(m2﹣1),由此式得到L的可能取值,然后依次分類(lèi)討論求解.22.一個(gè)袋子中裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球,假設(shè)袋子中的每一個(gè)球被摸到可能性是相等的。(Ⅰ)從袋子中任意摸出3個(gè)球,求摸出的球均為白球的概率;(Ⅱ)一次從袋子中任意摸出3個(gè)球,若其中紅球的個(gè)數(shù)多于白球的個(gè)數(shù),則稱(chēng)“摸球成功”(每次操作完成后將球放回),某人連續(xù)摸了3次,記“摸球成功”的次數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望。參考答案:(Ⅰ);(Ⅱ)解析:(Ⅰ)設(shè)從袋子中任意摸出
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