課件-第十章10-7公式

10.7斯托克斯(stokes)公式

環(huán)流量與旋度斯托克斯公式物理意義---環(huán)流量與旋度小結(jié)思考題circulation

斯托克斯Stokes,G.G.(1819–1903)

英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家

本節(jié)介紹空間曲面積分與曲線積分并同時介紹向量場的兩個重要概念斯托克斯公式.環(huán)量與旋度.之間的關(guān)系斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度一、斯托克斯(Stokes)公式斯托克斯公式定理為分段光滑的空間有向閉曲線,是以為邊界的分片光滑的有向閉曲面,具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有公式斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度

即有其中方向余弦.是Σ指定一側(cè)的法向量斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度Γ的正向與Σ的側(cè)符合右手規(guī)則:

當(dāng)右手除拇指外的四指依Γ的繞行方向時,

是有向曲面的正向邊界曲線右手法則拇指所指的方向與Σ上法向量的指向相同.是有向曲面Σ的正向邊界曲線.稱Γ斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度因此斯托克斯公式是格林注當(dāng)Σ為xOy坐標(biāo)面上的平面區(qū)域時,斯托克斯公式就是格林公式,公式在曲面上的推廣.(3)在坐標(biāo)面上,應(yīng)用格林公式把(2)得到的平面閉曲線積分化為二重積分.證明思路(1)把曲面積分化為坐標(biāo)面上投影域的二重積分;(2)把空間閉曲線Γ上的曲線積分化為坐標(biāo)面上的閉曲線積分;分三步另一種形式便于記憶形式斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度Stokes公式的實(shí)質(zhì)

表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度解法一按斯托克斯公式,計(jì)算曲線積分例其中被三坐標(biāo)面所截成的三角形的整個邊界,它的正向與這個三角形上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則.有斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度輪換對稱性斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度按斯托克斯公式,

法二有斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度解則計(jì)算曲線積分例其中截立方體:的表面所得的截痕,若從Ox軸的正向看去,取逆時針方向.取Σ為平面的上側(cè)被Γ所圍成的部分.Σ在xOy面上的投影為斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度即斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度1.環(huán)流量的定義circulationcurl二、物理意義---環(huán)流量與旋度設(shè)向量場斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度稱為向量場沿曲線所取方向的環(huán)流量.利用Stokes公式,

環(huán)流量斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度2.旋度的定義斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度設(shè)某剛體繞定軸l

轉(zhuǎn)動,M為剛體上任一點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖,則角速度為,點(diǎn)M

的線速度為(此即“旋度”一詞的來源)旋度的力學(xué)意義:解例斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度斯托克斯公式的又一種形式其中斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度斯托克斯公式的向量形式其中斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度Stokes公式的物理解釋環(huán)流量斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度斯托克斯Stokes公式斯托克斯公式的物理意義—環(huán)流量與旋度斯托克斯(stokes)公式環(huán)流量與旋度三、小結(jié)Stokes公式的實(shí)質(zhì)

表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.(注意使用的條件)

計(jì)算其中Σ是球面(1)用對面積的曲面積分;(2)用對坐標(biāo)的曲面積分;(3)用高斯公式;(4)用斯托克斯公式.斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度的上半部,Γ是它的邊界.思考題

解答(1)原式=斯托克斯(Stokes)公式環(huán)流量與旋度(2)原式=(3)補(bǔ)平面原式=斯托克斯(stokes)公式環(huán)流量與旋度方向朝下,與Σ構(gòu)成封閉曲面.將Γ寫成參數(shù)方程:原式=原式=(4)邊界曲線Γ: