印度與阿拉伯數(shù)學

3來自東方的繼承者與傳播者

——印度與阿拉伯的數(shù)學

印度的數(shù)學阿拉伯的數(shù)學印度的數(shù)學史前時期：公元前2300年前哈拉帕文化：前2300-前1750年，印度河流域出現(xiàn)早期國家早期吠陀時代：前1500-前900年，雅利安人侵入印度后期吠陀時代：前900-前600年，雅利安人的國家形成，婆羅門教形成列國時代：前6-前4世紀，摩揭陀國在恒河流域中部稱霸，開始走上統(tǒng)一北印度的道路，佛教產(chǎn)生帝國時代：前4-公元4世紀，從孔雀王朝到貴霜帝國古印度簡況強盛獨立的王朝[孔雀王朝（前324－前187），笈多王朝（公元320－540）]、外族幾乎不斷的侵擾、文化受到宗教的影響婆羅門教起源于公元前2000年的吠陀教，形成于前7世紀，鼎盛于前6－4世紀。

4世紀后，婆羅門教開始衰弱。

8、9世紀，婆羅門教逐漸發(fā)展成為印度教。印度教與婆羅門教沒有本質區(qū)別，都信奉梵天、毗濕奴、濕婆三大神，主張善惡有報、人生輪回，只有達到“梵我同一”方可獲得解脫，修成正果。3.1印度的數(shù)學婆羅門教、印度教的創(chuàng)造神梵天在這樣復雜的歷史條件下，科學的發(fā)展在各時期不同程度地受到政治動亂的抑制，但自古以來數(shù)學始終是很受重視的科目．相傳，佛祖悉達多·喬達摩(即釋迦牟尼，公元前623—前544)幼時受傳統(tǒng)的婆羅門教育，用八年時間專門學習語文和數(shù)學．在印度,數(shù)學的發(fā)展始終與天文學聯(lián)系在一起．數(shù)學著作大都是天文學著作中的某些篇章．最早的數(shù)學著作《繩法經(jīng)》(S．ulvasūtras)出現(xiàn)在吠陀時代，它包含在古代婆羅門教的經(jīng)典中，專講祭祀禮儀，其中包含畢達哥拉斯定理等數(shù)學知識

3.1印度的數(shù)學關外西天取經(jīng)第一人比唐玄奘早209年北燕僧人曇無竭，于公元420年招集同志沙門25人，從龍城出發(fā)，遠赴印度，取回《觀世音受記經(jīng)》一部，譯成漢文，收錄在《大藏經(jīng)》內，廣為傳誦。據(jù)考證，曇無竭是繼法顯之后我國最早西行求法僧人之一，堪稱關外西天取經(jīng)第一人，比唐僧玄奘西天取經(jīng)還要早209年。有關曇無竭是關外西天取經(jīng)第一人的信息，來自于南北朝時期慧皎和尚編寫的一部史書《高僧傳》，書中有關于曇無竭西天取經(jīng)的文字記載。曇無竭，本姓李，朝陽人，大概生于后燕時期，10來歲就出家到寺廟當沙彌，修煉苦行，遵守戒律，念誦佛經(jīng)，受到法師和眾僧的器重。曇無竭常慨嘆佛經(jīng)殘缺不全，聽說僧人法顯等從古印度取回真經(jīng)，下定決心親赴西天取經(jīng)。公元420年，曇無竭招集志同道合的和尚僧猛、曇朗等25人，從燕都龍城出發(fā)，向西天行進。他們在中國境內的西行路線大致為：龍城——今青海湖一帶——今甘肅省河西走廊——今新疆吐魯番東——塔里木盆地北緣，途經(jīng)今新疆喀什一帶，攀登了帕米爾高原和昆侖山等山脈。面對飛鳥難越的雪山、湍急的河水，以及兩山之間以繩索為橋渡河的險境，曇無竭一行25人沒有停止西行的腳步，他們分3次過河，又用一整天翻越雪山。過完雪山，同行25人竟然有12人半途墜崖而死。為取得真經(jīng)，曇無竭在天竺各地禮拜佛陀圣跡，尋訪名師，學習梵文經(jīng)典數(shù)年后，從南天竺搭乘商船，漂印度洋，過南海，一行5人安全到達廣州。回國后，曇無竭住在江南某寺，弘揚佛法，直至去世。公元500年以后，印度數(shù)學獲得了較大的發(fā)展，印度數(shù)學的成就在世界數(shù)學史上占有重要地位．許多數(shù)學知識由印度經(jīng)阿拉伯國家傳入歐洲，促進了歐洲中古時期數(shù)學的發(fā)展．

希臘人和印度人發(fā)展數(shù)學的道路在許多方面都不相同．希臘數(shù)學遵循著嚴格的邏輯敘述，所以幾何學獲得了重大的發(fā)展．印度人則相反，不去求得嚴格的證明，而主要是發(fā)展實用的數(shù)學，因此算術、代數(shù)和三角具有優(yōu)勢．

在5至16世紀，印度出現(xiàn)了許多著名的天文學家兼數(shù)學家和一批杰出的著作．這些著作都是用印度的宗教和官方語言梵文寫的，就象伊斯蘭國家中的阿拉伯語和中世紀西歐的拉丁語一樣．印度數(shù)學著作的最大特點是敘述得過于簡練，命題或定理的證明常被省略．運算法則的表述也極簡短，又常常以詩歌形式出現(xiàn)，再加上濃厚的宗教色彩，致使這些著作更加晦澀難讀．

3.1.1印度的算術十進位值制記數(shù)法的使用和印度-阿拉伯數(shù)碼的出現(xiàn)，不僅在數(shù)學史上，而且在全人類文化史上都具有十分重要的意義．

在十進位制記數(shù)系統(tǒng)產(chǎn)生以前，在印度出現(xiàn)過各種不同的數(shù)字和記數(shù)法，有些地區(qū)使用的數(shù)字保持到很晚，現(xiàn)在很難研究出它們之間的承襲關系．從公元前4世紀到公元3世紀，在現(xiàn)今的東阿富汗地區(qū)和旁遮普北部風行所謂的音節(jié)數(shù)字與當時的古印度音節(jié)文字有關．這可能是一種十進位值制系統(tǒng)．數(shù)字1，4，10，20和100用特殊記號表示，其它數(shù)由加性原則寫出，數(shù)字從右往左書寫．在印度的各種數(shù)字系統(tǒng)中，至少從公元前2世紀起，數(shù)字1，2，…，9就存在單獨的符號，這些特殊符號的存在是產(chǎn)生十進位值制記數(shù)法的基礎．單位1出現(xiàn)在表示單數(shù)事物如“太陽”、“月亮”的詞語中；而數(shù)字2出現(xiàn)在“雙生子”，“眼睛”，“手”這類詞語中；數(shù)字5出現(xiàn)在“感官”(即五官)，“手掌”中等等．數(shù)字的書寫是從低位向高位，古印度歷數(shù)書中的天文表就這樣表示數(shù)字，缺位時用特殊符號標出阿耶波多Ⅰ的著作中用音節(jié)表示數(shù)字，完全沒有位值制的特點．每一個數(shù)k·10n(k＝1，2，…，9；n＝0，1，2，…)都被特殊音節(jié)所代替，豐富的梵文字母能夠給充分大的數(shù)字命名．但是，他的學生——婆什迦羅Ⅰ(BhāskaraⅠ，629)卻改進了這種記數(shù)法，使數(shù)字的音節(jié)具有位值性，他還引進了表示空位的音節(jié)．大約在6世紀上半葉改變了數(shù)字中數(shù)位的書寫順序，開始從高位向低位書寫，這可能是受希臘人的影響．位值制記數(shù)原則包含這樣三個因素：1．每一位數(shù)都由該數(shù)位單位乘以相應的數(shù)字；2．省略每個數(shù)位單位的符號；3．用確定的符號(零號)表示任何數(shù)位上的空缺．所有這些因素在印度首先是局部地、口頭地應用，然后過渡到廣泛地、文字上的普及．不晚于6世紀，在印度產(chǎn)生了新的、整數(shù)的十進位值制記數(shù)法，即用九個數(shù)字和表示零的小圓圈可以寫出任何數(shù)字，每個位置上的數(shù)字有明確意義，同一個數(shù)字在不同位置上則代表不同數(shù)值．7世紀中葉，印度的記數(shù)法開始向西方傳播．8世紀末，這種記數(shù)法傳入巴格達哈利發(fā)的宮廷中，印度數(shù)字經(jīng)阿拉伯人的改進傳入歐洲后就被稱為印度—阿拉伯數(shù)字了．

帶有數(shù)字0的運算是位值制系統(tǒng)計算的重要內容．印度人不僅僅把0看作是“一無所有”或空位，而且把0看成是一個數(shù)．這是印度算術的一大貢獻．這種看法在3世紀時已經(jīng)出現(xiàn)．在天文學家瓦拉哈米希拉的著作中．瓦拉哈米希拉(Varāha－Mihira)是6世紀著名學者．他通曉哲學、天文學和數(shù)學，是《五大歷數(shù)全書匯編》的作者．此書是希臘、埃及、羅馬和印度天文學的一部提要，最重要的一部分是《太陽的知識》．(SūryaSiddhānta)．其內容并不是有關太陽的知識，而是由太陽神傳授的知識，具有神話色彩．另外還包括四部歷數(shù)書．這部著作的計算圖表是以希臘算法和亞歷山大算法為基礎推算的一個多世紀以后，婆羅門笈多在他的著作中有比較完整的敘述：“負數(shù)減去零是負數(shù)，正數(shù)減去零是正數(shù)，零減去零還是零；零乘正數(shù)、負數(shù)或零都是零．……零除以零空無一物，正數(shù)或負數(shù)除以零是一個以零為分母的數(shù)．”最后一種情形沒有進一步說明．婆什迦羅Ⅱ把a÷0稱為Khahara，與無窮大有相似的含義．分數(shù)四則運算在印度算術中，分數(shù)也有較完整的理論．分數(shù)的寫法與中國古代算籌分數(shù)記法一樣，分子在上，分母在下，沒有分數(shù)線．若是帶分數(shù)，則整數(shù)部分又寫在分子之上．例如

最早的印度數(shù)學家：阿耶波多（476－約550年）

499年《阿耶波多歷數(shù)書》(圣使天文書)“阿耶波多號”人造衛(wèi)星（印度，1975）“悉檀多”時代：以計算為中心的實用數(shù)學

建立了丟番圖方程求解的“庫塔卡”法3.1.2印度的代數(shù)

零的運算法則

婆什迦羅Ⅱ（1114－1188年）

古印度數(shù)學最高成就《天文系統(tǒng)之冠》（1150年）“婆什迦羅號”人造衛(wèi)星（1979）

《莉拉沃蒂》、《算法本源》

帶著微笑眼睛的美麗少女，請你告訴我，按照你理解的正確反演法，什么數(shù)乘以3，加上這個乘積的3/4，然后除以7，減去此商的1/3，自乘，減去52，取平方根，加上8，除以10，得2？

3.1.2印度的代數(shù)印度人對代數(shù)學作出了重大貢獻.他們用縮寫文字和一些記號來描述運算.加法不用記號，被減數(shù)上面加個點表示減法.已知的整數(shù)，前面冠以rū(來自絕對數(shù)rūpa一詞)；未知數(shù)稱為yāvattāvat，用音節(jié)yā來表示.如果遇到幾個未知數(shù)，那么用各種顏色來區(qū)別：kā(kālaka，黑色的)、nī(nīlaka,藍色的)、pī(pītaka，黃色的)、lo(lohitaka，紅色的)等等.未知數(shù)的二次冪用varga一詞的va這個音節(jié)來表示；三次冪用ghata的音節(jié)gha來表示．并且借助va和gha兩個符號表示未知數(shù)的更高次冪：vava表示四次冪；vaghaghata表示五次冪；vagha表示六次冪；vavaghaghata表示七次冪；vavava表示八次冪；這套符號雖然不多，但足夠使印度代數(shù)幾乎稱得上是符號代數(shù)，并且符號比丟番圖的縮寫代數(shù)用得多．

雖然印度學者創(chuàng)立的符號很笨拙，符號本身即梵文字母的形狀很復雜，但是，他們的工作預示了新數(shù)學的發(fā)展方向．他們的后繼者——阿拉伯國家的學者不僅沒有前進一步，而且?guī)装倌陙矶际怯谩霸~語書寫”來表示代數(shù)式及其運算．

3.1.2印度的代數(shù)對于乘法，各因子并列著寫．一組數(shù)用線框起來相當于加括號的意義．例如印度代數(shù)的較大成就是引進了負數(shù)，當問題涉及到債務或反向運動時，印度人使用了負數(shù)，他們像運用正數(shù)一樣運用負數(shù)．但是在有關一次方程的問題中沒有見到負數(shù)解．印度學者解二次方程的方法比丟番圖優(yōu)越．在《阿耶波提亞》中就有關于求解完全二次方程的問題

《吠陀》印度雅利安人的作品，婆羅門教的經(jīng)典《繩法經(jīng)》（前8－前2世紀）：廟宇、祭壇的設計與測量，包含幾何、代數(shù)知識，如畢達哥拉斯定理等印度數(shù)學吠陀時期(公元前10-前3世紀)

悉檀多時期(公元5-12世紀)《吠陀》手稿（毛里求斯，1980）3.1.3印度的幾何與三角

π的近似值3.1416

印度學者在幾何學方面的貢獻明顯地遜色于他們在算術和代數(shù)方面的成就．在很多情形下，他們的幾何知識并不比亞歷山大幾何學家有多少進步．例如，婆羅門笈多與亞歷山大的塞翁（希帕蒂婭的父親）(TheonofAlexandria)的著作中的幾何部分就有許多相似之處．

婆羅門笈多著作中的幾何部分有這樣的特點：在某些計算問題中，除給出精確的公式(當然有些問題得不到精確公式)外，還給出在實際中便于應用的近似法則

3.1.3印度的幾何與三角關于圓的面積，婆羅摩笈多給出：粗糙計算時取π＝3

計算了圓內接正6，12，24，48，96，192，384邊形的邊長，從而得到π的值

為計算三角形的面積，除了通常的方法外，婆羅摩笈多導出了所謂海倫公式，并把這個公式推廣到圓內接四邊形的面積

用這些畢達哥拉斯數(shù)來構造圓內接四邊形在印度的幾何學中很少見到命題的證明，偶爾見到的證明也十分簡短，多數(shù)情形是把證明壓縮為圖形和指示語“請看！”有時在圖形旁邊略加說明

婆羅摩笈多（598－約665年）印度的數(shù)學

628年《婆羅摩修正體系》(宇宙的開端)烏賈因天文臺

早期的三角學，是伴隨著天文學而產(chǎn)生的．在希臘化國家中，由于天文學的發(fā)展，越來越多地利用三角關系作為輔助的計算工具．例如，托勒密的著作中曾論述制作日晷的原理，并保留有世界上最早的三角函數(shù)表，即從0°到90°每隔半度的弦表．

希臘的天文學影響了印度天文學的發(fā)展，這無疑也推動了三角學的進步．許多從希臘人那里繼承的計算法則發(fā)生了系統(tǒng)的變化．首先是用正弦，即半弦代替全弦，它們之間的關系是chord2α=2sinα．正弦和余弦的表示

在《阿耶波提亞》和一些歷數(shù)書中已經(jīng)出現(xiàn)正弦、余弦和正矢函數(shù)(即半徑與余弦之差，關系為versα＝1－cosα，現(xiàn)已不用)．阿耶波多Ⅰ稱正弦為jva，是獵人的弓弦的意思．后來傳到阿拉伯國家，譯為dschba．由于阿拉伯文書寫中只保留輔音和長元音，這個詞就寫成dschaib，意為“胸膛”．12世紀，歐洲人譯為拉丁文的“胸膛”(Sinus)，最后演變成Sine．印度人稱余弦為kotijva，即余角的正弦，或簡寫為koti．譯為阿拉伯文為dschaibaltamam．12世紀，由克雷莫那的杰拉德(GerardofCermona)譯為拉丁文Sinusresidui．15世紀的數(shù)學家開始使用Sinuscomplementi，即余角的正弦．1620年第一次出現(xiàn)縮寫符號co·sinus表示余弦．

阿育王(在位年代約為公元前268-前232年)是印度第一個信奉佛教的君主阿育王石柱記錄了現(xiàn)在阿拉伯數(shù)學的最早形態(tài)巴克沙利手稿（前2－3世紀）瓜廖爾石碑（公元876年）印度的數(shù)學阿育王石柱（尼泊爾，1996）12世紀的婆什迦羅還使用了兩角和與差的正弦法則．當半徑不等于1時，印度學者則用文字來描述這些命題．在天文學中應用三角學自然要制造三角函數(shù)表．印度最早的正弦和正矢表出現(xiàn)在《太陽的知識》和《阿耶波提亞》中

15011502年間，尼拉坎塔著有《科學文集》，書中研究出一整套包含在微積分和級數(shù)論萌芽中的方法．尼拉坎塔和東方的某些學者一樣，確信圓周長與直徑之比是無理數(shù)．他在對《阿耶波提亞》的注釋中說“如果直徑用某個單位來測量，那么周長就不能準確地用這個單位來測量；而如果對某個單位而言，周長能夠測量時，直徑就不能準確測量．”為了更準確地計算π的值，他采用了級數(shù)求和方法計算π的10位準確數(shù)字．這是計算數(shù)學的卓越成就，雖然在15世紀初阿拉伯學者卡西已經(jīng)得到更精確的近似值．尼拉坎塔的貢獻在于他擺脫了初等數(shù)學的束縛，他的方法比他的結果更重要．在此基礎上利用無窮小分析的思想，尼拉坎塔還得到了反正切級數(shù)的展開式.

遺憾的是，這些數(shù)學思想不僅在印度本國沒有得到發(fā)展，而且也沒能及時傳播到其它國家去．但是，印度學者的其它貢獻——十進位值制記數(shù)系統(tǒng)，一系列代數(shù)和數(shù)論方法，三角學的開端，從13世紀末開始傳到阿拉伯國家，并對后世東西方科學的進步產(chǎn)生了強有力的影響．

中東地區(qū)地圖3.2阿拉伯的數(shù)學阿拉伯帝國簡況先知穆罕默德（570－632）：610年在麥加創(chuàng)立了伊斯蘭教，至632年，一個以伊斯蘭教為共同信仰、政教合一，統(tǒng)一的阿拉伯國家出現(xiàn)于阿拉伯半島。四大哈里發(fā)時期（632－661）：以“圣戰(zhàn)”為名進行大規(guī)模的武力擴張，為阿拉伯帝國的建立奠定了基礎。

倭馬亞王朝時期（661－750）：定都大馬士革，發(fā)動大規(guī)模的對外戰(zhàn)爭，版圖東起印度西部，西至西班牙，北抵中亞，南達北非，成為地跨亞、非、歐三大洲的龐大帝國。阿拔斯王朝時期（750－1258）：遷都巴格達，750－842年是帝國的極盛時代，巴格達成為國際貿易與文化中心之一，創(chuàng)造出光輝燦爛的阿拉伯文化。阿拉伯帝國

在阿拉伯帝國的統(tǒng)治下，被征服的民族很快轉向伊斯蘭教．同時，阿拉伯語很快成為各國通行的語言，在知識界成為學術交流的工具．這和中世紀西方各國把拉丁語作為通用語言一樣．阿拉伯人和其它民族的人民共同創(chuàng)造了新的、別具一格的文化．當時歐洲正處在漫長的黑暗時期，阿拉伯世界的科學文化卻后來居上，成為當時的人類科學文化中心之一．伊斯蘭教第一圣寺麥加城大清真寺哈利發(fā)馬蒙在巴格達創(chuàng)辦了著名的“智慧館”(Baytal－Hikmah)．這是自公元前3世紀亞歷山大博物館之后最重要的學術機關，除用作翻譯館外，還起到科學院和公共圖書館的作用，它還附設一座天文臺．在這里，大量的波斯、希臘和印度的古典著作被系統(tǒng)地譯為阿拉伯文．哈利發(fā)還組織力量對這些著作進行廣泛而深入的研究．就這樣，東西方的文華精華被融合在一起，出現(xiàn)了一個學術繁榮時期．阿拉伯的數(shù)學研究就從這里開始．

從8世紀起，大約有一個到一個半世紀是阿拉伯數(shù)學的翻譯時期．由于阿拉伯人能夠控制或取得被占領帝國、埃及、敘利亞、波斯及印度諸國的人才和文化，所以他們得以接觸幾乎所有的古代重要著作．

當古希臘的原著失傳之后，這些阿拉伯文譯本就成為后來歐洲人了解古希臘數(shù)學的主要來源，而許多古希臘時期的著作也正是通過它們的阿拉伯文譯本才得以流傳下來．漫長而有效的翻譯時期之后，阿拉伯數(shù)學出現(xiàn)了一個創(chuàng)造性的活躍時期．阿拉伯人不僅繼承了古典科學遺產(chǎn)，而且使之適合自己的特殊需要和思想方法．他們吸取和保存了希臘和印度數(shù)學的精華，加上他們自己的創(chuàng)造性勞動，建立起獨具風格的阿拉伯數(shù)學．他們的貢獻為世界數(shù)學寶庫增添了光彩．

13世紀初，成吉思汗率蒙古部隊西征．13世紀中葉，成吉思汗之孫旭烈兀再次率兵西征，占領了原來阿拉伯哈利發(fā)在亞洲的所有領土，創(chuàng)立了伊兒汗國．蒙古人征服了這些伊斯蘭國家后不久，他們自己也都皈依了伊斯蘭教．到了14、15世紀，在中亞又出現(xiàn)了另一個蒙古帝國——帖木耳國．12世紀末，西班牙人推翻最后一個摩爾人的統(tǒng)治，阿拉伯人失去了他們在歐洲的立足點．阿拉伯帝國解體，阿拉伯數(shù)學走向衰落阿拉伯數(shù)學

阿拉伯數(shù)學是指7世紀伊斯蘭教興起后，崛起于阿拉伯半島，建立在橫跨亞、非、歐三洲的阿拉伯帝國統(tǒng)治下各民族所開創(chuàng)的數(shù)學．通常所謂伊斯蘭國家的數(shù)學或中亞細亞數(shù)學也是指阿拉伯數(shù)學．在伊斯蘭國家里，科學文化的發(fā)展是許多民族的學者共同勞動的結果，數(shù)學也不例外．他們是波斯人、花拉子模人、塔吉克人、希臘人、敘利亞人、摩爾人、猶太人和阿拉伯人，等等．他們大都是伊斯蘭教徒．講到這一時期這一地區(qū)的數(shù)學，沒有很恰當?shù)脑~語來表述，由于當時的數(shù)學著作都是用阿拉伯文撰寫的，一般就統(tǒng)稱為阿拉伯數(shù)學．上述各民族的學者有時也統(tǒng)稱為阿拉伯人．阿拉伯數(shù)學976年的西班牙數(shù)碼阿拉伯數(shù)學伊斯坦布爾的天文學家

（1971）

消化希臘數(shù)學,吸收印度數(shù)學

文化中心:巴格達

9-15世紀繁榮600年

對文藝復興后歐洲數(shù)學的進步有深刻影響阿拉伯科學(突尼斯,1980)阿拉伯數(shù)學希臘(公元前6世紀-公元6世紀)印度(公元5-12世紀)波斯(公元前6世紀-前3世紀)阿拉伯科學(公元9-15世紀)阿爾·花拉子米（烏茲別克,783－850）（蘇聯(lián),1983）早期阿拉伯數(shù)學:8世紀中葉－9世紀

代數(shù)教科書的鼻祖：《代數(shù)學》(820)(復原與對消)1140年被羅伯特(英)譯成拉丁文

歐洲延用幾個世紀標準的代數(shù)學教科書3.2.1阿拉伯數(shù)學的分期與杰出的數(shù)學家

《印度計算法》

創(chuàng)辦翻譯學校花拉子米(MohammedibnMsal－Khowrizm，約780—約850)是一個拜火教徒的后裔，早年在家鄉(xiāng)花拉子米城接受初等教育后到中亞細亞古城默夫繼續(xù)深造．當時阿拔斯王朝哈利發(fā)哈倫·賴世德的兒子馬蒙任東部地區(qū)的總督，住在默夫，他在那里召見過已經(jīng)遠近聞名的花拉子米．813年，馬蒙成為阿拔斯王朝的哈利發(fā)后，花拉子米作為杰出的科學家被聘請去首都巴格達工作（馬蒙的司書官），并成為智慧館學術工作的主要領導人之一．在此期間，花拉子米創(chuàng)作了許多重要的、舉世聞名的科學著作，包括數(shù)學、天文學、地理和歷史等許多領域

花拉子米的算術著作只有譯本流傳下來．現(xiàn)在唯一能夠見到的，是14世紀中葉翻譯的拉丁文手稿，現(xiàn)保存在劍橋大學圖書館．譯文沒有標題，以“DixitAlgoritmi…”開頭，中斷在一個乘法例題之中．后來，這部譯本就定名為“Algoritmidenumeroindorum”，其中Algoritmi本來是花拉子米的拉丁文譯名，可是被人們理解為印度的讀數(shù)法，后來它竟演變成表示任何系統(tǒng)或計算程序的“算法”的專業(yè)術語algorithm．

820年

《代數(shù)學》由三部分組成：第一部分講述現(xiàn)代意義下的初等代數(shù)，第二部分論及各種實用算術問題，最后一部分(也是最大的一部分)列舉了大量的關于繼承遺產(chǎn)的各種問題．

花拉子米的

《代數(shù)學》

《代數(shù)學》．它的阿拉伯文書名是《ilmaljabrwa’lmuqabalah》．比較流行的一種說法認為現(xiàn)在西文中代數(shù)學一詞algebra由此書名中的aljabr脫胎而來．

aljabr原意是“還原”，根據(jù)上下文的意思，是指把負項移到方程另一端變成正項，方程才能平衡．muqabalah意即“化簡”或“對消”，是指方程兩端可以消去相同的項或合并同類項．書名直譯應為《還原與對消的科學》．

aljabr譯成拉丁文是algebra，而muqabalah被省略了，algebra則逐漸成為代數(shù)學這門科學的名稱．這一名稱的起源完全符合代數(shù)學本身的特點．代數(shù)的基礎就是脫離具體數(shù)字以一般的形式來考慮算術運算，它的課題首先是提出解方程的變形規(guī)則．花拉子米正是以某種變形規(guī)則的名稱來為自己的書命名，從而體現(xiàn)了代數(shù)學的真髓

編制了中世紀最精密的歷法：哲拉里歷

研究三次方程根的幾何作圖法，提出的用圓錐曲線圖求根的理論奧馬·海雅姆（伊朗，1048－1131年）（阿爾巴尼亞，1997）

中期阿拉伯數(shù)學:10－12世紀

《還原與對消問題的論證》(1070)3.2.1阿拉伯數(shù)學的分期與杰出的數(shù)學家奧馬·海雅姆陵墓（伊朗，1934年修建）阿拉伯數(shù)學

阿拉伯的三角學阿拉伯數(shù)學對希臘三角學系統(tǒng)化，對中世紀歐洲影響最大的天文學家

《天文論著》（星的科學），發(fā)現(xiàn)地球軌道是一個經(jīng)常變動的橢圓,創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學術語阿爾·巴塔尼（850－929年）三角學理論的貢獻利用二次插值法制定了正弦、正切函數(shù)表證明了三角公式：正弦公式、和差化積公式、倍角公式和半角公式提出地球繞太陽運轉,太陽是宇宙中心的思想阿拉伯數(shù)學阿爾·比魯尼（973－1048年）（巴基斯坦，1973）

《論完全四邊形》：脫離天文學系統(tǒng)的三角學專著阿拉伯數(shù)學納西爾丁·圖西（1201－1274年）（伊朗，1956）

后期阿拉伯數(shù)學:13－15世紀

對15世紀歐洲三角學的發(fā)展起重要的作用阿爾·卡西（烏茲別克,1380－1429）（伊朗，1979）百科全書:《算術之鈅》(1427)

π的17位精確值(1424)阿拉伯數(shù)學

后期阿拉伯數(shù)學:13－15世紀卡西計算了圓內接3×2n邊形的周長．他制造了28個大型表格，依次計算出n=1，2，…，28時圓內接正3×2n邊形的周長．若取r＝1，則可算得內接正3×228邊形的周長又計算出圓外切正3×228邊形的周長．然后把它們的算術平均值

6.2831853071795865，除以2即得

π=3.1415926535897932．17位數(shù)字全部是準確數(shù)字！

卡西的計算結果打破了中國數(shù)學家祖沖之保持了一千多年的紀錄．

卡西在《算術之鑰》里，詳細地敘述了十進制分數(shù)的理論，并指出把六十進制分數(shù)化為十進制分數(shù)的方法．他的著作比較通俗，很易于理解．他自己寫道，用十進制分數(shù)表示圓的周長與直徑之比，目的是為了使“不懂得天文學家用六十進制分數(shù)計算的人能夠掌握十進制分數(shù)．”卡西在引進十進制分數(shù)之后，十分注意用四舍五入的方法簡化計算，略去計算中沒有意義的數(shù)位．印度——阿拉伯數(shù)字印度－阿拉伯數(shù)字9世紀的印度數(shù)碼15世紀在歐洲使用的印度數(shù)碼阿拉伯人原來只有數(shù)詞，沒有數(shù)字．在征服埃及、敘利亞等國后不久，阿拉伯人就使用了希臘字母記數(shù)法．9世紀初，開始出現(xiàn)阿拉伯字母記數(shù)法．公元773年(另一說771年)，一位印度學者把印度天文學名著《悉檀多》(Siddhānta)帶到阿拔斯王朝哈利發(fā)曼蘇爾的宮廷中．不久，這部著作被譯成阿拉伯文．印度數(shù)字、位值記數(shù)法和算術運算就這樣傳到阿拉伯國家．3.2.2阿拉伯的算術與代數(shù)花拉子米在他的著作中講述了印度人利用九個數(shù)字和零號的記數(shù)法，闡明了十進位值制的原理，引進了零的記號——形似字母“O”的小圓圈．13世紀的歐洲普遍用“小圓圈”或稱“暗碼”(ciffra)表示零號．“暗碼”這一術語一直使用到18世紀末．在15至16世紀，單詞ciffra開始有表示數(shù)字0，1，2，…，9的符號的涵義，它來源于阿拉伯文as－sifr，后者是梵文中零的名稱Snya即“空的”的譯文．在歐洲中世紀，拉丁語單詞nulle—“一無所有的”、“空的”——在一些歐洲語言中以不同形式表示零．十進位值制記數(shù)法在阿拉伯國家的普及經(jīng)歷了相當長的時期．在整個中世紀這種記數(shù)法也沒有完全代替其它形式的記數(shù)法．許多人仍然使用“詞句記數(shù)法”．花拉子米系統(tǒng)地論述了六種類型的一次和二次方程的解法．這些方程由下列三種量構成：根、平方、數(shù)．根相當于現(xiàn)在的未知數(shù)x，平方就是x2，數(shù)是常數(shù)項．《代數(shù)學》完全用文字敘述，沒有出現(xiàn)任何字母和縮寫符號．為了表達方便起見，我們同時用現(xiàn)代的符號來表示這六種方程：

1．平方等于根ax^2=bx

2．平方等于數(shù)ax^2＝c

3．根等于數(shù)ax=c

4．平方和根等于數(shù)ax^2＋bx=c

5．平方和數(shù)等于根ax^2＋c＝bx

6．根和數(shù)等于平方bx＋c＝ax^2

例如“一個平方數(shù)及其根的十倍等于三十九”即方程x^2＋10x＝39對于方程x^2＋10x＝39的兩種解法第一種方法是在邊長為x的正方形的四個邊上向外作邊長為x和5/2的矩形，再在這個圖形的四角作邊長為5/2的四個小正方形，然后把圖形補充為邊長為(x＋5)的大正方形(圖6.2)．第二種方法是在邊長為x的兩個鄰邊上向外作邊長為x和5的矩形，然后把圖形補充為邊長為(x＋5)的大正方形(圖6.3)．花拉子米都利用已知方程x^2＋10x＝39求出大正方形的面積為64，然后開方，再求出x來．11世紀，阿拉伯學者已經(jīng)熟悉了丟番圖的《算術》書．凱拉吉在《發(fā)赫里》中大量地引用《算術》書的內容，他不僅把先輩們關于二次方程的理論網(wǎng)羅殆盡，而且無論在理論還是應用方面都出現(xiàn)了一系列新內容．他引進的代數(shù)運算比艾布卡米爾的更豐富、更系統(tǒng)，他所選用的習題比花拉子米甚至丟番圖的更多樣化．給出了下面關于三次根式運算的關系式：提出了求兩個二次根式的和與差的一般運算法則：奧馬海雅姆的代數(shù)著作中共列出14種典型的三次方程．對每種方程，他都適當?shù)剡x擇兩種圓錐曲線，用類似上述的方法求出方程的幾何解．深入研究他的方法，人們發(fā)現(xiàn)海亞姆所選擇的曲線還遵循著一定的規(guī)律，這也正是他的方法的巧妙之處．一些科學史家認為，奧馬海雅姆解三次方程的幾何方法是笛卡兒解析幾何學的先驅性工作．如果把奧馬海雅姆的工作與笛卡兒的《幾何學》進行比較，不難發(fā)現(xiàn)，奧馬海雅姆的具有一般性的方法與解析幾何學的思想是同源的．他的工作預示了新數(shù)學的發(fā)展方向．阿拉伯代數(shù)學也有很大的局限性．首先，阿拉伯人沒有引進負數(shù)(艾布瓦法的著作中出現(xiàn)了唯一的例外)．為了避免負數(shù)，他們對方程進行了細致的分類．解方程過程中，放棄了負根和零根．其次，阿拉伯人沒有使用字母或縮寫符號，他們的代數(shù)著作完全用文字敘述．這兩方面都比印度人倒退了一步．3.2.2阿拉伯的算術與代數(shù)阿拉伯幾何學主要受歐幾里得、阿基米德和希羅(Heron)的影響

艾布瓦法在他的《幾何作圖法》(Kjtābfīmāyahtaji-layhal-snij‘minal-a‘malal-handasiyya)中，研究了用直尺和固定角規(guī)作圖的問題，給出拋物線作法及各種圓內接正多邊形的作法，還研究了某些等積問題

奧馬海雅姆也曾為《幾何原本》中某些公設作出注釋，他的著作《對歐幾里得幾何原本中困難公設的注釋》

納西爾丁為證明歐幾里得第五公設作出了嘗試．沃利斯在17世紀把他的證明譯成拉丁文，并稱之為“現(xiàn)有論證中最機智的論證”．納西爾丁工作是非歐幾何最重要的先驅性工作．

3.2.3阿拉伯的幾何與三角納西爾丁還證明了以下與第五公設等價的命題：

(1)垂線與斜線必然相交．

(2)自角內的一點永遠可以引一直線與該角的兩個邊相交卡西在他的代表作《圓周論》中給出關于π的異常精采的計算10—11世紀伊拉克學者伊本海塞姆(al－Hasanibnal-Haytham，約965—1039)曾計算拋物弓形分別繞弦、頂點切線或任意直徑旋轉所得旋轉體之體