Chapter1 Static Games of Complete Information(博弈論-浙江大學(xué))

Chapter1完全信息靜態(tài)博弈StaticGamesofCompleteInformationInthischapterweconsidergamesofthefollowingsimpleform:first,theplayerssimultaneouslychooseactions;then,theplayersreceivepayoffsthatdependonthecombinationofactionsjustchosen.Withintheclassofsuchstatic(orsimultaneous-move)games,werestrictattentiontogamesofcompleteinformation.That

iseachplayer’spayofffunction(thefunctionthatdeterminestheplayerspayofffromthecombinationofactionschosenbytheplayers)iscommonknowledgeamongalltheplayers.教材P21一、Normal-FormRepresentationofGamesandNashEquilibrium(一)Normal-FormRepresentationofGamesInthenormal-formrepresentationofagame,eachplayersimultaneouslychoosesastrategy,andthecombinationofstrategieschosenbytheplayersdeterminesapayoffforeachplayer.Weillustratethenormal-formrepresentationwithaclassicalexample—Theprisoners’Dilemma.＊Twosuspectsarearrestedandchargedwithacrime.Thepolicelacksufficientevidencetoconvictthesuspects,unlessatleastoneconfesses.Thepoliceholdthesuspectsinseparatecellsandexplaintheconsequencesthatwillfollowfromtheactionstheycouldtake.Ifneitherconfessesthenbothwillbeconvictedofaminoroffenseandsentencedtooneyearinjail.Ifbothconfessthenbothwillbesentencedtojailfiveyears.Finally,ifoneconfessesbuttheotherdoesnot,thentheconfessorwillbereleasedimmediatelybuttheotherwillbesentencedtoeightyearsinjail—fiveforthecrimeandafurtherthreeforobstructingjustice(干擾司法)。囚徒２招認(rèn)沉默招認(rèn)–5,-50,-8囚徒１沉默-8,0-1,-1

囚徒的困境Wenowturntothegeneralcase.Thenormal-formrepresentationofagamespecifies:(1)theplayersinthegame;(2)thestrategiesavailabletoeachplayer;(3)thepayoffreceivedbyeachplayerforeachcombinationofstrategiesthatcouldbechosenbytheplayers.

Definition:Thenormal-formrepresentationofan-n-playergamespecifiestheplayers’strategyspacesS1,…,Snandtheirpayofffunctionsu1,…,un.WedenotethisgamebyG={S1,…,Sn;u1,…,un}.教材Ｐ22＊理解完全信息靜態(tài)博弈時(shí)要注意事項(xiàng)１Althoughwestatedthatinanormal-formgametheplayerschoosetheirstrategiessimultaneously,thisdoesnotimplythatthepartiesnecessarilyactsimultaneously:itsufficesthateachchoosehisorheractionwithoutknowledgeoftheothers’choices,aswouldbethecase“theprisoners’dilemma”iftheprisonersreacheddecisionsatarbitrarytimes(在任意時(shí)間)whileintheirseparatecells.2Herewemayrecognize‘completeinformation’asthateachplayerknowthepayofffunctionsoftheothers.(二)Dominant-StrategyEquilibriumDefinitionInthenormal-formgameG={S1,…,Sn;u1,…,un},letsi'andsi"

befeasiblestrategiesforplayeri(i.e.,si'andsi"aremembersofSi

).Strategysi'isstrictlydominatedbystrategysi"ifforeachfeasiblecombinationoftheothers’strategies,i’spayofffromplayingsi'isstrictlylessthani’spayofffromplayingsi".i.e.:ui(s1,…,si-1,si*,si+1,…,sn)

<ui(s1,…,si-1,si**,si+1,…,sn)

(DS)foreachs-i=(s1,…,si-1,si+1,…,sn)thatcanbeconstructedfromtheotherplayers’strategySpacesS1,…,Si-1,Si+1,…,Sn.WATSONP551囚徒２招認(rèn)沉默招認(rèn)–5,-50,-8囚徒１沉默-8,0-1,-1

囚徒的困境策略“沉默”嚴(yán)格劣于策略“招認(rèn)”博弈分析的目的：預(yù)測(cè)博弈的均衡結(jié)果，即給定“每個(gè)參與人都是理性的”是共同知識(shí)，什么是每個(gè)參與人的最優(yōu)策略？什么是所有參與人的最優(yōu)策略組合？*肯定性（sure-thing）或替代性（substitution）公理：一個(gè)決策者在事件Ａ發(fā)生的偏好選項(xiàng)１勝于選項(xiàng)２，并且在事件Ａ不發(fā)生時(shí)也偏好選項(xiàng)１勝于選項(xiàng)２，那么就有，他在知道事件Ａ無論是發(fā)生還是不發(fā)生之前都應(yīng)該偏好選項(xiàng)１勝于選項(xiàng)２?！袄硇缘膮⑴c人不會(huì)選擇嚴(yán)格劣策略”俗語：已不變應(yīng)萬變“重復(fù)剔除嚴(yán)格劣策略（iteratedeliminationofstrictlydominatedstrategies）”的思路：首先，找出某個(gè)參與人的嚴(yán)格劣策略，并把它從他的策略空間中剔除，重新構(gòu)造一個(gè)已不包含該嚴(yán)格劣策略的博弈；其次，剔除新博弈中某個(gè)參與人的嚴(yán)格劣策略；重復(fù)上述過程，直到只剩下唯一的策略組合。——我們認(rèn)為這個(gè)唯一所剩的策略組合是穩(wěn)定的。Ｐ２４DefinitionInanormal-formgame,ifforeachplayeri,si"isi’sdominantstrategy,thanwecallthestrategiesprofile(s1″,…,sn"

)the‘dominant-strategyequilibrium’.參與人２左中右上1，01，20，1參與人１下0，30，12，0策略組合（上，中）是均衡結(jié)局，將實(shí)現(xiàn)支付（1，2）。第一第二第三

參與人２左中右上０,４4,05,3參與人１中4,00,45,3下3,53,56,6每個(gè)參與人都不存在嚴(yán)格劣策略（三）納什均衡

DefinitionInthen-playernormal-formgameG={S1,…,Sn;u1,…,un},thestrategies(s1*…,sn*)areaNashequilibriumif,foreachplayeri,si*is(atleasttiedfor（至少不劣于）)playeri’sbestresponsetothestrategiesspecifiedforthen-1otherplayers,(s1*…,sn-1*,sn+1*,…,sn*):

ui(s1*…,sn-1*,si*,

sn+1*,…,sn*)

≥ui(s1*…,sn-1*,si

,

sn+1*,…,sn*)……….(NE)

foreveryfeasiblestrategysiinSi;Thatis,si*solves

maxui(s1*…,sn-1*,si,

sn+1*,…,sn*).

si∈Si

上述均衡概念是1951年由數(shù)學(xué)家約翰·納什（JohnNash）首先解釋清楚的，所以將他所解釋的均衡稱為納什均衡。*對(duì)納什均衡的理解：

1Ifgametheoryistoprovideauniquesolutiontoagame-theoreticproblemthenthesolutionmustbeaNashequilibrium,inthefollowingsense.Supposethatgametheorymakesauniquepredictionaboutthestrategyeachplayerwillchoose.Inorderforthispredictiontobecorrect,itisnecessarythateachplayerbewillingtochoosethestrategypredictedbythetheory.Thuseachplayer’spredictedstrategymustbethatplayer’sbestresponsetothestrategiesoftheotherplayers.Suchapredictioncouldbecalled

strategicallystableorself-enforcing,becausenosingleplayerwantstodeviatefromhisorher

Predictedstrategy.WewillcallsuchapredictionaNashequilibrium.-----------------------------RobertGibbonsP82是這樣的一種穩(wěn)定的策略組合：當(dāng)所有參與人的選擇公開以后，每個(gè)人都滿意自己作出了正確的選擇；沒有人能得到更好的結(jié)果了。在博弈論中這種結(jié)果被稱為NE。3為了理解納什均衡的哲學(xué)含義，讓我們?cè)O(shè)想n個(gè)參與人在博弈之前協(xié)商達(dá)成一個(gè)協(xié)議，規(guī)定每一個(gè)參與人選擇一個(gè)特定的策略。我們要問的一個(gè)問題是，給定其他參與人都遵守這個(gè)協(xié)議，在沒有外在強(qiáng)制的情況下，是否有任何人有積極性不遵守這個(gè)協(xié)議？顯然，只有當(dāng)遵守協(xié)議帶來的效用大于不遵守協(xié)議時(shí)的效用，一個(gè)人才會(huì)遵守這個(gè)協(xié)議。如果沒有任何參與人有積極性不遵守這個(gè)協(xié)議，我們說這個(gè)協(xié)議是可以自動(dòng)實(shí)施的（self-enforcing），這個(gè)協(xié)議就構(gòu)成一個(gè)納什均衡；否則，它就不是一個(gè)納什均衡。（張維迎，P68）4納什均衡是一種策略組合，使得每個(gè)參與人的策略是對(duì)其他參與人策略的最優(yōu)放應(yīng)。納什均衡是博弈將會(huì)如何進(jìn)行的“一致”（consistent）預(yù)測(cè)，這意指，如果所有參與人預(yù)測(cè)特定納什均衡會(huì)出現(xiàn)，那么沒有參與人有動(dòng)力采用與均衡不同的行動(dòng)。因此納什均衡（也只有納什均衡）能具有性質(zhì)使得參與人能預(yù)測(cè)到它，預(yù)測(cè)到他們的對(duì)手也會(huì)預(yù)測(cè)到它，如此繼續(xù)。與之相反，任何固定的非納什均衡如果出現(xiàn)就意味著至少有一個(gè)參與人“犯了錯(cuò)”，或者是對(duì)對(duì)手行動(dòng)的預(yù)測(cè)上犯了錯(cuò)，或者是（給定那種預(yù)測(cè)）在最大化自己的收益時(shí)犯了錯(cuò)。(JeanTirole)P10納什均衡通過了一致預(yù)測(cè)檢驗(yàn)并不就使得它們是好的預(yù)測(cè)，在一些博弈格局中如果認(rèn)為可以獲得精確預(yù)測(cè)那會(huì)過于輕率，由此我們想提請(qǐng)注意一個(gè)事實(shí)，博弈的最可能結(jié)果實(shí)際上取決于比標(biāo)準(zhǔn)式所提供的更多的信息。例如，可能希望知道參與人對(duì)于此類博弈具有多少經(jīng)驗(yàn)，他們是否來自同一種文化因此而分縣分享關(guān)于博弈將會(huì)如何進(jìn)行的特定期望，以及如此等等。(JeanTirole)P10-11Abrute-forceapproach(一個(gè)最直接的方法)tofindingagame’sNashequilibriumissimplytocheckwhethereachpossiblecombinationofstrategiessatisfiescondition(NE)inthedefinition.Inatwo-playergame,thisapproachbeginsasfollows:foreachplayer,andforeachfeasiblestrategyforthatplayer,determinetheotherplayer’sbestresponsetoeachofthatstrategy.……劃線法……畫箭頭法參與人２左中右上０,４4,05,3參與人１中4,00,45,3下3,53,56,6每個(gè)參與人都不存在嚴(yán)格劣策略（下，右）是NE，將實(shí)現(xiàn)支付（6，6）囚徒２招認(rèn)沉默招認(rèn)–5,-50,-8囚徒１沉默-8,0-1,-1囚徒的困境（沉默，沉默）帕累托優(yōu)于（招認(rèn)，招認(rèn)）有一頭大豬和一頭小豬住在同一個(gè)豬圈里，豬圈的一側(cè)放者豬食槽，另一側(cè)安裝著一個(gè)控制食物供應(yīng)的按鈕。按一次按鈕，有8個(gè)單位的食物進(jìn)槽，但需承擔(dān)2個(gè)單位的成本。偌大豬小豬同時(shí)到達(dá)豬食槽，大豬吃到5個(gè)單位的食物，小豬吃到3個(gè)單位的食物；若大豬先到，大豬吃7個(gè)單位的食物，小豬只能吃到1個(gè)單位；若小豬先到，小豬吃到4個(gè)單位食物，大豬也吃到4個(gè)單位食物。練習(xí)：智豬博弈（boxedpigsgame）小豬去按等待去按3，12，4大豬等待7，-10，0大豬的收益外部化，小豬不勞而獲，免費(fèi)搭了大豬的便車。請(qǐng)列舉“搭便車”的現(xiàn)象沖開水、搞衛(wèi)生；股市上莊家與散戶20世紀(jì)70年代末80年代初，美國(guó)市場(chǎng)上私人標(biāo)簽（privatelabel）的軟飲料價(jià)格便宜、質(zhì)量較差，因此占有較低的市場(chǎng)份額?？煽诳蓸饭竞桶偈驴蓸饭咀畛跄苋萑踢@些私人標(biāo)簽飲料的存在，因?yàn)樗鼈兪切∝i，威脅有限。可是沒過多久，一家主要的私人標(biāo)簽飲料供應(yīng)商Cott公司通過挑釁性的定價(jià)和較高的質(zhì)量，從擁有較低市場(chǎng)份額的地區(qū)品牌，成長(zhǎng)為一個(gè)擁有三分之一市場(chǎng)份額的、旗鼓相當(dāng)?shù)母?jìng)爭(zhēng)者。此時(shí)，可口可樂公司和百事可樂公司通過降低價(jià)格這種進(jìn)攻性的行動(dòng)，使私人標(biāo)簽軟飲料的市場(chǎng)份額立即瓦解了。小雞博弈（thegameofchicken）設(shè)想湯姆和吉米是兩個(gè)頑皮的小孩，他們?cè)谛』锇榈墓膭?dòng)下要進(jìn)行一場(chǎng)關(guān)于勇氣的比賽：兩人分別從一條獨(dú)木橋的兩端沖向?qū)Ψ?，誰退卻誰就是“小雞”。顯然，如果兩個(gè)人都向前沖，則兩敗俱傷，設(shè)支付水平為-2；如果一個(gè)勇進(jìn)而另一個(gè)退卻，則勇進(jìn)者受到小伙伴的歡呼，退卻者受到嘲諷，設(shè)支付分別為4和-1；若兩人同時(shí)退卻，則一起受到小伙伴的嘲笑，設(shè)支付為0，因?yàn)閮扇艘黄鹗艿匠靶Ρ绕鹨蝗藛为?dú)受到嘲笑要好受些。箭頭法吉米退卻勇進(jìn)退卻湯姆勇進(jìn)0，0-1，44，-1-2，-2有兩個(gè)均衡。實(shí)際會(huì)怎樣？（四）IteratedEliminationofstrictlyDominatedstrategiesandNashEquilibriumPropositionAInan-playernormal-formgameG={S1,…,Sn;u1,…,un},ifiteratedeliminationofstrictlydominatedstrategieseliminatedallbutthestrategies(s1*…,sn*),thanthesestrategiesaretheuniqueNashequilibriumofthegame.PropositionBInan-playernormal-formgameG={S1,…,Sn;u1,…,un},ifthestrategies(s1*…,sn*)areaNashequilibrium,thentheysurviveiteratedeliminationofstrictlydominatedstrategies.二、無限策略博弈的解和反應(yīng)函數(shù)法Inthissectionweusethemodeltoillustrate:(a)thetranslationofaninformalstatementofaproblemintoanormal-formrepresentationofagame;(b)thecomputationsinvolvedinsolvingforthegame’sNashequilibrium.

按競(jìng)爭(zhēng)程度劃分的市場(chǎng)類型（就賣方來說；對(duì)于買方而言，市場(chǎng)是競(jìng)爭(zhēng)的，且每一單個(gè)買者對(duì)市場(chǎng)價(jià)格影響程度較小）：A完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)B寡頭競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)C獨(dú)家壟斷市場(chǎng)卡特爾市場(chǎng)類型不同，廠商之間行為特怔不同，A與C類型中，廠商的決策都是個(gè)體優(yōu)化決策，而B類型中寡頭壟斷競(jìng)爭(zhēng)的本質(zhì)就構(gòu)成博弈，他們都是理性的決策者，他們的行為既影響（一）CournotModelofDuopoly

自身，又影響對(duì)方。盡管兩寡頭由于壟斷能給他們帶來一些共同的利益，但是他們的根本利益并不是完全一致的。如果兩寡頭之間可以簽定有約束力的協(xié)議，彼此之間達(dá)成合作，形成完全壟斷，此時(shí)的博弈是一種合作博弈。然而在大多數(shù)情況下，彼此之間很難達(dá)成有約束力的協(xié)議，這樣就是非合作博弈。最早研究?jī)晒杨^壟斷競(jìng)爭(zhēng)，并作出巨大貢獻(xiàn)的當(dāng)推法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家Cournot（《財(cái)富理論的數(shù)學(xué)原理研究》，1838），他對(duì)寡頭市場(chǎng)的極端形式——兩寡頭壟斷市場(chǎng)作了分析，研究了在靜態(tài)條件下，完全相同產(chǎn)品市場(chǎng)中兩家廠商的競(jìng)爭(zhēng)行為、反應(yīng)函數(shù)和均衡結(jié)果，得出結(jié)論：……1、players：廠商1和廠商2向市場(chǎng)提供無差異的同質(zhì)的產(chǎn)品；面臨的決策是qi=？qiQ

pui，博弈●標(biāo)準(zhǔn)式表述P34p是市場(chǎng)出清價(jià)格，是市場(chǎng)供應(yīng)量Q的減函數(shù)：p=p(Q)=a-Q=a-(qi+qj)2、策略：產(chǎn)出水平qi，策略集Si={qi：qi≥0}3、支付函數(shù)：ui(si,sj)=ui(qi,qj)=qip–cqi假定兩廠商均無固定成本，只有常數(shù)邊際成本c。=qi[a-(qi+qj)]–cqi=-qi2+(a-c-qj)qi●無限策略博弈NE的求解按NE定義的條件，如果策略組合（qi*，qj*）是NE，那么對(duì)于qj*，qi*是下列優(yōu)化問題的解：Maxui(qi，qj*)qi∈Si=Max[-qi2+(a-c-qj*)qi]

qi∈Siduidqi-2qi+(a-c-qj*)

令：-2qi+(a-c-qj*)=0得：qi*=(a-c-qj*)/2于是有方程組：q1*=(a-c-q2*)/2q2*=(a-c-q1*)/2q1*=q2*=(a-c)/3此時(shí)，u1*=u2*=（a-c)2/9考慮關(guān)系式：qi*=(a-c-qj*)/2無論qj是否最優(yōu)，由qi=(a-c-qj)/2決定的qi總是廠商i針對(duì)廠商j產(chǎn)出水平的最優(yōu)反應(yīng)；我們稱關(guān)系式qi=(a-c-qj)/2為廠商i針對(duì)廠商j的策略的反應(yīng)函數(shù)，并記為：qi*=Ri(qj)=(a-c-qj)/2.由此NE（qi*，qj*）必須是方程組：q1=(a-c-q2)/2q2=(a-c-q1)/2的解。-------------------------反應(yīng)函數(shù)法對(duì)于無限策略博弈，其NE的求解主要是通過反應(yīng)函數(shù)，而反應(yīng)函數(shù)則由各個(gè)參與人的支付函數(shù)優(yōu)化求得，即：Ri(s-i)來自于Maxui(s1…,sn-1,si

,

sn+1,…,sn)si∈Si下面用圖解來說明該模型的NE是：（（a-c）/3，（a-c）/3）q1q2a-c(a-c)2(a-c)/2a-cR2(q1)=(a-c-q1)/2R1(q2)=(a-c-q2)/2(a-c)3(a-c)/3NE0如果兩個(gè)寡頭能聯(lián)合起來從共同利益角度進(jìn)行決策，那他們將會(huì)怎樣？卡特爾古諾模型中，q1*=q2*=(a-c)/3，u1*=u2*=（a-c)2/9；生產(chǎn)壟斷產(chǎn)量的一半，q1m=q2m=qm/2=（a-c)/4＜(a-c)/3=q1*=q2*，而u1m=u2m=（a-c)2/8＞（a-c)2/9=u1*=u2*。思考：假定每個(gè)廠商要么生產(chǎn)壟斷產(chǎn)出的一半，要么生產(chǎn)古諾產(chǎn)量，任何其它產(chǎn)出都不允許，那么他們會(huì)作怎樣的決策？Cournot通過模型研究得出：兩寡頭市場(chǎng)產(chǎn)量比壟斷市場(chǎng)高、價(jià)格比壟斷市場(chǎng)價(jià)格低、利潤(rùn)比壟斷市場(chǎng)低。這是典型的囚徒困境問題，導(dǎo)致個(gè)人理性和集體理性的沖突。類似的寡頭壟斷在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，在某些地區(qū)、某段時(shí)期、對(duì)于某種商品來說并不鮮，見，如電力業(yè)、電信業(yè)等。桔農(nóng)棄桔美國(guó)1933年5月頒布的《農(nóng)業(yè)調(diào)整法》是羅斯福上臺(tái)后實(shí)施“新政”所頒布的一系列法令之一。旨在控制農(nóng)業(yè)生產(chǎn)規(guī)模，減少農(nóng)產(chǎn)品供給，以提高農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格。具體措施是，政府與農(nóng)民簽訂限產(chǎn)合同，對(duì)自愿限產(chǎn)的農(nóng)民實(shí)行直接津貼補(bǔ)助。（二）BertrandModelofDuopolyP39*兩廠商決策的相互影響在于需求函數(shù)Di(pi,pj)=a-pi+bpj兩廠商的產(chǎn)品具有一定的差異性；b是廠商i的產(chǎn)品對(duì)廠商j的產(chǎn)品的替代系數(shù)?！駱?biāo)準(zhǔn)式表述1、參與人：廠商1與廠商2；他們生產(chǎn)同類但存在一定差異的產(chǎn)品。2、他們選擇價(jià)格，Si={pi：pi≥0}；3、他們的支付函數(shù)就是他們的利潤(rùn)函數(shù)：ui=ui(pi,pj)=Di(pi,pj)pi-Di(pi,pj)c=(a-pi+bpj)(pi-c)

假定兩廠商均無固定成本，只有常數(shù)邊際成本c。廠商i的反應(yīng)函數(shù)：Ri(pj)=a+c+bpj2將是：P1*=p2*=c2P1=a+c+bp22P2=a+c+bp1P1*=p2*=(a+c)/(2-b)b﹤2思考：在Bertrand的模型中，如果兩廠商的產(chǎn)品是同質(zhì)的，那么NE會(huì)是什么？Bertrandparadox（三）豪泰林(Hotelling,1929)的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)模型P41在該模型中，產(chǎn)品在物質(zhì)形態(tài)上無差異，但在空間上處于不同的位置。●標(biāo)準(zhǔn)式表述1、參與人：商店1與商店2。他們分別位于一線性城市的兩端，出售同質(zhì)的商品；2、他們要決定的是各自商品的售價(jià)pi，Si={pi：pi≥0}；令該線性城市的長(zhǎng)度為1，消費(fèi)者均勻地分布3、他們的支付函數(shù)就是利潤(rùn)函數(shù)：u1=D1p1-D1cu2=D2p2-D2c注：設(shè)兩家商店商品的單位成本相同為c。設(shè)消費(fèi)者購(gòu)買商品的旅行成本為t，并且每個(gè)消費(fèi)者都具有單位需求，即每個(gè)消費(fèi)者只要認(rèn)為價(jià)格“足夠低”就會(huì)（也僅僅）購(gòu)買一個(gè)單位的商品，這意味著如果商店i的價(jià)格“不太高”，對(duì)商店i的需求等于發(fā)現(xiàn)從商店i購(gòu)買更為便宜的顧客的數(shù)量。在[0，1]的區(qū)間里，分布密度為1；商店1位于0處，商店2位于1處。x為[0，1]上的任意一點(diǎn)。01商店1商店2x住在x的消費(fèi)者到商店1購(gòu)買的旅行成本是tx，到商店2購(gòu)買的成本是t(1-x)；如果住在x的消費(fèi)者在兩個(gè)商店之間購(gòu)買的成本是無差異的，那么所有住在x左邊的消費(fèi)者在商店1購(gòu)買，所有住在x右邊的消費(fèi)者在商店2購(gòu)買，即有：D1=x，D2=1-x。這里x滿足：P1+tx=P2+t(1-x)x=(P2-P1+t)/2t所以有需求函數(shù)：

D1=x=(P2-P1+t)/2t；D2=1-x=(P1-P2+t)/2tu1=D1p1-D1c=(p1-c)[((P2-P1+t)/2t]u2=D2p2-D2c=(p2-c)[((P1-P2+t)/2t]反應(yīng)函數(shù)：R1(p2)=(c+t+p2)R2(p1)=(c+t+p1)解兩個(gè)反應(yīng)函數(shù)組成的方程組，得：p1*=p2*=c+tu1*=u2*=t/2商店的利潤(rùn)與消費(fèi)者的旅行成本成正比。P42思考：“冰激凌問題”夏季某海濱浴場(chǎng)有兩個(gè)冰激凌銷售商，冰激凌是由同一個(gè)工廠供應(yīng)（產(chǎn)品無差異），價(jià)格由廠家統(tǒng)一確定。那么消費(fèi)者會(huì)就近購(gòu)買。問：兩個(gè)銷售商將選址何處？對(duì)于Hotelling的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)模型，可以一般地討論兩家商店位于[0，1]區(qū)間內(nèi)任意位置時(shí)的情形：01ab商店1商店2x若住在x處的消費(fèi)者到商店1與商店2無差異，那么有D1=x，D2=1-x；x滿足：P1+t(x-a)2=P2+t(1-x-b)2設(shè)旅行成本為td2，d為消費(fèi)者到商店的距離。x=a+(1-a-b)/2+(P2-P1)/2t(1-a-b)所以有需求函數(shù)：D1=x=a+（1-a-b）/2+(P2-P1)/2t(1-a-b)D2=1-x=b+（1-a-b）/2+(P1-P2)/2t(1-a-b)進(jìn)一步可解得NE為：P1*(a，b)=c+t(1-a-b)(3+a-b)/3P2*(a，b)=c+t(1-a-b)(3+b-a)/3當(dāng)a=0、b=0，即商店1位于0、商店2位于1，P1*(0,1)=P2*(0,1)=c+t;當(dāng)a=1-b，即商店1與商店2同時(shí)位于線性城市的正中央，P1*(a,1-a)=P2*(a，1-a)=c。（四）TragedyoftheCommonsP44（Harding，1968）●標(biāo)準(zhǔn)式表述1、參與人：一個(gè)村莊里的n家農(nóng)戶，他們可以自由地在一片公共草地上放牧羊群。公共資源publicresourcesandgoods:Theresourcesandgoodswhichanyonehasownershipofthemandanyonecanusethemfreely.gi農(nóng)戶i的放牧羊的數(shù)量，∑gi=G。2、策略：每個(gè)農(nóng)戶決定gi=？以最大化自己的收益，Si={gi：gi≥0}。令V為每一只羊的產(chǎn)出。一個(gè)合理的假設(shè)是V是G的減函數(shù)（而不僅僅是gi的增函數(shù)），記為V=V(G)。由于每只羊的生存需要一定量的青草，草地能供養(yǎng)的羊的數(shù)量有一個(gè)上限Gmax：當(dāng)G﹤Gmax時(shí)，V(G)﹥0，當(dāng)G≥Gmax時(shí)，V(G)=0；并且在G﹤Gmax時(shí)，V(G)隨G的增大下降速度加快，見下圖：0V(G)GmaxV'(G)<0V"(G)<0G3、支付函數(shù)：ui=[V(G)-c]gi假設(shè)每只羊的購(gòu)買與飼養(yǎng)成本相同為常數(shù)c令n=3，c=4，V(G)=100-(g1+g2+g3)。那么有：ui=[100--(g1+g2+g3)4]gi反應(yīng)函數(shù)：R1(g2,g3)=(96-g2-g3)/2R2(g1,g3)=(96-g1-g3)/2R3(g1,g2)=(96-g1-g2)/2g1*=g2*=g3*=24,此時(shí)u1*=u2*=u3*=576。如果村里對(duì)這片草地進(jìn)行管理，即制定一條村規(guī)，限制農(nóng)戶養(yǎng)羊的數(shù)量，情況將怎樣？村干部要做的優(yōu)化決策是：MaxU=Max[（100-G）-4]GGGdUdG=100-G-4-G令100-G-4-G=0Gm=48Um=2304村規(guī)：gim=16﹤gi*=24uim=768﹥ui*=576三、混合策略納什均衡（一）混合策略的提出猜硬幣方正面反面正面-1，11，-1蓋硬幣方反面1，-1-1，1MatchingPennies不存在純策略意義上的NE。那么，他們的合理選擇是什么？ThedistinguishingfeatureofMatchingPenniesisthateachplayerwouldliketooutguesstheother.Inanygameinwhicheachplayerwouldliketooutguesstheother(s),thereisnoNashequilibrium(atleastasthisequilibriumconceptwasdefinedinSection1.3)becausethesolutiontosuchagamenecessarilyinvolvesuncertaintyaboutwhattheplayerswilldo.就一次游戲而言，猜測(cè)對(duì)方的策略，保密自己的策略。在多次反復(fù)游戲中，避免任何的傾向性和規(guī)律性。怎樣才能讓對(duì)方徹底猜不透？連自己也不知道自即將會(huì)采用哪個(gè)策略；把對(duì)方搞糊涂。隨機(jī)地選擇策略，即采用混合策略對(duì)純策略空間來說，可延伸的混合策略很多，如本例中雙方的純策略空間都是{正面，反面}，混合策略可以是（5%，95%），（3%，97%），（20%，80%），（50%，50%），……選擇哪個(gè)混合策略？即p(正面，反面)=？先看蓋硬幣方的決策：令p蓋方（正面，反面）=（r，1-r）。這時(shí)，猜硬幣方若猜正面，則支付為（期望值）：V(正)=1×r+（-1）×（1-r）=2r-1若猜反面，則支付為：V(反)=（-1）×r+1×（1-r）=-2r+1如果r﹥1/2或r﹤1/2，則有V(正)﹥0﹥V(反)或V(正)﹤0﹤V(反)，那么，猜方只要猜正面或猜反面就贏定了，相應(yīng)地蓋方就輸定了。所以只有使r*=1/2，蓋方才能不輸。令V(正)=V(反)使猜方猜正面與猜反面無區(qū)別。再看猜方的決策：令p(正面，反面)=(q，1-q)，這時(shí)蓋方的：V(正)=（-1）×q+1×（1-q）=-2q+1V(反)=1×q+（-1）×（1-q）=2q-1同理令：V(正)=V(反)，即-2q+1=2q-1得：q*=1/2NE：p蓋*(正面，反面)=（1/2，1/2）p猜*(正面，反面)=（1/2，1/2）要求：請(qǐng)驗(yàn)證是否有人愿意偏離這個(gè)概率分布。把這個(gè)包含概率分布（不確定性）的NE稱為混合策略NE?；旌喜呗远xP50DefinitionInthenormal-formgameG={S1,…,Sn;u1,…,un},supposeSi={si1,…,siK}.Thenamixedstrategyforplayeriisaprobabilitydistributionpi=(pi1,…,piK),where0≤pik≤1fork=1,…,Kand(pi1+…+piK=1.為了能簡(jiǎn)單地說明混合策略NE的精神，考慮標(biāo)準(zhǔn)式博弈G={S1,S2;u1,u2}。令S1={si1,…,siJ}，S2={si1,…,siK}，在純策略情況下，ui=ui(s1j,

s2k),一個(gè)確定的數(shù)值。但在采用混合策略的情況下，參與人只能把注意力集中于期望效用：ui=Vi(s1j,

s2k)。令p1=（p11，…，p1J）為參與人1的概率分布，p2=（p21，…，p2K）為參與人2的概率分布。參與人1推測(cè)到參與人2將以p2在{s21，…，s2K}上選擇，那么自己選擇純策略s1j的期望支付是V1(s1j)=∑p2kui(s1j,

s2k)k=1K并且，參與人1選擇混合策略p1的期望支付是：

V1(p1，p2)=∑p1j[∑p2ku1(s1j,

s2k)]k=1Kj=1J同理：V2(p1，p2)=∑p2k[∑p1ju2(s1j,

s2k)]j=1Jk=1K在兩人博弈里，混合策略NE是指兩個(gè)參與人的最優(yōu)混合策略組合。所謂最優(yōu)混合策略是指使參與人的期望支付最大化的混合策略。換言之，一對(duì)混合策略（p1*，p2*）要成為NE，p1*與p2*必須同時(shí)分別滿足：V(p1*，p2*)≥V(p1，p2*)與V(p1*，p2*)≥V(p1*，p2)混合策略NE定義DefinitionInthen-playernormal-formgameG={S1,…,Sn;u1,…,un},themixedstrategies(p1*，…,pn*)areaNashequilibriumifeachplayer’smixedstrategyisabestresponsetotheotherplayer’smixedstrategies:

V(pi*，p-i*)≥V(pi，p-i*)musthold.（二）混合策略NE的求解●支付等值法112113這種通過使對(duì)方選擇各個(gè)純策略的期望支付值相等來確定自己的策略空間上的最優(yōu)概率分布的方法被稱為“支付等值法”。●支付最大化法以猜硬幣游戲?yàn)槔?。令蓋硬幣方以r的概率選正面，以1-r的概率選反面，即P蓋=(r,1-r)；猜硬幣方以q的概率猜正面，以1-q的概率猜反面，即P猜=(q,1-q)，有：V蓋(p蓋，p猜)=r[(-1)×q+1×(1-q)]+(1-r)[1×q+(-1)×(1-q)]=-4qr+2q+2r-1

V猜(p蓋，p猜)=q[1×r+(-1)×(1-r)]+(1-q)[(-1)×r+1×(1-r)]=4qr-2q-2r+1解：MaxV蓋(p蓋，p猜)r得：q*=1/2MaxV猜(p蓋，p猜)q得：r*=1/2混合策略NE是蓋方在策略空間{正面，反面}上以概率分布P蓋*，=（1/2，1/2）進(jìn)行選擇，猜方也在策略空間{正面，反面上以概率p猜*=（1/2，1/2）進(jìn)行選擇。對(duì)混合策略的辯護(hù)：*混合策略表示使用不同純策略的大量參與人。*Harsanyi：混合可以解釋為參與人收益上微小的不可觀測(cè)變動(dòng)的結(jié)果。*博弈多次反復(fù)進(jìn)行時(shí)參與人實(shí)施某一純策略的不確定次數(shù)和時(shí)間。*P52一個(gè)參與人實(shí)施混合策略的目的是給其他參與人造成不確定性，盡管其他參與人能推測(cè)到他選擇某個(gè)純策略的概率有多大，但卻不知道他到底會(huì)選哪個(gè)純策略。為了進(jìn)一步理解混合策略的實(shí)際意義，下面分析“監(jiān)察博弈”（JeanTiroleandSelten）監(jiān)察博弈“監(jiān)察博弈”是“MatchingPennies”的一種流行變種，它可以應(yīng)用于武器控制、犯罪預(yù)防和工人激勵(lì)。下圖是這一博弈的簡(jiǎn)單版本。一個(gè)工人為一個(gè)老板工作（參與人）；工人可以偷懶或工作、老板可以監(jiān)察或不監(jiān)察（策略集）；工人工作能為老板產(chǎn)生價(jià)值為v的產(chǎn)出，但會(huì)使自己花費(fèi)成本g。老板監(jiān)察要花費(fèi)成本h，但可以提供工人是否偷懶的證據(jù)。工人得到工資w（假設(shè)老板不允許根據(jù)觀測(cè)產(chǎn)出水平來?xiàng)l件化工資），如果工人被抓住在偷懶，則他得到0（由于有限責(zé)任的原因）。兩認(rèn)同時(shí)選擇他們的策略（特別地，老板在決定是否監(jiān)察工人時(shí)不知道工人是否會(huì)選擇偷懶）。為了限制要考察的情形數(shù)量，假設(shè)g＞h＞0；為了使分析更有趣，還假設(shè)w＞g（否則工作對(duì)于工人來說會(huì)是一個(gè)嚴(yán)格劣策略）。監(jiān)察不監(jiān)察偷懶0，-hw，-w不偷懶w-g，v-w-hw-g，v-wP*（偷懶）=h/w，P*（監(jiān)察）=g/w武器核查、工商打假、不定期抽查等等戀人之爭(zhēng)battleofthesexes一對(duì)戀人，小娟和大海，在不同的地方上班，兩人都很珍惜周末能夠在一起的時(shí)間。某周末，小娟花高價(jià)購(gòu)得兩張芭蕾舞門票，大海也好不容易搞到兩張足球賽門票。小娟從小酷愛芭蕾，大海是個(gè)十足的足球迷，怎么辦？顯然如果各自分開過周末，那才是雙方最不樂意的事。大海芭蕾足球芭蕾小娟足球2，11，20，00，0Battleofthesexes存在兩個(gè)純策略NE：（芭蕾，芭蕾）和（足球，足球）。無法形成一致的預(yù)期，結(jié)果不確定。＊Schelling（1960）認(rèn)為，在現(xiàn)實(shí)生活中，參與人可能使用某些被博弈模型抽象掉的信息來達(dá)到一個(gè)“聚點(diǎn)”（focalpoint）均衡。這些信息可能與社會(huì)文化習(xí)慣、參與人過去博弈的歷史等有關(guān)。＊促成ＮＥ出現(xiàn)的另一種方法是參與人在博弈開始之前進(jìn)行不花什么成本的“廉價(jià)磋商”（cheaptalk）.＊Aumann(1974)證明，如果參與人可以根據(jù)某個(gè)共同觀測(cè)到的信號(hào)進(jìn)行博弈，就可能出現(xiàn)“相關(guān)均衡”(correlatedequilibrium)。如天氣拋硬幣如果兩個(gè)人都很任性，誰也不讓步，誰也不肯讓對(duì)方得意又確實(shí)離不開對(duì)方，那就變成實(shí)施混合策略：（小娟）選足球不甘心，選芭蕾又怕大海不樂意。大海也一樣。那么最優(yōu)的概率分布是什么？令小娟策略空間｛芭蕾，足球｝上的概率分布為（ｒ，１－ｒ），大海策略空間｛芭蕾，足球｝上的概率分布為（ｑ，１－ｑ），那么：Ｖ小娟＝２×ｒ×ｑ＋１×(１-ｒ)×(1-ｑ)=3rq+1-r-q最優(yōu)化q*=1/3V大海=1×ｒ×ｑ＋2×(１-ｒ)×(1-ｑ)=3rq+2-2q-2r最優(yōu)化r*=2/3所以，混合策略NE是：小娟以2/3的概率選芭蕾，以1/3的概率選足球；大海以1/3的概率選芭蕾，以2/3的概率選足球。其效率是：Ｖ小娟＝2/3=V大海＜1最差的效率是兩人都為對(duì)方著想，又沒有事前溝通，結(jié)果小娟去了足球場(chǎng)，而大海去了劇場(chǎng)。（三）混合策略與反應(yīng)對(duì)應(yīng)P56回顧MatchingPennies，雙方都會(huì)實(shí)施混合策略，其NE是r*=q*=（1/2，1/2）。這里，從另一個(gè)角度說明這樣的概率分布確實(shí)是一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”。按照NE的條件，一個(gè)策略組合如過是一個(gè)NE，那么其中的每一個(gè)策略都是參與人針對(duì)其他參與人策略組合的最優(yōu)反應(yīng)，在純策略NE中，這個(gè)“最優(yōu)反應(yīng)”可能是一個(gè)具體的純策略（如在“Prisoners’Dilemma”中），也可能是一個(gè)反應(yīng)函數(shù)（reactionfunction）（如在“CournotModelofDuopoly”中）。而在一個(gè)混合策略NE中，這個(gè)“最優(yōu)反應(yīng)”將是一個(gè)概率或很多個(gè)概率——被稱為“反應(yīng)對(duì)應(yīng)”（reactioncorrespondence）。以MatchingPennies為例。r—蓋方選正面的概率，q—猜方猜正面的概率先看蓋方的最優(yōu)反應(yīng)，記為r*=R（q）：當(dāng)q＜1/2r*=R（q）=1當(dāng)q=1/2[0，1]當(dāng)q＞1/20猜方的最優(yōu)反應(yīng)反應(yīng)，記為q*=R（r）當(dāng)r＜1/2q*=R（r）=0，當(dāng)r=1/2[0，1]，當(dāng)r＞1/21，反應(yīng)對(duì)應(yīng)與反應(yīng)函數(shù)的區(qū)別：…作為NE，各個(gè)參與人的反應(yīng)應(yīng)該同時(shí)為最優(yōu)，那么只要求兩個(gè)反應(yīng)對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)，用圖示法：rq01（正面）1(正面)1/21/2r*=R(q)q*=R(r)(四)ExistenceofNashEquilibrium問題：是否所有的博弈都存在NE（純的或混合的）？*Nash在1950年證明：任何有限博弈，都至少存在一個(gè)NE。Theorem(Nash1950):Inthen-playernormal-formgameG={S1,…,Sn;u1,…,un},ifnisfiniteandSiisfiniteforeveryithenthereexistsatleastoneNashequilibrium,possiblyinvolvingmixedstrategies.Nashtheorem的證明略Wilson（1971）證明，幾乎所有有限博弈，都存在有限奇數(shù)個(gè)NE，包括純策略NE和混合策略NE?！狾ddnessTheoremP63例證，P67-69證明Problems1、Inthefollowingnormal-formgame,whatstrategiessurviveiteratedeliminationofstrictlydominatedstrategies?Whatarethepure-strategyNashequilibrium?LCRT2,01,14,2M3,41,22,3B1,30,23,02、Players1and2arebargainingoverhowtosplit10thousanddollars.Bothplayerssimultaneouslynamesharestheywouldliketohave,s1ands2,where0≤s1,s2≤1.Ifs1+s2≤1,thentheplayersreceivethesharestheynamed;ifs1+s2＞1,thenbothplayersreceivezero.Whataret