GLC12 工程力學(xué)B 第12章 應(yīng)力狀態(tài)分析

DEPARTMENTOFENGINEERINGMECHANICSKUST第十二章

應(yīng)力狀態(tài)分析StressStatesAnalysis12.1

引言12.1.1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：過一點(diǎn)所有截面上的應(yīng)力情況。FFnnσaτapA而過A點(diǎn)各斜截面上的應(yīng)力為：研究應(yīng)力狀態(tài)的目的：1.解釋構(gòu)件的破壞現(xiàn)象；2.建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件（強(qiáng)度理論）。如圖，軸向拉壓桿，過A點(diǎn)橫截面上的應(yīng)力為：低碳鋼拉伸試驗(yàn)例如，同是拉伸，為什么低碳鋼的破壞是沿450截面方向出現(xiàn)滑移線(屈服破壞)，而鑄鐵的破壞是沿橫截面被拉斷？如圖。鑄鐵拉伸試驗(yàn)又如，為什么鑄鐵壓縮時(shí)沿450截面斷裂？原因是在此截面上有最大剪應(yīng)力。低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)鑄鐵扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)例如，同樣是扭轉(zhuǎn)，為什么低碳鋼的破壞發(fā)生在橫截面上，而鑄鐵的破壞發(fā)生在450的螺旋面上？如圖。現(xiàn)在我們還不能回答這個(gè)問題，這是因?yàn)槲覀冞€不知道扭轉(zhuǎn)時(shí)構(gòu)件上一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。例如，工字型截面梁橫力彎曲時(shí)，在滿足上述強(qiáng)度條件下，破壞還常常會(huì)發(fā)生且發(fā)生在腹板和翼緣的交界處。如圖。因此，以前建立的強(qiáng)度條件對(duì)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)不再適用，需要重新建立。以前建立的強(qiáng)度條件是：σmax≤[σ]或τmax≤[τ]前提條件是:在σmax的地方τ=0,而在τmax的地方σ=0那么，在既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力（一般稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)）的地方，上述強(qiáng)度條件還能用嗎？不能。研究一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的方法：圍繞一點(diǎn)取一個(gè)邊長(zhǎng)為無限小的正六面體稱為單元體（一般取在危險(xiǎn)點(diǎn)處）。單元體分析法。xyz單元體dxdydzxyz單元體的特點(diǎn)：相互平行的一對(duì)側(cè)面上的應(yīng)力相等。

xy應(yīng)力角標(biāo)的規(guī)定：σ的角標(biāo)表示其作用面的法線方向；τ的第一個(gè)角標(biāo)表示其作用面的法線方向,第二個(gè)角標(biāo)表示其指向。xyzxy從拉伸桿上截取單元體：截取單元體的方法：用一對(duì)橫截面和兩對(duì)相互垂直的縱截面截取，如圖所示。

從梁上截取單元體A又例如：Axyz本章用單元體分析法研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：用截面法求單元體其它各截面上應(yīng)力的方法。12.1.2主平面、主應(yīng)力可以證明，通過受力構(gòu)件內(nèi)的任意點(diǎn)一定可以找到這樣一個(gè)單元體，在其三對(duì)相互垂直的平面的切應(yīng)力等于零。如圖所示。這樣的單元體叫主單元體。主應(yīng)力：σ1σ1σ2σ2σ3σ3主平面：主方向：一般情況下，一點(diǎn)處有三個(gè)不同的主應(yīng)力，分別用σ1,σ2和σ3表示；它們的命名是根據(jù)其代數(shù)值的大小排列來命名的，即σ1≥σ2≥σ3規(guī)定：σ1≥σ2≥σ3分別叫第一、二、三主應(yīng)力。主單元體：三對(duì)正交平面上的切應(yīng)力等于零的單元體。切應(yīng)力等于零的平面。主平面上的正應(yīng)力。主平面的法線方向（主應(yīng)力的方向）。1.單向應(yīng)力狀態(tài)：應(yīng)力狀態(tài)分為三類。（簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)）單向拉應(yīng)力狀態(tài)單向壓應(yīng)力狀態(tài)三個(gè)主應(yīng)力中只有一個(gè)不等于零。12.1.3應(yīng)力狀態(tài)的分類：2.二向應(yīng)力狀態(tài)：（平面應(yīng)力狀態(tài)）二向拉壓應(yīng)力狀態(tài)二向拉應(yīng)力狀態(tài)二向壓應(yīng)力狀態(tài)三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)不等于零。3.三向應(yīng)力狀態(tài)：（空間應(yīng)力狀態(tài)）單向應(yīng)力狀態(tài)叫簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)叫復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)二向（平面）應(yīng)力狀態(tài)三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)三向拉應(yīng)力狀態(tài)三向拉壓應(yīng)力狀態(tài)三向壓應(yīng)力狀態(tài)三個(gè)主應(yīng)力都不等于零。12.2二向（平面）應(yīng)力狀態(tài)分析—解析法xyxy應(yīng)力狀態(tài)分析就是：在已知σx,σy和τxy的條件下，求出單元體任意斜截面上的應(yīng)力，以及主應(yīng)力、主方向、最大剪應(yīng)力及其方向等。α?對(duì)于正應(yīng)力，拉為正，壓為負(fù)。正負(fù)規(guī)定：拉應(yīng)力

壓應(yīng)力?對(duì)于切（剪）應(yīng)力，使單元體有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的為正，反之為負(fù)。正負(fù)規(guī)定：xy?對(duì)于轉(zhuǎn)角α，從x軸轉(zhuǎn)到斜截面的外法線方向n，逆時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為正，反之為負(fù)。α正負(fù)規(guī)定：α首先，求斜截面上的應(yīng)力:tydAα三角形單元體應(yīng)滿足平衡方程

xs斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力計(jì)算公式注意：1.為垂直于z面（主平面）的任意斜截面上的應(yīng)力；2.

拉為正，反之為負(fù)；3.

使單元體有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的為正，反之為負(fù)；4.

α從x軸轉(zhuǎn)到斜截面的外法線方向n，逆時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為正，反之為負(fù)。12.3應(yīng)力圓（二向應(yīng)力狀態(tài)分析—圖解法）由（12.1）式：由（12.2）式：等號(hào)兩邊平方相加，整理后得12.3.1應(yīng)力圓（莫爾圓）這是一個(gè)在σ-τ坐標(biāo)系內(nèi)的圓方程，稱為應(yīng)力圓方程或莫爾圓方程。相當(dāng)于數(shù)學(xué)上的圓方程：（x–a)2+(y–0)2=R

2即在σ-τ坐標(biāo)系內(nèi)：圓心坐標(biāo)為:半徑為:的圓。叫應(yīng)力圓或莫爾圓，如下圖。RCO（x–a)2+(y–0)2=R2

1.選適當(dāng)?shù)谋壤ⅵ?τ坐標(biāo)系；O12.3.2應(yīng)力圓的繪制和應(yīng)用由x面上的應(yīng)力(σx

,τx)確定D點(diǎn)，由y面上的應(yīng)力(σy

,τy)確定D’點(diǎn)；畫應(yīng)力圓，求的步驟:O連接D，D’交σ軸于C點(diǎn)，以C為圓心，CD為半徑畫圓，即為應(yīng)力圓(莫爾圓)；以D為起點(diǎn)，按與單元體上的α相同的轉(zhuǎn)向，沿圓周轉(zhuǎn)2α的圓心角得到E點(diǎn)，則E點(diǎn)的坐標(biāo)即為σα，τα

；證明見P270。O轉(zhuǎn)角兩倍：轉(zhuǎn)向相同：點(diǎn)面對(duì)應(yīng)：應(yīng)力圓與單元體的關(guān)系：應(yīng)力圓上點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)單元體上面的應(yīng)力。應(yīng)力圓上半徑的轉(zhuǎn)向與單元體上面的法線的轉(zhuǎn)向相同。應(yīng)力圓上半徑轉(zhuǎn)過的角度是單元體上面的法線轉(zhuǎn)過角度的兩倍。O12.4平面應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力與主應(yīng)力1.主應(yīng)力：+++---O2.主方向：將（12.3）式等號(hào)兩邊相加得：+++---1.代入（12.1）式判別；單元體右側(cè)面上

指向的象限為所在象限。注意：例如：O3.極值剪應(yīng)力：極大和極小剪應(yīng)力所在平面與主平面夾角為45°。畫應(yīng)力圓，求主應(yīng)力、主方向和極值剪應(yīng)力：注意：2.單元體中的1.和為垂直于z面（主平面）的這組截面中的最大（?。┱龖?yīng)力和剪應(yīng)力；三、三個(gè)特殊的應(yīng)力圓:單向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力圓在原點(diǎn)與τ軸相切圓心與原點(diǎn)重合純剪切(二向)應(yīng)力狀態(tài)鑄鐵例12.1分析鑄鐵試件受扭時(shí)的破壞現(xiàn)象。在試件表面取單元體，如圖。為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。∴鑄鐵試件受扭時(shí)的破壞是沿450螺旋面被拉斷。例12.2下列單元體處于什么應(yīng)力狀態(tài)？單向應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)（練習(xí)冊(cè)P38，選3.2）例12.3

試求下述單元體中指定斜截面上的應(yīng)力。（a）、（b）、(c)、（d）單元體的主應(yīng)力，最大切應(yīng)力，在原單元體中畫出主平面位置。圖中應(yīng)力單位為MPa

。（練習(xí)冊(cè)P39，計(jì)4.1(d)）解：求指定斜截面上的應(yīng)力；xyn由（12.1）式：xyn由（12.2）式：求主應(yīng)力并畫出主平面的位置:由（12.3）式：xy由（12.5）式：求最大剪應(yīng)力：由（12.8）式。例12.4計(jì)算圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。20030050(MPa)由（12.3）式：由（12.8）式：若由（12.7）式：12.5.1三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓在已知σ1,σ2,σ3的條件下,求任意斜截面上的應(yīng)力：12.5三向應(yīng)力狀態(tài)的最大主應(yīng)力先分析平行于主應(yīng)力的各斜截面上的應(yīng)力：平行σ3

各斜截面上的應(yīng)力與σ3無關(guān)，只與σ1

和σ2

有關(guān)，由σ1

和σ2所畫的應(yīng)力圓確定。s3因?yàn)棣姚?τα可分別由平衡方程∑Fn=0，∑Ft=0求出，由于σ3與n軸和t軸垂直，所以σ3在平衡方程∑Fn=0，∑Ft=0中不出現(xiàn)，故σα,τα和σ3與無關(guān)。tsOIs2s1Is2s1s3利用s1和s2畫出圓I。由σ1和σ2所畫的應(yīng)力圓為：ts利用s2和s3畫出圓IIs3s2IIIIs1s2s3平行σ1

各斜截面上的應(yīng)力與σ1無關(guān)，只與σ2

和σ3

有關(guān)，由σ2

和σ3所畫的應(yīng)力圓確定。Is1IIIs1

s3IIIs2利用s1和s3畫出圓III平行σ2

各斜截面上的應(yīng)力與σ2無關(guān)，只與σ1

和σ3

有關(guān)，由σ1

和σ3所畫的應(yīng)力圓確定。tsIIs2s3Is1三向應(yīng)力圓s1IIIIIs3Is2Ots在三向應(yīng)力圓中：三個(gè)圓所圍陰影區(qū)點(diǎn)的坐標(biāo)代表單元體上與三個(gè)主應(yīng)力都不平行的任意斜截面上的應(yīng)力。三個(gè)圓周上點(diǎn)的坐標(biāo)代表單元體上與三個(gè)主應(yīng)力平行的任意斜截面上的應(yīng)力。12.5.2最大主應(yīng)力和最大切應(yīng)力例12.5求圖示單元體的主應(yīng)力及最大切應(yīng)力。應(yīng)力單位為MPa

。（練習(xí)冊(cè)P39，計(jì)4.3）

單位：MPa解：1.求主應(yīng)力∵

z面為主平面，

∴σz=30MPa為主應(yīng)力之一。yxz取坐標(biāo)軸如圖。此時(shí)，可以對(duì)著主平面(z面)做視圖，將其化為二向應(yīng)力狀態(tài)來處理。即做正視圖。由（12.3）式：yxzyxyxzyx由（12.8）式：2.求最大切應(yīng)力復(fù)習(xí)：sxsxzxy12.6廣義胡克定律橫向應(yīng)變：zxytxytyx2.剪切胡克定律：1.單向應(yīng)力狀態(tài)的胡克定律：m--泊松比廣義胡克定律：zxy注意：對(duì)各向同性材料，在彈性范圍內(nèi)和小變形條件下，ε只與σ有關(guān)，而與τ無關(guān)；γ只與τ有關(guān)，而與σ無關(guān)。討論沿σx方向的線應(yīng)變?chǔ)舩：σx單獨(dú)作用時(shí)：σy單獨(dú)作用時(shí)：σz

單獨(dú)作用時(shí)：當(dāng)σx，σy，σz

共同作用時(shí)，由疊加原理得：zxy同理：γ只與τ有關(guān)，而與σ無關(guān)，則由剪切胡克定律得：（12.10）式中各分量的角標(biāo)滿足輪換關(guān)系：（12.10）式稱為廣義胡克定理xzyzxy對(duì)主單元體：（12.9）式中各分量的角標(biāo)滿足輪換關(guān)系：廣義胡克定律變?yōu)椋篹1、e2、e3

稱為主應(yīng)變1321.構(gòu)件的材料必須是各向同性的；廣義胡克定律的適用條件：2.應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系必須在線彈性范圍之內(nèi)；3.構(gòu)件的變形必須是小變形。各向同性材料的3個(gè)彈性常數(shù)中只有兩個(gè)是獨(dú)立的。各向同性材料彈性常數(shù)之間的關(guān)系：例12.6立方體試驗(yàn)設(shè)備，如圖立方體材料置于經(jīng)過潤(rùn)滑的剛性墻體之間，載荷P作用在剛性平板上，在x方向上產(chǎn)生均勻的壓力。計(jì)算應(yīng)力σx，sy，sz及應(yīng)變

ex，ey

和

ez。P解:∵y方向是剛性墻體又∵z方向是自由面計(jì)算ex

:計(jì)算ez

:由（12.10）式:計(jì)算σy:首先計(jì)算

sx：（自學(xué)）12.7三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能主要注意：畸變能密度公式（12.15）式的推導(dǎo)。本章完看書上的例12.1~例12.7例12.5求圖示應(yīng)力狀態(tài)的1.主應(yīng)力和主方向，2.畫三向應(yīng)力圓，3