第1講菱形(基礎(chǔ))知識(shí)精講

菱形〔根底〕【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解菱形的概念.把握菱形的性質(zhì)定理及判定定理．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.要點(diǎn)詮釋：菱形的定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個(gè)平行四邊形，然后增加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特別條件.要點(diǎn)二、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特別性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線相互垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸〔對(duì)角線所在的直線.要點(diǎn)詮釋〔1成完全全等的兩局部.〔2〕菱形的面積有兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對(duì)角線乘積的一半〔即四個(gè)小直角三角形面積之和〕.實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線相互垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半.〔3〕.要點(diǎn)三、菱形的判定菱形的判定方法有三種：定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形.四條邊相等的四邊形是菱形.在四邊形的根底上加上四條邊相等.【典型例題】類型一、菱形的性質(zhì)1〔廣安〕如圖，四邊形ABCD是菱形，CE⊥AB1〔廣安〕如圖，四邊形ABCD是菱形，CE⊥ABABE，CF⊥AD交【思路點(diǎn)撥】連接AC，依據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC平分∠DAE，CD=BC，再依據(jù)角平分線的CE=FCHLRt△CDF≌Rt△CBEDF=BE．【答案與解析】AC，ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．Rt△CDFRt△CBE中，CDCBCE，RCD≌R△CBH，∴DF=BE．距離相等．同時(shí)考察了全等三角形的判定與性質(zhì)．舉一反三：1〔溫州模擬〕如圖，在菱形ABCDEAB上的一點(diǎn)，連接DEAC于點(diǎn)O，連接BO，且∠AED=50°，則∠CBO= 度．【答案】50；ABCD中，AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，，∴在△BCO和△DCO中，，∴BCO≌DC〔SA，∴∠CBO=∠CDO=50°．【變式2】菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，假設(shè)周長(zhǎng)為8，則此菱形的高等于( )．1A.2 B.4 C.1 D.2【答案】C；1提示：由題意，∠A＝30°22×2＝1.是菱形嗎?試說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】由菱形的定義去判定圖形，由DE∥AC，DF∥BC知四邊形DECF是平行四邊形，再由∠1＝∠2＝∠3得到鄰邊相等即可．【答案與解析】解：四邊形DECF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥BC∴四邊形DECF是平行四邊形．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴CF＝DF，∴四邊形DECF是菱形．在用菱形的定義判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)再由一對(duì)鄰邊相等來(lái)判定它是菱形．舉一反三：【變式】如下圖，AD是△ABC的角平分線，EFAD，分別交ABE，交AC于FAEDF是菱形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】解：四邊形AEDF是菱形，理由如下：∵EFAD，∴△AOF與△DOFEF成軸對(duì)稱．∴∠ODF＝∠OAF，又∵AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴EO＝OF又∵AEDF的對(duì)角線AD、EF相互垂直平分．∴AEDF是菱形．3、如下圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE3、如下圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE平分∠ACD，交AD【思路點(diǎn)撥】由角平分線性質(zhì)易知AE＝EF，欲證四邊形AEFG是菱形，只要再證四邊形AEFGAG＝GF＝AE即可．【答案與解析】證明：方法一：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴AE＝AG．∴EF AG．∴∠4＝∠∴AE＝AG．∴EF AG．∴四邊形AEFG是平行四邊形．又∵AE＝AG，∴四邊形AEFG是菱形．方法二：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴AG＝FG．∴AE＝EF＝FG＝AG．∴四邊形AEFG是菱形．【總結(jié)升華】判定一個(gè)四邊形是菱形，關(guān)鍵是把條件轉(zhuǎn)化成判定方法所需要的條件．舉一反三：【變式】如下圖，在 ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，過(guò)AAG∥DBCBG．假設(shè)∠G＝90°DEBF是菱形．【答案】證明：(1) ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵E、FAB、CD的中點(diǎn)1 1∴DF＝

DC，BE＝AB2 2∴DF∥BE．DF＝BEDEBF為平行四邊形∴DE∥BF(2)證明：∵AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC為直角三角形又∵1∴BF＝2

DC＝DF又∵四邊形DEBF為平行四邊形40.3m40.3m0.2m的矩形瓷磚，E、F、G、H分別為矩形四邊BC、CD、DA、AB的中點(diǎn)，陰影局部為淡黃色花紋，中間局部為白色，現(xiàn)有一面4.2 寬2.8m的墻壁預(yù)備貼如下圖規(guī)格的瓷磚．試問(wèn)：這面墻最少要貼這種瓷磚多少塊?全部貼滿后，這面墻壁會(huì)消滅多少個(gè)面積一樣的菱形?【答案與解析】解：墻壁長(zhǎng)4.2m，寬2.8m，矩形瓷磚長(zhǎng)0.3m，寬0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷