《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題三答案-設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)之歐陽理創(chuàng)編

歐陽陽理創(chuàng)編

時間：2021.03.05

創(chuàng)作：歐陽理習(xí)題三1將一硬幣拋擲三次，以表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值試寫出X和聯(lián)合分布律.【解】X聯(lián)合分布律如表：

2

C3

12

23

13/2

1122.子里裝有3只黑球、2紅球、只白球，在其中任取球，以X示取到黑球的只數(shù)，以Y示取到紅球的只數(shù)求和Y聯(lián)合分布律【解】X聯(lián)合分布律如表：

CC1C232C7

C33C7C2C1C132C47

C123C47C123C47歐陽陽理創(chuàng)編

227F，）歐陽陽理創(chuàng)編227F，）

P黑2紅2白=12/435

CC32C7

C

2C3C7

3.二維隨機(jī)變量（，的聯(lián)合分布函數(shù)為ππxsiny2其他求二維隨機(jī)變量（，Y）在長方形域πππxy43

內(nèi)的概率.【解】如圖

πππP{0X,}公式463題3圖說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。4.隨機(jī)變量（，的分布密度)f（，）=求：（1常數(shù)A

x0,y0,他（2隨機(jī)變量（XY的分布函數(shù)；（3P≤X<10≤Y【解】（由

f(x,)dxdy

0

e

xy)

dxdy12得=12（2由定義，有

P{05.隨機(jī)變量（，的概率密度為歐陽陽理創(chuàng)編

0,其他歐陽陽理創(chuàng)編0,其他

f（，）=

k(6),2,2y他（1確定常數(shù)k；（2求P{＜Y3}（3求P{<1.5}；（4求P{+≤4}.【解】（由性質(zhì)有故

R

（2

P{X

Y

f(yx

P{1.5}

x

f(x)dxdy如dyD

P{

X

f(xd如圖b

D

f(x,)dx題5圖6.X和是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X在（0.2上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為0,f（）=求：（1與聯(lián)合分布密度；（）{X}.題6【解】（因X在（）服從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為歐陽陽理創(chuàng)編

0,f()f0,f()f（，）f()

而所以

y

f(x)dx圖D

25e

xdy7.二維隨機(jī)變量（，的聯(lián)合分布函數(shù)為F，）

),xy他求（，Y的聯(lián)合分布密度【解】

(x,)f(x,y)

x0,y0,他8.二維隨機(jī)變量（，的概率密度為f（，）=求邊緣概率密度

4.8y0xy,0,他.【解】

f(y)dy題8圖

題9.二維隨機(jī)變量（，的概率密度為e,x0,其他求邊緣概率密度【解】

f(y)dy題圖10.二維隨機(jī)變量XY的概率密度為歐陽陽理創(chuàng)編

0,f（x）=Y0,f（x）=YYf()2f（x）=

y,

2

y其他（1試確定常數(shù)c（2求邊緣概率密度.【解】（

f(,y)dxy)dxD得

.

f()f(yX11.隨機(jī)變量（，）概率密度為y,x0,其求條件概率密度f

（｜x，f（｜y｜｜題圖【解】

f(y)dy所以中有五個號碼，35從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為X最大的號碼為（1求與Y聯(lián)合概率分布；（2Y否相互獨(dú)立？【解】（Y聯(lián)合分布律如下表X

Y

45歐陽陽理創(chuàng)編

P{X}i

i歐陽陽理創(chuàng)編i

P{Yy}i

11C35

22C310511C3105

33C310522C310511C2105

P{{Y

6{3},1010故X與Y獨(dú)立13.二維隨機(jī)變量XY的聯(lián)合分布律為Y0.40.8

X

50.300.12（1求關(guān)于和關(guān)于邊緣分布；（2與否相互獨(dú)立？【解】1X邊緣分布如下表0.40.8P{}i

20.2

5

8

{Y=y}0.80.2P{P{Y0.4}0.80.160.15(0.4),

因故X與Y獨(dú)立.14.是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量（0）上服從均勻分布，Y的概率密度為歐陽陽理創(chuàng)編

Y歐陽陽理創(chuàng)Yf（y

/

,

0,其他.（1求和聯(lián)合概率密度；（2設(shè)含有a二次方程為有實(shí)根的概率

2

+2+=0試求a【解】（因故

xf(x)X他

e2,yf(y)0,他.f(x,)X,Y獨(dú)立(x)f(y)XY

0,

/2

y0,其題圖a故

Xa

有實(shí)根的條件是從而方程有實(shí)根的概率為：15.和Y別表示兩個不同電子器件的壽命（以小時計(jì)），并設(shè)X相互獨(dú)立，且服從同一分布，其概率密度為f（）=

1000,x1000,x0,其他.求ZX/Y概率密度.【解】如圖Z的分布函數(shù)

F(){}{Z

}歐陽陽理創(chuàng)編

iiii歐陽陽理創(chuàng)編(z)≤0時，Z（2當(dāng)，（這時當(dāng)=1000時,=(圖a)題15

z

）當(dāng)z≥1時，（這時當(dāng)y

時，x

3

z（如圖即

1,f(z),0他2f(z)故

16.設(shè)某種型號的電子管的壽命（以小時計(jì)）近似地服從（160202

）分.機(jī)地選取

只，求其中沒有一只壽命小于180的率【解】設(shè)四只壽命為(i則N160，20

2

），從而17.，相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為{=k}=），k，12…，歐陽陽理創(chuàng)編

121n12n1121n12n1n1nn

P{=r}=qr，r=0….證明隨機(jī)變量Z=X分布律為{=i}=

ik

p)(i

，i=0，….【證明】所有可能值都是非負(fù)整數(shù)，所以于是18.是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為np的二項(xiàng)分布.明=+服從參數(shù)為2np的二項(xiàng)分布【證明】法一X能取值為1…，2方法二：設(shè)μ布（參數(shù)為，則

,μ,…,;μ′,μ′,，μ′服從兩點(diǎn)分X=++μ，=′+μ′+…+′,X+=++…++′+μ′+…+μ′,所以，+從參數(shù)為（2p二項(xiàng)分19.隨機(jī)變量（，）分布律為

X

50.010.030.070.09

0.020.040.060.080.030.050.050.050.020.04{=2｜=2}{｜=0}（2求V=max，Y的分布律；歐陽陽理創(chuàng)編

歐陽陽理創(chuàng)編

（3求U=minXY的分布律；（4求WX+分布律.【解】（

P{Y2}

P{2}P{Y2}（2

P{

}{max(X}{X}{Y}所以V的分布律為V=max(Y)0P0

PU}{min(,Y}于是U=min(XY)P

似上述過程，有=+P0

20.達(dá)的圓形屏幕半徑為，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)XY在屏幕上服從均勻分布（1求P{Y＞}（2設(shè)M=max{，Y}求{M＞0}.題20【解】因（，）聯(lián)合概率密度為（1

P{Y|YX}

P{Y}P{YX}

P{M{max(X)0}{max(X)設(shè)平面區(qū)域

D由曲線y=1/x及直線，x

所圍成，二維隨機(jī)變量（，在區(qū)域D上服歐陽陽理創(chuàng)編

X123i12j111歐陽陽理創(chuàng)編X123i12j111

從均勻分布，求（XY關(guān)于的邊緣概率密度在x=2處的值為多少？題21【解】域D的面積為

S0

1

1x

dln

1

2.

（,的聯(lián)合密度函數(shù)為（，Y關(guān)于X邊緣密度函數(shù)為所以

1f.422.隨機(jī)變量X和Y互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（，Y聯(lián)合分布律及關(guān)于邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值試將其余數(shù)值填入表中的空白處X

y

P{X=}=

ixxP{=y}=

j

1/81/6

1/8

【解】因

2P{y}PP{xY}jjiji

,故

PY}P{X1

Y}{Xx,y},11從而

P{xY}11

111.6824而X與Y立，故

{X

}{y}{X,Yy}ijii

,從而

11P{x}P{xY}.6即：

11P{x}/1244歐陽陽理創(chuàng)編

1,322232歐陽陽理創(chuàng)編1,322232

又{x}P{XY}{XxYy}{X,y},11111{y},即48從而

P{,Yy}1

112

.同理

13PY}P{Yy}28又

3j

P{y}j

11P{Y},623同理從而故

3P{}4

y1

y

2

y3

P{x}ii

14x

2

14

34P{}pj

j

12

23.某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)服從參數(shù)為λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p<1，且中途下車與否相互獨(dú)立，以表示在中途下車的人數(shù)，求：（）發(fā)車時有個乘客的條件下，中途有人下車的概率；（二維隨機(jī)變量（，的概率分布.歐陽陽理創(chuàng)編

【解】(1)

歐陽陽理創(chuàng)編P{m|}mp(1)n

,0,

.

P{Y}P{}{mX}設(shè)隨機(jī)變量和獨(dú)立，其中X的概率分布為

0.7

，而的概率密度為f(y)求隨機(jī)變量U=X概率密度).【解】設(shè)F（y是Y分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X分布函數(shù)為由于X和Y立，可見由此，得U的概率密度為25.25.設(shè)隨機(jī)變量XY互獨(dú)立，且均服從區(qū)間上均勻分布，求{max{XY}1}.：因?yàn)殡S即變量服從[03]上的均勻分布，于是有因?yàn)?，Y互獨(dú)立，所以推得

P{max{}

1926.二維隨機(jī)變量（，）概率分布為

X

01

0.20.10.20.1其中

a,

為常數(shù)，且

X

的數(shù)學(xué)期望()=

0.2,{≤0|≤0}=0.5，記Z+求：歐陽陽理創(chuàng)編

歐陽陽理創(chuàng)編（1ac的值；（2概率分布；（3P{XZ}.解(1)由概率分布的性質(zhì)知，

即=0.4.由

(X)

，可得再由

PYX