平面向量的數(shù)量積及菘應(yīng)用(二)

4.2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（二）1.向量在平面幾何中的應(yīng)用（1）常解決的平面幾何問題：平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、長度、夾角等問題.（2）解決常見平面幾何問題用到的向量知識問題類型所用知識公式表示線平行、點(diǎn)共線問題共線向量定理a∥b?____________?__________其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)垂直問題數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)a⊥b?_______?__________a=(x1,y1),b=(x2,y2)夾角問題數(shù)量積的定義cosθ=（θ為向量a,b的夾角）a=λb(b≠0)x1y2-x2y1=0a·b=0x1x2+y1y2=0（3）用向量方法解決平面幾何問題的“三步法”平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題設(shè)向量運(yùn)算還原2.平面向量在物理中的應(yīng)用（1）由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成和向量的減法和加法相似，可以用向量的知識來解決.(2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，是力F與位移s的數(shù)量積,即W=F·s=|F||s|cos

θ(θ為F與s的夾角）.考點(diǎn)1

向量在平面幾何中的應(yīng)用例1（1）平面上O,A,B三點(diǎn)不共線，設(shè)則△OAB的面積等于()（2）若等邊△ABC的邊長為平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足【規(guī)范解答】（1）選C.設(shè)a，b的夾角為θ，由條件得（2）以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)條件可知A(0，3)，設(shè)M(x,y)，則

由

得,∴x=0，y=2,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,2).答案：-2【拓展提升】平面幾何問題的向量解法（1）坐標(biāo)法.把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了相關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.(2)基向量法.適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解.【提醒】

用坐標(biāo)法解題時(shí)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵，用基向量解題時(shí)要選擇適當(dāng)?shù)幕?練習(xí)(1)如圖，O，A，B是平面上的三點(diǎn)，向量C為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)P為線段AB的垂直平分線CP上任意一點(diǎn)，向量若=()(A)8(B)6

(C)4

(D)0【解析】選B.由

知|p-b|=|p-a|，∴|p-b|2=|p-a|2，p2-2p·b+b2=p2-2p·a+a2，得2p·a-2p·b=a2-b2=16-4=12，∴p·(a-b)=6.(3)已知△ABC的三邊長AC=3，BC=4，AB=5，P為AB邊上任意一點(diǎn)，則的最大值為______.【解析】方法一：(坐標(biāo)法)以C為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)且0≤y≤3,0≤x≤4,則當(dāng)y=3時(shí)，取得最大值9.方法二：(基向量法)∵cos∠BAC為正且為定值，∴當(dāng)最小即=0時(shí)，取到最大值9.答案：9考點(diǎn)2

向量與三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用例2(1)已知向量a=(m,n)，b=(cosθ,sinθ)，其中m,n,θ∈R.若|a|=4|b|，則當(dāng)a·b＜λ2恒成立時(shí)實(shí)數(shù)λ的取值范圍是()(2)已知A(1,1),B(1,1),C(cosθ,sinθ)(θ∈R)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).①若=，求sin2θ的值；②若實(shí)數(shù)m,n滿足求(m-3)2+n2的最大值.【規(guī)范解答】(1)選B.由已知得|b|=1，所以|a|==4,因此a·b=mcos

θ+nsinθ=sin(θ+φ)=4sin(θ+φ)≤4,由于a·b＜λ2恒成立，故λ2＞4，解得λ＞2或λ＜-2.(2)①∵=(cosθ-1)2+(sinθ-1)2=(sinθ+cosθ)+4,∴(sinθ+cosθ)+4=2,即sinθ+cosθ=兩邊平方得1+sin2θ=，∴sin2θ=②由得(m+n,m-n)=(cosθ,sinθ),∴(m-3)2+n2=m2+n2-6m+9=(sinθ+cosθ)+10=-6sin(θ+)+10,∴當(dāng)sin(θ+)=-1時(shí)，(m-3)2+n2有最大值16.【互動探究】在本例題（2）的第①小題中，若將條件“”改為“”，則如何解答？【解析】由條件知由

得∴tanθ=-1.(2)設(shè)△ABC三個(gè)角A，B，C的對邊分別為a,b,c，向量p=(a,2b),q=(sinA,1),且p∥q.(1)求角B的大??；(2)若△ABC是銳角三角形，m=(cosA,cosB),n=(1,sinA-cosAtanB),求m·n的取值范圍.【解析】(1)∵p=(a,2b),q=(sinA,1),且p∥q,∴a-2bsinA=0,由正弦定理得sinA-2sinBsinA=0.∵0＜A,B,C＜π,得或(2)∵△ABC是銳角三角形，于是由A+C=π-B=及0＜C＜,得結(jié)合得考點(diǎn)3

向量與解析幾何知識的綜合應(yīng)用例3（1）已知兩點(diǎn)M(－3，0)，N(3，0)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)一動點(diǎn)，且則動點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)M(－3，0)的距離d的最小值為()(A)2(B)3

(C)4

(D)6（2）在平行四邊形ABCD中，A(1，1)，=(6,0)，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，線段CM與BD交于點(diǎn)P.①若=(3,5)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡．【規(guī)范解答】（1）選B.因?yàn)镸(-3，0)，N(3，0)，所以由化簡得y2=-12x，所以點(diǎn)M是拋物線y2=-12x的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的最小值就是原點(diǎn)到M(-3，0)的距離，所以dmin=3.（2）①設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，y0)，又即(x0－1，y0－1)＝(9，5)，∴x0＝10，y0＝6，即點(diǎn)C(10,6).②設(shè)P(x,y)，則=(x-7,y-1)，∵∴平行四邊形ABCD為菱形．∴∴(x－7，y－1)·(3x－9，3y－3)＝0，即(x－7)(3x－9)＋(y－1)(3y－3)＝0.∴x2＋y2－10x－2y＋22＝0．即(x-5)2+(y-1)2=4.又當(dāng)y=1時(shí)，點(diǎn)P在AB上，與題意不符,故點(diǎn)P的軌跡是以(5，1)為圓心，2為半徑的圓且去掉與直線y=1的兩個(gè)交點(diǎn)．【拓展提升】向量在解析幾何中的“兩個(gè)”作用（1）載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.(2)工具作用：利用a⊥b?a·b=0,a∥b?a=λb（b≠0）,可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法.練習(xí)(1)已知點(diǎn)A(-1,0)，B(1,0)，動點(diǎn)M的軌跡C滿足∠AMB=2θ，并寫出軌跡C的方程.【解析】設(shè)M(x,y)，在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ，根據(jù)余弦定理得又因此點(diǎn)M的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓(去掉x軸上的兩點(diǎn)),a=2，c=1.所以軌跡C的方程為(2)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（-1，1）,若點(diǎn)M（x，y）為平面區(qū)域上的一個(gè)動點(diǎn)，則的取值范圍是()(A)［-1,0］(B)［0,1］(C)［0,2］(D)［-1,2］【解析】選C.由題意，不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示：由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算易得：令-x+y=z,即y=x+z,易知目標(biāo)函數(shù)y=x+z過點(diǎn)B（1，1）時(shí)，zmin=0,目標(biāo)函數(shù)y=x+z過點(diǎn)C(0,2)時(shí)，zmax=2,故

的取值范圍是［0,2］.練習(xí):已知向量m=(2x-2,2-y)，n=(y+2,x+1),且m∥n,=(x,y)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)是否存在過點(diǎn)F(1，0)的直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，并且曲線C上存在點(diǎn)P，使四邊形OAPB為平行四邊形？若存在，求出平行四邊形OAPB的面積；若不存在，說明理由.【解析】(1)∵m=(2x-2,2-y),n=(y+2,x+1),且m∥n,∴(2x-2)(x+1)-(2-y)(y+2)=0,整理，得(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),由題意知l的斜率一定不為0，故不妨設(shè)l:x=my+1.代入橢圓的方程中整理得(2m2+3)y2+4my-4=0，顯然Δ>0.由根與系數(shù)的關(guān)系有:假設(shè)存在點(diǎn)P，使四邊形OAPB為平行四邊形，其充要條件為即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1+x2,y1+y2),∵點(diǎn)P在橢圓上，即整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6,又A，B在橢圓上，即2