圓錐曲線切線尺規(guī)作圖方法(東大徐文平)

圓錐曲線切線的尺規(guī)作圖方法徐文平

東南大學土木工程學院[1]徐文平.圓錐曲線切線的尺規(guī)作圖法及其簡證[J]，數學學習與研究，2014.5[2]徐文平.圓錐曲線內接四邊形的四極點調和分割定理[J]，數學學習與研究，2014.7

[3]徐文平.橢圓焦點弦的優(yōu)美性質及其簡證[J]，中學數學研究，2014.5[4]徐文平.花中覓尋蝶影妙證蝴蝶定理[J]，數學學習與研究，2014.3

命題1：過橢圓Y上一點A，作豎向垂線，與橢圓Y相交于B點，點J、K是橢圓Y的象限點，JA、BK兩條延伸線相交于C點，過C點作豎向垂線，與水平軸交于N點，NA連線就是所求的橢圓切線T1。過橢圓上一點作切線方法

命題2：已知橢圓的斜向割線AB，點J、K是橢圓的頂點，JA、BK交于E點，JB、AK交于F點，確定EF的中點N點，連線NA、NB就是橢圓的切線。過橢圓上一點作切線方法

命題3：已知橢圓Y的一斜向割線AB，作一條過橢圓心O點的任意割線JK，與橢圓Y相交于J、K兩點。JA、BK交于E點，作AK、JB交于F點。確定EF的中點N點，連線NA、NB就是橢圓的切線。

過橢圓上一點作切線方法

新定理1（徐文平）：圓錐曲線內接四邊形的對邊延伸線兩交點調和分割對角線兩極點。

圓錐曲線內接四邊形的四極點調和分割定理（橢圓、雙曲線或者拋物線的內接四邊形KLMN，對邊線KN與LM交于A，對邊線KL與NM交于B，對角線KM的極點為C，對角線LN的極點為D，KM與LN交于Q點，則A、B、C、D四點共線，且AB調和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。）

新定理1（徐文平）：圓錐曲線內接四邊形的對邊延伸線兩交點調和分割對角線兩極點。

圓錐曲線內接四邊形的四極點調和分割定理（橢圓、雙曲線或者拋物線的內接四邊形KLMN，對邊線KN與LM交于A，對邊線KL與NM交于B，對角線KM的極點為C，對角線LN的極點為D，KM與LN交于Q點，則A、B、C、D四點共線，且AB調和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。）

新定理1（徐文平）：圓錐曲線內接四邊形的對邊延伸線兩交點調和分割對角線兩極點。

圓錐曲線內接四邊形的四極點調和分割定理（橢圓、雙曲線或者拋物線的內接四邊形KLMN，對邊線KN與LM交于A，對邊線KL與NM交于B，對角線KM的極點為C，對角線LN的極點為D，KM與LN交于Q點，則A、B、C、D四點共線，且AB調和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。）

圓錐曲線內接四邊形的四極點調和分割定理

（新定理證明要點）

引理1：二次圓錐曲線的內接完全四點形的對邊三點形是圓錐曲線的自配極三點形。

引理2：圓錐曲線中的極線共點于P，則這些極線相應的極點共線于P相應的極線。反之亦然，稱為極點與相應極線對偶性。第一步：通過引理1、2，證明下述3個圖形成立第二步：賽瓦定理和梅涅勞斯定理證明四極點調和分割第三步：對于內接四邊形的對角線特例情況--通過圓心或垂直y軸，進行應用研究

命題4：已知雙曲線的斜向割線AB，點J、K是雙曲線的頂點，JA、BK交于E點，JB、AK交于F點，確定EF的中點N點，連線NA、NB就是雙曲線的切線。（如果JK為過雙曲線中心的任意割線，雙曲線切線做法也成立。）

過雙曲線上一點作切線方法

命題5：已知拋物線的斜向割線AB，點J是拋物線上任意一點，JA與B點豎垂線交于F點，JB與A點豎垂線交于E點，確定EF的中點N點，連線NA、NB就是拋物線的切線。（如果點J是拋物線的頂點，則拋物線切線做法更簡單，此時EF為水平線）過拋物線上一點作切線方法

勒姆柯爾過橢圓外一點P，引四條割線PAiBi（i=1,2,3,4）,直線A1B2與A2B1交于Q點，直線A3B4與A4B3交于R點，直線QR交橢圓于S、T兩個點，則S、T是橢圓對應點P的兩個切點，直線PS、PT就是所求的切線過橢圓外一點作切線方法

大數學家高斯的朋友舒馬赫不滿足勒姆柯爾的方法，寫信給高斯，信中說他找到了一個只需引三條割線就可以作橢圓切線的方法。

過橢圓外一點作切線方法

高斯在收到舒馬赫的信第六天，回信提出了一個只需引兩條割線。就可以作橢圓切線的簡捷方法。

過橢圓外一點作切線方法

虛擬橢圓法（徐文平）：已知橢圓Y1和橢圓外一點A，以橢圓Y1的長軸a為半徑作圓G1，過A點做豎向垂線L1，與水平軸相交于C點，在豎向垂線L1截取一點B，使得。過B點，作小圓G1的切線T1，相交于圓G1于切點D，相交于水平軸于N點，連接N點與A點連線，NA即所求小橢圓Y1的切線T2。過橢圓外一點作切線方法

命題6：已知雙曲線外一點P，過P點作PAB與PCD二條任意雙曲線割線，AD、CB交于Q點，AC、BD延長交于R，連線QR與雙曲線交于S、T兩點，PS、PT就是雙曲線的切線。過雙曲線外一點作切線方法

命題7：已知拋物線外一點，過P點作PAB與PCD二條任意拋物線割線，AD、CB交于Q點，在y軸上確定一點，連線QR與拋物線交于S、T兩點，PS、PT就是拋物線的切線。過拋物線外一點作切線方法

過拋物線外一點作切線方法命題8：已知拋物線外一點，過P點作一條任意拋物線割線交于A、B兩點，過P點作豎向垂線與拋物線交于C，連接AC連線，過B點作豎向垂線與AC交于Q點。在y軸上確定一點，連線QR就是P點的極線，QR與拋物線交于S、T兩點，PS、PT就是拋物線的切線。

過拋物線外一點作切線方法

命題8：已知拋物線外一點，過P點作一條任意拋物線割線交于A、B兩點，過P點作水平線與拋物線交于C，連接AC連線，過B點作水平線與AC交于Q點。在x軸上確定一點，連線QR就是P點的極線，QR與拋物線交于S、T兩點，PS、PT就是拋物線的切線。

極點極線與密克爾點

命題9：M點是完全四邊形ABCDEF的密克爾點，ABCD四點共圓，對角線AC、BD交于Q，圓⊙O內接四邊形ABCD的AB、DC對邊延伸交于E，BC、AD對邊延伸交于F，連線EF是Q極點關于圓⊙O的極線，則M點必定在極線EF上，且O、Q、M三點共線，OM⊥EF。

橢圓焦點弦的優(yōu)美性質及其簡證

性質1：過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于P、Q點，點A、B為橢圓長軸上的頂點，AP和BQ交于M，BP和AQ交于N，點C為MN的中點，則有以下一些優(yōu)美的性質。（1）MF⊥NF；（2）FC⊥PQ；

（3）MN的中點C為焦點弦PQ的極點，即PC、QC與橢圓相切；（4）MF平分∠PFB角，NF平分∠QFB角。

橢圓焦點弦的優(yōu)美性質及其簡證

性質2：過橢圓一個焦點F的任意兩條焦點弦PQ與AB，AP和BQ交于M，BP和AQ交于N，點C為PQ的極點，點D為AB的極點，則有以下一些優(yōu)美的性質。（1）MF平分∠PFB角，NF平分∠QFB角。

（2）MF⊥NF；（3）FC⊥PQ，FD⊥AB；

（4）CD調和分割MN，即1/NC+1/ND＝2/NM。

花中覓尋蝶影妙證蝴蝶定理（徐文平