線性代數(shù)消元法

關(guān)于線性代數(shù)消元法第一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日21．一般線性方程組是指形式為(1)是方程的個(gè)數(shù);的方程組，其中代表個(gè)未知量，稱為方程組的系數(shù)；稱為常數(shù)項(xiàng)

。

一、一般線性方程組的基本概念第二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日32．方程組的解設(shè)是個(gè)數(shù)，如果分別用代入后，(1)中每一個(gè)式子都變成恒等式,則稱有序數(shù)組是（1）的一個(gè)解.(1)的解的全體所成集合稱為它的解集合．解集合是空集時(shí)就稱方程組（1）無(wú)解．3．同解方程組如果兩個(gè)線性方程組有相同的解集合，則稱它們是同解的．第三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日4例1

解線性方程組

解：第二個(gè)方程乘以2，再與第一個(gè)方程對(duì)換次序得第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程的2倍，二、消元法解一般線性方程組第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程的3倍，得

1.引例

第四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日5第三個(gè)方程減去第二個(gè)方程的5倍，得第三個(gè)方程乘以，得第五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日6第一個(gè)方程加上第三個(gè)方程；第二個(gè)方程加上第三個(gè)方程，得

這樣便求得原方程組的解為或第六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日7

例2解下列方程組解：對(duì)換第一，三個(gè)方程的次序第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程的2倍，第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程的5倍，得

第七頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日8出現(xiàn)矛盾方程“0＝5”，所以原方程組無(wú)解.第三個(gè)方程減去第二個(gè)方程的2倍，得

第八頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日9例3解下列方程組解：第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程的2倍，

第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程的1倍，得第三個(gè)方程加上第二個(gè)方程的1倍，得第九頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日10未知量x2可以自由取值.第十頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日11定義線性方程組的初等變換是指下列三種變換①用一個(gè)非零的數(shù)乘某一個(gè)方程；②將一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上；③交換兩個(gè)方程的位置．性質(zhì)線性方程組經(jīng)初等變換后，得到的線性方程組與原線性方程組同解．2．線性方程組的初等變換證明：略第十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日12如對(duì)方程組（1）作第二種初等變換:簡(jiǎn)便起見，不妨設(shè)把第二個(gè)方程的k倍加到第一個(gè)方程得到新方程組（1'）．（1'）設(shè)是方程組（1）的任一解，則第十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日13所以也是方程組（1'）的解.于是有同理可證的（1'）任一解也是（1）的解.故方程組（1'）與（1）是同解的.第十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日143．利用初等變換解一般線性方程組（化階梯方程組）先檢查(1)中的系數(shù)，若全為零，則沒有任何限制，即可取任意值，從而方程組(1)可以看作是的方程組來(lái)解．第十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日15如果的系數(shù)不全為零，不妨設(shè)，分別把第一個(gè)方程的倍加到第i個(gè)方程．(3)于是(1)就變成其中(4)第十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日16再考慮方程組(4)即，方程組(3)有解當(dāng)且僅當(dāng)方程組(4)有解.(3)是同解的，因此方程組(1)有解當(dāng)且僅當(dāng)(4)有解．對(duì)方程組(4)重復(fù)上面的討論，并且一步步作下去，最后就得到一個(gè)階梯形方程組.的一個(gè)解；而方程組(3)的解都是方程組(4)有解.顯然，方程組(4)的一個(gè)解代入方程組(3)就得出(3)而(1)與第十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日17這時(shí)去掉它們不影響(5)的解．(5)其中方程組(5)中的“０＝０”這樣一些恒等式可能不出現(xiàn)而且(1)與(5)是同解的．

也可能出現(xiàn)，為了討論的方便，不妨設(shè)所得的階梯形方程組為第十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日18考察方程組的解的情況:由Cramer法則，此時(shí)(6)有唯一解，從而(1)有唯一解．(6)i)若．這時(shí)階梯形方程組為其中２°時(shí)，方程組(5)有解，從而(1)有解，１°時(shí)，方程組(5)無(wú)解，從而(1)無(wú)解．分兩種情況：此時(shí)去掉“０＝０”的方程．第十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日19此時(shí)方程組(7)有無(wú)窮多個(gè)解，從而(1)有無(wú)窮多個(gè)解.

(7)ii)若，其中事實(shí)上，任意給一組值，由(7)就唯一地定出的

一組值．這時(shí)階梯形方程組可化為第十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日20稱為一組自由未知量．而通過一般地，我們可以把這樣一組表達(dá)式稱為方程組(1)的一般解，表示出來(lái)．

第二十頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日21三、齊次線性方程組的解定理1

在齊次線性方程組中，如果，則它必有非零解.第二十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日22解線性方程組

解：第二個(gè)方程乘以2，再與第一個(gè)方程對(duì)換次序得第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程的2倍，第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程的3倍，得

1.引例

四、矩陣第二十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日23第三個(gè)方程減去第二個(gè)方程的5倍，得第三個(gè)方程乘以，得

第二十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日24第一個(gè)方程加上第三個(gè)方程；第二個(gè)方程加上第三個(gè)方程，得

這樣便求得原方程組的解為或第二十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日25定義由sn個(gè)數(shù)排成

s行

n列的表稱為一個(gè)

s×n矩陣，j為列指標(biāo).簡(jiǎn)記為數(shù)

稱為矩陣A的

i

行j

列的元素，其中i為行指標(biāo)，2.矩陣的定義

第二十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日26若矩陣則說(shuō)A為數(shù)域

P上的矩陣．當(dāng)

s=n時(shí)，稱為n級(jí)方陣．由n級(jí)方陣定義的

n級(jí)行列式稱為矩陣A的行列式，記作或detA．特別地，第二十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日273.

矩陣相等則稱矩陣A與B相等，記作

A=B．設(shè)矩陣如果第二十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日28(1)4.線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣系數(shù)矩陣增廣矩陣第二十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日291)以P中一個(gè)非零數(shù)k乘矩陣的一行

；2)把矩陣的某一行的k倍加到另一行，；3)互換矩陣中兩行的位置．注意：5.矩陣的初等行變換定義數(shù)域P上的矩陣的初等行變換是指：矩陣A經(jīng)初等行變換變成矩陣B，一般地A≠B．類似地有矩陣A的初等列變換.第二十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日30第三十頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日31特點(diǎn)：

1.可畫出一條階梯線，線的下方全是零.

2.每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即為非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長(zhǎng)度為一行）后面的元素為非零元，即為非零行的第一個(gè)非零元.

階梯形矩陣

第三十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日32如果矩陣A的任一行從第一個(gè)元素起至該行的6.階梯形矩陣

第一個(gè)非零元素所在的下方全為零；若該行全為0，則它的下面各行也全為0，則稱矩陣A為階梯形矩陣．

例第三十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日33任意一個(gè)矩陣總可以經(jīng)過一系列初等行變換化成階梯形矩陣．命題第三十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日34行最簡(jiǎn)階梯形矩陣

特點(diǎn)：非零行的第一個(gè)非零元為1，且非零行的第一個(gè)非零元所在的列的其他元素為零.

第三十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日357．線性方程組消元法的矩陣表示不妨設(shè)線性方程組(1)的增廣矩陣經(jīng)過一系列初等變換化成階梯形矩陣第三十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日36其中１°時(shí)，方程組(1)無(wú)解．２°時(shí)，方程組(1)有解.第三十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日37且方程組(1)與方程組(7)同解(7)當(dāng)時(shí)，方程組(1)有無(wú)窮多解．所以，當(dāng)時(shí)，方程組(1)有唯一解；（這樣，方程組(1)有沒有解，以及有怎樣的解，都可以通過它的增廣矩陣