第1章矢量分析-WYF

第1章矢量分析一、矢量和標(biāo)量的定義二、矢量的運(yùn)算法則三、矢量微分元：線元，面元，體元四、標(biāo)量場(chǎng)的梯度六、矢量場(chǎng)的旋度五、矢量場(chǎng)的散度七、重要的場(chǎng)論公式一、矢量和標(biāo)量的定義1.標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量。矢量表示為：所以：一個(gè)矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。其中：為矢量的模，表示該矢量的大小。為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。如:力、速度、電場(chǎng)等如：溫度T、長(zhǎng)度L等例1：在直角坐標(biāo)系中，

x方向的大小為6的矢量如何表示？圖示法：力的圖示法：二、矢量的運(yùn)算法則1.加法:

矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。a.滿足交換律：b.滿足結(jié)合律：三個(gè)方向的單位矢量用表示。根據(jù)矢量加法運(yùn)算：所以：在直角坐標(biāo)系下的矢量表示:其中：矢量：模的計(jì)算：?jiǎn)挝皇噶浚悍较蚪桥c方向余弦：在直角坐標(biāo)系中三個(gè)矢量加法運(yùn)算：

2.減法：換成加法運(yùn)算逆矢量：

和的模相等，方向相反，互為逆矢量。在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算：推論：任意多個(gè)矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。3.乘法：（1）標(biāo)量與矢量的乘積：方向不變，大小為|k|倍方向相反，大小為|k|倍（2）矢量與矢量乘積分兩種定義a.標(biāo)量積（點(diǎn)積）：兩矢量的點(diǎn)積含義：

一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量。在直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的，即有兩矢量點(diǎn)積：結(jié)論:兩矢量點(diǎn)積等于對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當(dāng)兩個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個(gè)矢量必正交。推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結(jié)合律：推論4：當(dāng)兩個(gè)非零矢量叉積為零，則這兩個(gè)矢量必平行。b.矢量積（叉積）：含義：兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三者符合右手螺旋法則。在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：兩矢量的叉積又可表示為：xyzo（3）三重積：三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式：矢量，標(biāo)量與矢量相乘。標(biāo)量，標(biāo)量三重積。矢量，矢量三重積。a.標(biāo)量三重積法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,后算點(diǎn)積。定義：含義：

標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積。注意：先后輪換次序。推論：三個(gè)非零矢量共面的條件。在直角坐標(biāo)系中：b.矢量三重積：例2：求：中的標(biāo)量a、b、c。解：則：設(shè)例3：

已知求：確定垂直于、所在平面的單位矢量。解：已知所得矢量垂直于、所在平面。已知A點(diǎn)和B點(diǎn)對(duì)于原點(diǎn)的位置矢量為和，求：通過A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線方程。例4：

其中：k

為任意實(shí)數(shù)。xyzCAB解：在通過A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線方程上，任取一點(diǎn)C，對(duì)于原點(diǎn)的位置矢量為，則三、矢量微分元：線元、面元、體元例：其中：和稱為微分元。1.直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：2.圓柱坐標(biāo)系在圓柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：3.球坐標(biāo)系在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：a.在直角坐標(biāo)系中，x,y,z

均為長(zhǎng)度量，其拉梅系數(shù)均為1，即：b.在柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為,其中為角度，其對(duì)應(yīng)的線元，可見拉梅系數(shù)為：在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為，其中均為角度，其拉梅系數(shù)為：注意：四、標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.標(biāo)量場(chǎng)的等值面可以看出：標(biāo)量場(chǎng)的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不相交的。以溫度場(chǎng)為例：熱源等溫面2.方向?qū)?shù)：設(shè)有標(biāo)量場(chǎng)，為場(chǎng)中任意一點(diǎn),從如圖，

為緊靠點(diǎn)的另向的方向?qū)?shù)定義為點(diǎn)向任意方向引射線，一點(diǎn),則在

點(diǎn)沿方

u

沿什么方向增加率最大？這個(gè)最大的增加率等于多少？

設(shè)

,則，，，這說明。沿方向的增加率為，沿方向的增加率為,沿表示標(biāo)量場(chǎng)

沿

方向的增加率（單位長(zhǎng)度的增量）當(dāng)

時(shí)，說明

沿

方向增加；當(dāng)時(shí)，說明

沿

方向減??；當(dāng)

時(shí)，說明

沿

方向不變。方向不變。

在標(biāo)量場(chǎng)中一定存在著這樣一個(gè)矢量，它的方向指向增加率最大的方向，其大小等于這個(gè)最大的增加率，該矢量稱為標(biāo)量的梯度，用表示。即梯度的概念2.方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的分量。即

說明:1.為哈密爾頓算符，即梯度在直角系中的表達(dá)式

例：設(shè)u=2x+y,求u的梯度，并計(jì)算它的大小和方向（其方向用單位矢量表示），并求該函數(shù)u沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)。大小方向梯度解：方向?qū)?shù)練習(xí)題：已知標(biāo)量函數(shù)，求在點(diǎn)處的梯度，并求該梯度沿指定方向的方向?qū)?shù)。在柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：在不同的坐標(biāo)系中，梯度的計(jì)算公式：在直角坐標(biāo)系中：五、矢量場(chǎng)的散度1.矢線（場(chǎng)線）：

在矢量場(chǎng)中，若一條曲線上每一點(diǎn)的切線方向與場(chǎng)矢量在該點(diǎn)的方向重合，則該曲線稱為矢線。2.通量：定義：如果在該矢量場(chǎng)中取一曲面S，通過該曲面的矢線量稱為通量。表達(dá)式：若曲面為閉合曲面：+-討論：a.

如果閉合曲面上的總通量

說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。b.

如果閉合曲面上的總通量

說明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負(fù)源或稱溝。c.

如果閉合曲面上的總通量說明穿入的通量等于穿出的通量。3.散度：a.定義：矢量場(chǎng)中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度。b.表達(dá)式：c.散度的計(jì)算：

在直角坐標(biāo)系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個(gè)平面組成。矢量場(chǎng)表示為：在x方向上：計(jì)算穿過和面的通量為因?yàn)椋簞t：在x

方向上的總通量：在z

方向上,穿過和面的總通量：整個(gè)封閉曲面的總通量：同理：在y方向上,穿過和面的總通量：該閉合曲面所包圍的體積：通常散度表示為：4.散度定理：物理含義：穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。柱坐標(biāo)系中：球坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：常用坐標(biāo)系中，散度的計(jì)算公式散度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式

設(shè)有矢量，求矢量在點(diǎn)解：處的散度。

矢量在任意閉合曲面上的面積分等于該矢量的散度定理散度在閉合面所限定的體積中的體積分，即

解：

設(shè)矢量，為由；

；所限定的平行六面體的表面積。求和。練習(xí)題：

例：在半徑為的球體區(qū)域中，設(shè)。求：①在半徑為的球面上的面積分；②的散度；③在半徑為的球形區(qū)域中的體積分。

解：①②③六、矢量場(chǎng)的旋度1.環(huán)量：

在矢量場(chǎng)中，任意取一閉合曲線，將矢量沿該曲線積分稱之為環(huán)量?？梢姡涵h(huán)量的大小與環(huán)面的方向有關(guān)。2.旋度:定義：一矢量其大小等于某點(diǎn)最大環(huán)量密度，方向?yàn)樵摥h(huán)的法線方向，那么該矢量稱為該點(diǎn)矢量場(chǎng)的旋度。表達(dá)式：旋度計(jì)算：以直角坐標(biāo)系為例，一旋度矢量可表示為：場(chǎng)矢量：其中：為x方向的環(huán)量密度。旋度可用符號(hào)表示：其中：可得：同理：所以：旋度公式：為了便于記憶，將旋度的計(jì)算公式寫成下列形式:類似地，可以推導(dǎo)出在廣義正交坐標(biāo)系中旋度的計(jì)算公式：

對(duì)于柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)，已知其拉梅系數(shù)，代入公式即可寫出旋度的計(jì)算公式。3.斯托克斯定理：物理含義：

一個(gè)矢量場(chǎng)旋度的面積分等于該矢量沿此曲面周界的曲線積分。例：設(shè)有矢量，求矢量在點(diǎn)處的旋度。解：

在矢量場(chǎng)中，矢量沿任一閉合曲線l的線積分，等于矢量的旋度在

l所限面積上的面積分，即斯托克斯定理

設(shè)矢量，求該矢量沿圖示閉合回路的線積分。練習(xí)題：

解：

或由于

則

求：①矢量沿圖

例：設(shè)有矢量