機(jī)械振動(dòng)4兩自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第四章1《振動(dòng)力學(xué)》kcm建模方法1：將車、人等全部作為一個(gè)質(zhì)量考慮，并考慮彈性和阻尼要求：對(duì)汽車的上下振動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模例子：汽車行駛在路面上會(huì)產(chǎn)生上下振動(dòng)缺點(diǎn)：模型粗糙，沒有考慮人與車、車與車輪、車輪與地面之間的相互影響優(yōu)點(diǎn)：模型簡單（單自由度）分析：人與車、車與車輪、車輪與地面之間的運(yùn)動(dòng)存在耦合2《振動(dòng)力學(xué)》k2c2m車m人k1c1建模方法2：車、人的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼優(yōu)點(diǎn)：模型較為精確，考慮了人與車之間的耦合缺點(diǎn)：沒有考慮車與車輪、車輪與地面之間的相互影響需兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)3《振動(dòng)力學(xué)》m人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m車m輪m輪建模方法3：車、人、車輪的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼優(yōu)點(diǎn)：分別考慮了人與車、車與車輪、車輪與地面之間的相互耦合，模型較為精確問題：如何描述各個(gè)質(zhì)量之間的相互耦合效應(yīng)？需多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)4《振動(dòng)力學(xué)》本章教學(xué)內(nèi)容§4.1自由振動(dòng)§4.2靜力耦合和動(dòng)力耦合§4.3任意初始條件的自由振動(dòng)§4.4簡諧激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)§4.5動(dòng)力減振器5《振動(dòng)力學(xué)》兩自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程一般由兩個(gè)聯(lián)立的微分方程組成。兩自由度系統(tǒng)以固有頻率進(jìn)行的振動(dòng)，這種相對(duì)固定的位移形態(tài)稱為固有振型，或模態(tài)。解兩個(gè)聯(lián)立的微分方程會(huì)得到兩個(gè)特征根，即兩個(gè)固有頻率。有兩個(gè)相對(duì)固定的位移形態(tài)?！?.1自由振動(dòng)6《振動(dòng)力學(xué)》m1m2k1k2k3x1x2k1x1k2(x1-x2)m1k2(x1-x2)m2k3x2

寫成矩陣形式：其中：實(shí)例：剛度矩陣質(zhì)量矩陣7《振動(dòng)力學(xué)》找x1與x2同步運(yùn)動(dòng)的解：代入方程得：（4.1-4）要使上式有解，必須：8《振動(dòng)力學(xué)》與單自由度振動(dòng)的方程一樣，要有振動(dòng)，λ必須為正實(shí)數(shù)。代入方程得：（4.1-9）代數(shù)方程，有非零解的條件：特征行列式，（4.1-10）9《振動(dòng)力學(xué)》10《振動(dòng)力學(xué)》11《振動(dòng)力學(xué)》12《振動(dòng)力學(xué)》m1m2k1k2k3x1x2解：方程其中：例4.1-1：13《振動(dòng)力學(xué)》m1m2k1k2k3x1x2111-0.514《振動(dòng)力學(xué)》解：方程其中：例4.1-2：15《振動(dòng)力學(xué)》例4.1-2：求扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和固有振型兩圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的扭轉(zhuǎn)剛度建立方程：16《振動(dòng)力學(xué)》特征方程：特征根：17《振動(dòng)力學(xué)》節(jié)面處始終保持不動(dòng)。118《振動(dòng)力學(xué)》例4.1-3討論汽車簡化模型，試建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。k1k2ABCOal1l2O0xθ設(shè)剛性桿AB的質(zhì)量為m，相對(duì)質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，彈簧剛度系數(shù)為k1、k2，以O(shè)點(diǎn)為參考點(diǎn)，O點(diǎn)與質(zhì)心C的距離為a，距離A、B點(diǎn)分別為l1、l2，相對(duì)靜平衡位置O0的位移為x，剛性桿相對(duì)平衡位置的偏角為θ。19《振動(dòng)力學(xué)》解：以x、θ為廣義坐標(biāo)k1k2ABCOal1l2O0xθ系統(tǒng)的動(dòng)能：θ為小量20《振動(dòng)力學(xué)》兩彈簧的伸長量：k1k2ABCOal1l2O0xθ系統(tǒng)的勢(shì)能：θ為小量21《振動(dòng)力學(xué)》2個(gè)自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程：：廣義坐標(biāo)：拉格朗日函數(shù)：對(duì)應(yīng)于非保守廣義力此處為x和θ。自由振動(dòng)時(shí)，Qi為0。代入拉格朗日方程，得：22《振動(dòng)力學(xué)》代入拉格朗日方程，得：矩陣形式：存在慣性耦合存在彈性耦合2個(gè)自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程：23《振動(dòng)力學(xué)》如果O點(diǎn)選在質(zhì)心C：只存在彈性耦合，而不出現(xiàn)慣性耦合：作用在質(zhì)心上的外力合力和合力矩24《振動(dòng)力學(xué)》如果O點(diǎn)選在這樣一個(gè)特殊位置，使得：只存在慣性耦合，而不出現(xiàn)彈性耦合這個(gè)特殊位置稱為系統(tǒng)的剛度中心25《振動(dòng)力學(xué)》m1m2k1k2m3k3x1x2x3例5.1.2：試建立右圖系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。解1：廣義坐標(biāo)：x1、x2、x3，均以靜平衡位置為原點(diǎn)。系統(tǒng)的勢(shì)能：系統(tǒng)的動(dòng)能：設(shè)某一瞬時(shí)：分別有位移速度為26《振動(dòng)力學(xué)》：對(duì)應(yīng)于非保守廣義力自由振動(dòng)時(shí)，Qi為0。代入拉格朗日方程：得：27《振動(dòng)力學(xué)》寫成矩陣形式：其中：28《振動(dòng)力學(xué)》受力分析：Q1(t)k1x1k2(x1-x2)m1Q2(t)k2(x1-x2)m2k3(x2–x3）解2：用牛頓力學(xué)方法，設(shè)廣義坐標(biāo)：x1、x2、x3，均以靜平衡位置為原點(diǎn)。設(shè)某一瞬時(shí)：分別有位移加速度為m1m2k1k2m3k3x1x2x3Q3(t)k3(x2-x3)m329《振動(dòng)力學(xué)》Q1(t)k1x1k2(x1-x2)m1Q2(t)k2(x1-x2)m2k3(x2–x3）Q3(t)k3(x2-x3)m3寫成矩陣形式：其中：30《振動(dòng)力學(xué)》5.1.3剛度矩陣與柔度矩陣動(dòng)力學(xué)方程組有明確的物理意義。剛度矩陣K的元素kij(i=1,2,…,n)稱為剛度影響系數(shù)?，F(xiàn)考慮靜變形的特殊情況，即令方程：中的加速度項(xiàng)為0，那么彈性恢復(fù)力與非保守力平衡：對(duì)任意的i，若只有一個(gè)qj=1，其它q均為0，則kij=Qi31《振動(dòng)力學(xué)》對(duì)任意的i，若只有一個(gè)qj=1，其它q均為0，則kij=Qi剛度影響系數(shù)kij可理解為：使系統(tǒng)僅產(chǎn)生沿qj坐標(biāo)的單位位移時(shí)，必須施加與qi坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力。利用這個(gè)意義，我們可以求出剛才例子的各剛度影響系數(shù)。ki1：只有q1=1，其它q均為0，k11=

Q1,k21=

Q2,k31=

Q3。ki2：只有q2=1，其它q均為0，k12=

Q1,k22=

Q2,k32=

Q3。ki3：只有q3=1，其它q均為0，k13=

Q1,k23=

Q2,k33=

Q3。32《振動(dòng)力學(xué)》m1m2k1k2m3k3x1x2x3令

令令得剛度矩陣：kij可理解為：使系統(tǒng)僅產(chǎn)生沿qj坐標(biāo)的單位位移時(shí)，必須施加與qi坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力。33《振動(dòng)力學(xué)》考慮M：√假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬時(shí)，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生任何位移即：q=0則有：有了剛度矩陣，還需要質(zhì)量矩陣，才能寫出作用力方程：若只有qj=1,其它q=034《振動(dòng)力學(xué)》使系統(tǒng)只在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度，而在其他坐標(biāo)上不產(chǎn)生加速度所施加的一組外力，正是質(zhì)量矩陣M的第j列。結(jié)論：質(zhì)量矩陣M中的元素是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力根據(jù)其物理意義可以直接求出質(zhì)量影響系數(shù)mij和剛度影響系數(shù)kij。然后寫出矩陣M

和K，從而建立作用力方程，這種方法稱為影響系數(shù)方法。35《振動(dòng)力學(xué)》m1m2k1k2m3k3x1x2x3令

令令得質(zhì)量矩陣：對(duì)右圖求質(zhì)量矩陣。質(zhì)量矩陣M中的元素mij是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力Qi。有了剛度矩陣和質(zhì)量矩陣就可以寫出動(dòng)力學(xué)方程。36《振動(dòng)力學(xué)》柔度矩陣將動(dòng)力學(xué)方程：各項(xiàng)左乘K的逆陣K-1：其中，F(xiàn)=K-1稱為系統(tǒng)的柔度矩陣，其元素fij(i,j=1,2,…,n)稱為柔度影響系數(shù)。D=FM稱為系統(tǒng)的動(dòng)力矩陣。考慮在靜變形時(shí)，各廣義加速度均為0，方程變?yōu)椋哼@又稱為位移方程37《振動(dòng)力學(xué)》因此，柔度影響系數(shù)fij可理解為：對(duì)系統(tǒng)僅施加與qj坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的單位廣義力時(shí)，沿qi坐標(biāo)所產(chǎn)生的位移。柔度矩陣也是對(duì)稱矩陣，它與剛度矩陣互為逆陣，若剛度矩陣正定，柔度矩陣也正定。但動(dòng)力矩陣D=FM通常不是對(duì)稱矩陣。若令Q=0，得到保守系統(tǒng)自由振動(dòng)的另一種形式的動(dòng)力學(xué)方程。38《振動(dòng)力學(xué)》對(duì)3個(gè)自由度的質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)，可以利用柔度影響系數(shù)的物理意義求出柔度矩陣。m1m2k1k2m3k3x1x2x3令：令：39《振動(dòng)力學(xué)》令：得到柔度矩陣：m1m2k1k2m3k3x1x2x340《振動(dòng)力學(xué)》動(dòng)力矩陣：柔度影響系數(shù)更容易通過實(shí)驗(yàn)得出。彈性梁的柔度影響系數(shù)可直接引自材料力學(xué)公式。這個(gè)動(dòng)力矩陣就不是對(duì)稱矩陣。41《振動(dòng)力學(xué)》若上例最左邊一個(gè)彈簧取消，則剛度矩陣變?yōu)椋簁1m1m2k2m3k3x1x2x3令：這時(shí)，即剛度矩陣為奇異陣，其逆矩陣即柔度矩陣不存在。其實(shí)，由于左端的約束取消后，系統(tǒng)處于游離狀態(tài)。對(duì)任一個(gè)物塊施加外力，各靜位移均是不定值，即求不得柔度影響系數(shù)。其彈性位移xi均不能確定。這種系統(tǒng)稱為半正定系統(tǒng)。42《振動(dòng)力學(xué)》各質(zhì)量上作用垂直力為Pi，垂直位移為xi(i=1,2,3)。忽略梁的質(zhì)量，求柔度矩陣。

（質(zhì)量連續(xù)分布的彈性梁的簡化）假設(shè)是常力

以準(zhǔn)靜態(tài)方式作用在梁上梁只產(chǎn)生位移（即撓度），不產(chǎn)生加速度。取質(zhì)量的靜平衡位置為坐標(biāo)的原點(diǎn)。

再來看彈性梁問題x1m1x3m3P1P3x2m2P2llll彈性梁跨度為4l，抗彎剛度為EI，均布3個(gè)集中質(zhì)量mi(i=1,2,3),43《振動(dòng)力學(xué)》m1

位移：m2位移：（1）（2）f11f21P1=1f31m3位移：m1

位移：m2位移：m3位移：f12f22P2=1f32（3）利用對(duì)稱性：44《振動(dòng)力學(xué)》得到柔度矩陣：x1m1x3m3P1P3x2m2P2llll用質(zhì)量影響系數(shù)的物理意義可求出質(zhì)量矩陣。令

令令質(zhì)量矩陣M中的元素mij是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力Qi。45《振動(dòng)力學(xué)》x1m1x3m3P1P3x2m2P2llll可以寫出動(dòng)力學(xué)方程：46《振動(dòng)力學(xué)》動(dòng)力學(xué)方程可統(tǒng)一表示為：位移向量加速度向量質(zhì)量矩陣剛度矩陣激勵(lì)力向量若系統(tǒng)有n個(gè)自由度，則各項(xiàng)皆為

n

維質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、柔度矩陣的對(duì)稱性、正定性本節(jié)小結(jié)：47《振動(dòng)力學(xué)》本節(jié)作業(yè)：5.1；5.248《振動(dòng)力學(xué)》例1：雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，兩質(zhì)量分別受到激振力不計(jì)摩擦和其他形式的阻尼試建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)49《振動(dòng)力學(xué)》解：的原點(diǎn)分別取在的靜平衡位置

建立坐標(biāo)：設(shè)某一瞬時(shí)：上分別有位移加速度受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)50《振動(dòng)力學(xué)》建立方程：矩陣形式：牛頓定理坐標(biāo)間的耦合項(xiàng)P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x251《振動(dòng)力學(xué)》例2：轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)兩圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的三個(gè)段的扭轉(zhuǎn)剛度試建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程外力矩52《振動(dòng)力學(xué)》解：建立坐標(biāo)：角位移設(shè)某一瞬時(shí)：角加速度受力分析：53《振動(dòng)力學(xué)》建立方程：矩陣形式：坐標(biāo)間的耦合項(xiàng)54《振動(dòng)力學(xué)》多自由度系統(tǒng)的角振動(dòng)與直線振動(dòng)在數(shù)學(xué)描述上相同如同在單自由度系統(tǒng)中做過的那樣，在多自由度系統(tǒng)中也將質(zhì)量、剛度、位移、加速度及力都理解為廣義的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)55《振動(dòng)力學(xué)》小結(jié)：可統(tǒng)一表示為：例1：例2：作用力方程位移向量加速度向量質(zhì)量矩陣剛度矩陣激勵(lì)力向量若系統(tǒng)有n個(gè)自由度，則各項(xiàng)皆為

n

維多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程56《振動(dòng)力學(xué)》剛度矩陣和質(zhì)量矩陣當(dāng)M、K

確定后，系統(tǒng)動(dòng)力方程可完全確定M、K

該如何確定？作用力方程：先討論K加速度為零則：假設(shè)外力是以準(zhǔn)靜態(tài)方式施加于系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程57《振動(dòng)力學(xué)》作用力方程：假設(shè)作用于系統(tǒng)的是這樣一組外力，它們使系統(tǒng)只在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移，而在其他各個(gè)坐標(biāo)上不產(chǎn)生位移即：代入，有：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程58《振動(dòng)力學(xué)》所施加的這組外力數(shù)值上正是剛度矩陣K

的第j列（i=1~n）：在第i

個(gè)坐標(biāo)上施加的力結(jié)論：剛度矩陣

K

中的元素kij

是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第

i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程59《振動(dòng)力學(xué)》作用力方程：討論M√假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬時(shí)，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生任何位移即：X=0則有：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程60《振動(dòng)力學(xué)》使系統(tǒng)只在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度，而在其他坐標(biāo)上不產(chǎn)生加速度所施加的一組外力，正是質(zhì)量矩陣M的第j列結(jié)論：質(zhì)量矩陣M中的元素是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力又分別稱為質(zhì)量影響系數(shù)和剛度影響系數(shù)。根據(jù)它們的物理意義可以直接寫出矩陣M

和K，從而建立作用力方程，這種方法稱為影響系數(shù)方法。多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程61《振動(dòng)力學(xué)》例：寫出M

、K

及運(yùn)動(dòng)微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考慮靜態(tài)令

令令剛度矩陣：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程62《振動(dòng)力學(xué)》只考慮動(dòng)態(tài)令有：令有：令有：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)質(zhì)量矩陣：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程63《振動(dòng)力學(xué)》運(yùn)動(dòng)微分方程：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程64《振動(dòng)力學(xué)》例：雙混合擺，兩剛體質(zhì)量質(zhì)心繞通過自身質(zhì)心的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求：以微小轉(zhuǎn)角為坐標(biāo)，寫出在x-y平面內(nèi)擺動(dòng)的作用力方程兩剛體質(zhì)量h1C1C2h2lxy多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程65《振動(dòng)力學(xué)》受力分析h1C1C2h2lxyxy多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程66《振動(dòng)力學(xué)》解：先求質(zhì)量影響系數(shù)令有：令有：yh1C1C2h2lx多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程67《振動(dòng)力學(xué)》令有：令有：質(zhì)量矩陣：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程68《振動(dòng)力學(xué)》求剛度影響系數(shù)由于恢復(fù)力是重力，所以實(shí)際上是求重力影響系數(shù)令有：令有：yh1C1C2h2lx多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程69《振動(dòng)力學(xué)》令有：令有：剛度矩陣：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程70《振動(dòng)力學(xué)》運(yùn)動(dòng)微分方程：yh1C1C2h2lx多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程71《振動(dòng)力學(xué)》例：求：以微小轉(zhuǎn)角為坐標(biāo)，寫出微擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程每桿質(zhì)量m桿長度l水平彈簧剛度k彈簧距離固定端akaO1O2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程72《振動(dòng)力學(xué)》解：令：則需要在兩桿上施加力矩分別對(duì)兩桿O1、O2

求矩：令：則需要在兩桿上施加力矩分別對(duì)兩桿O1、O2

求矩：aO1O2aO1O2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程73《振動(dòng)力學(xué)》剛度矩陣：aO1O2aO1O2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程74《振動(dòng)力學(xué)》令：則需要在兩桿上施加力矩令：則需要在兩桿上施加力矩質(zhì)量矩陣：aO1O2kaO1O2k多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程75《振動(dòng)力學(xué)》運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：kaO1O2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程76《振動(dòng)力學(xué)》例：兩自由度系統(tǒng)擺長

l，無質(zhì)量，微擺動(dòng)求：運(yùn)動(dòng)微分方程xm1k1k2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程77《振動(dòng)力學(xué)》解：先求解剛度矩陣令：令：m1k1k2m1k1k2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程78《振動(dòng)力學(xué)》剛度矩陣：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程79《振動(dòng)力學(xué)》求解質(zhì)量矩陣令：令：m1k1k2慣性力m1k1k2慣性力多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程80《振動(dòng)力學(xué)》質(zhì)量矩陣：xm1k1k2剛度矩陣：運(yùn)動(dòng)微分方程：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程81《振動(dòng)力學(xué)》位移方程和柔度矩陣對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，有時(shí)通過柔度矩陣建立位移方程比通過剛度矩陣建立作用力方程來得更方便些。柔度定義為彈性體在單位力作用下產(chǎn)生的變形物理意義及量綱與剛度恰好相反以一個(gè)例子說明位移方程的建立

x1m1x2m2P1P2無質(zhì)量彈性梁，有若干集中質(zhì)量（質(zhì)量連續(xù)分布的彈性梁的簡化）假設(shè)是常力

以準(zhǔn)靜態(tài)方式作用在梁上梁只產(chǎn)生位移（即撓度），不產(chǎn)生加速度取質(zhì)量的靜平衡位置為坐標(biāo)的原點(diǎn)

多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程82《振動(dòng)力學(xué)》m1

位移：m2位移：時(shí)（1）時(shí)（2）m1

位移：m2位移：同時(shí)作用（3）m1

位移：m2位移：f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程83《振動(dòng)力學(xué)》同時(shí)作用時(shí)：矩陣形式：其中：柔度矩陣物理意義：系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)受到單位力作用時(shí)相應(yīng)于第i

個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移

柔度影響系數(shù)f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程84《振動(dòng)力學(xué)》當(dāng)是動(dòng)載荷時(shí)集中質(zhì)量上有慣性力存在

位移方程x1m1x2m2P1P2m1m2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程85《振動(dòng)力學(xué)》位移方程：又可：作用力方程：

若K非奇異柔度矩陣與剛度矩陣的關(guān)系：或：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程86《振動(dòng)力學(xué)》對(duì)于允許剛體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的系統(tǒng)（即具有剛體自由度的系統(tǒng)），柔度矩陣不存在應(yīng)當(dāng)注意：位移方程不適用于具有剛體自由度的系統(tǒng)m1m2k1k2m3原因：在任意一個(gè)坐標(biāo)上施加單位力，系統(tǒng)將產(chǎn)生剛體運(yùn)動(dòng)而無法計(jì)算各個(gè)坐標(biāo)上的位移剛度矩陣K奇異多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程87《振動(dòng)力學(xué)》例：求圖示兩自由度簡支梁橫向振動(dòng)的位移方程已知梁的抗彎剛度矩陣為x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程88《振動(dòng)力學(xué)》由材料力學(xué)知，當(dāng)B點(diǎn)作用有單位力時(shí)，A點(diǎn)的撓度為：柔度影響系數(shù)：柔度矩陣：位移方程：x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)labABP=1多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程89《振動(dòng)力學(xué)》例：教材P72例4.1-2，求柔度陣（1）在坐標(biāo)

x1

上對(duì)質(zhì)量m1

作用單位力系統(tǒng)在坐標(biāo)x1、x2、x3

上產(chǎn)生位移為:m1m2k1k2m3k3x1x2x3解：（2）在坐標(biāo)

x2

上對(duì)質(zhì)量m2

作用單位力（3）在坐標(biāo)

x3

上對(duì)質(zhì)量m3

作用單位力多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程90《振動(dòng)力學(xué)》因此：可以驗(yàn)證，有：m1m2k1k2m3k3x1x2x3多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程91《振動(dòng)力學(xué)》質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)n階方陣A

正定并且等號(hào)僅在時(shí)才成立

是指對(duì)于任意的

n維列向量y，總有成立如果時(shí)，等號(hào)也成立，那么稱矩陣A

是半正定的

根據(jù)分析力學(xué)的結(jié)論，對(duì)于定常約束系統(tǒng)：動(dòng)能：勢(shì)能：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程92《振動(dòng)力學(xué)》質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)n階方陣A

正定并且等號(hào)僅在時(shí)才成立

是指對(duì)于任意的

n維列向量y，總有成立如果時(shí)，等號(hào)也成立，那么稱矩陣A

是半正定的

動(dòng)能：除非所以，正定即：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程93《振動(dòng)力學(xué)》質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)n階方陣A

正定并且等號(hào)僅在時(shí)才成立

是指對(duì)于任意的

n維列向量y，總有成立如果時(shí)，等號(hào)也成立，那么稱矩陣A

是半正定的

勢(shì)能：對(duì)于僅具有穩(wěn)定平衡位置的系統(tǒng)，勢(shì)能在平衡位置上取極小值V>0當(dāng)各個(gè)位移不全為零時(shí)，

K正定K>0對(duì)于具有隨遇平衡位置的系統(tǒng)，存在剛體位移對(duì)于不全為零的位移存在V

＝0K半正定多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程94《振動(dòng)力學(xué)》振動(dòng)問題中主要討論K陣正定的系統(tǒng)及K陣半正定的系統(tǒng)，前者稱為正定振動(dòng)系統(tǒng)，后者稱為半正定振動(dòng)系統(tǒng)

多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程95《振動(dòng)力學(xué)》耦合與坐標(biāo)變換矩陣中非零的非對(duì)角元元素稱為耦合項(xiàng)質(zhì)量矩陣中出現(xiàn)耦合項(xiàng)稱為慣性耦合剛度矩陣或柔度矩陣中出現(xiàn)耦合項(xiàng)稱為彈性耦合以兩自由度系統(tǒng)為例不存在慣性耦合存在慣性耦合多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程96《振動(dòng)力學(xué)》如果系統(tǒng)僅在第一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生加速度可見，不出現(xiàn)慣性耦合時(shí)，一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的加速度只在該坐標(biāo)上引起慣性力；而出現(xiàn)慣性耦合時(shí)，一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的加速度還會(huì)在別的坐標(biāo)上引起慣性力同樣道理，不出現(xiàn)彈性耦合時(shí)，一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移只在該坐標(biāo)上引起彈性恢復(fù)力；而出現(xiàn)彈性耦合時(shí)，一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移還會(huì)在別的坐標(biāo)上引起彈性恢復(fù)力耦合的表現(xiàn)形式取決于坐標(biāo)的選擇多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程97《振動(dòng)力學(xué)》例：研究汽車上下振動(dòng)和俯仰振動(dòng)的力學(xué)模型表示車體的剛性桿AB的質(zhì)量為m，桿繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ic懸掛彈簧和前后輪胎的彈性用剛度為k1和k2的兩個(gè)彈簧來表示寫出車體微振動(dòng)的微分方程選取D點(diǎn)的垂直位移和繞D點(diǎn)的角位移為坐標(biāo)ABCDa1a2el1l2lk1k2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程98《振動(dòng)力學(xué)》ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDa1a2el1l2lk1k2簡化形式多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程99《振動(dòng)力學(xué)》ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCD車體所受外力可以向D點(diǎn)簡化為合力PD

和合力矩MD由于微振動(dòng)，桿質(zhì)心的垂直位移、桿繞質(zhì)心的角位移：首先采用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程系統(tǒng)的動(dòng)能：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程100《振動(dòng)力學(xué)》ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCD系統(tǒng)的動(dòng)能：系統(tǒng)的勢(shì)能：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程101《振動(dòng)力學(xué)》n

自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程：：廣義坐標(biāo)：拉格朗日函數(shù)：對(duì)應(yīng)于有勢(shì)力以外的其它非有勢(shì)力的廣義力計(jì)算廣義力Q1

和Q2設(shè)在坐標(biāo)xD上有虛位移非有勢(shì)力做功因此非有勢(shì)力做功因此設(shè)在坐標(biāo)上有虛位移ABCD多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程102《振動(dòng)力學(xué)》代入拉格朗日方程，得：矩陣形式：存在慣性耦合存在彈性耦合多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程103《振動(dòng)力學(xué)》采用振動(dòng)力學(xué)方法求解首先求剛度矩陣令：對(duì)D點(diǎn)取矩：力平衡：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程104《振動(dòng)力學(xué)》令：對(duì)D點(diǎn)取矩：力平衡：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD剛度矩陣：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程105《振動(dòng)力學(xué)》求質(zhì)量矩陣令：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD慣性力質(zhì)心C所受的慣性力：力平衡：力矩平衡：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程106《振動(dòng)力學(xué)》令：ABCDa1a2el1l2lk1k2質(zhì)心C所受的慣性力矩：力平衡：對(duì)D點(diǎn)取矩：CD慣性力矩慣性力質(zhì)心C所受的慣性力：質(zhì)量矩陣：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)