2023年平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)精華

必修４平面向量知識(shí)點(diǎn)小結(jié)一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線段來(lái)表達(dá).注意:不能說(shuō)向量就是有向線段,為什么?提醒:向量可以平移.舉例1已知，,則把向量按向量平移后得到的向量是＿＿＿_(dá)_.結(jié)果：２.零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量,記作：，規(guī)定:零向量的方向是任意的;3.單位向量:長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是）;４.相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量,相等向量有傳遞性；5.平行向量(也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量,記作：∥，規(guī)定：零向量和任何向量平行.注:①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等;②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念:兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無(wú)傳遞性?。ㄓ捎谟校?④三點(diǎn)共線共線.６.相反向量:長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量．的相反向量記作.舉例２如下列命題:（1)若,則.(2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同.（3）若,則是平行四邊形．(４）若是平行四邊形,則．(5）若，,則.（6）若，則.其中對(duì)的的是．結(jié)果:(4）(5)二、向量的表達(dá)方法1.幾何表達(dá)：用帶箭頭的有向線段表達(dá)，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2．符號(hào)表達(dá):用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表達(dá),如,，等；3.坐標(biāo)表達(dá):在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系,以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量為基底,則平面內(nèi)的任歷來(lái)量可表達(dá)為,稱為向量的坐標(biāo),叫做向量的坐標(biāo)表達(dá)．結(jié)論：假如向量的起點(diǎn)在原點(diǎn),那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同．三、平面向量的基本定理定理設(shè)同一平面內(nèi)的一組基底向量,是該平面內(nèi)任歷來(lái)量,則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使.（1）定理核心：；（2)從左向右看，是對(duì)向量的分解,且表達(dá)式唯一；反之,是對(duì)向量的合成.（3）向量的正交分解：當(dāng)時(shí)，就說(shuō)為對(duì)向量的正交分解.舉例3（１)若，，，則.結(jié)果：.（2)下列向量組中,能作為平面內(nèi)所有向量基底的是ＢA．，Ｂ.,C.,D.，(3)已知分別是的邊,上的中線,且,,則可用向量表達(dá)為．結(jié)果：．（4）已知中，點(diǎn)在邊上，且，,則的值是．結(jié)果:0．四、實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下:（1)模：;(2）方向：當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)時(shí),,注意:.五、平面向量的數(shù)量積1.兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量,，作,，則把稱為向量,的夾角.當(dāng)時(shí),，同向；當(dāng)時(shí)，，反向；當(dāng)時(shí),，垂直．２.平面向量的數(shù)量積:假如兩個(gè)非零向量,,它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積）,記作:,即．規(guī)定：零向量與任歷來(lái)量的數(shù)量積是0.注:數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量.舉例4（1）中,，,,則_____＿_(dá)__.結(jié)果:．(2）已知，,,，與的夾角為,則＿_(dá)＿＿.結(jié)果：1.（３）已知,，，則＿_(dá)＿_(dá).結(jié)果：.(4）已知是兩個(gè)非零向量,且,則與的夾角為_(kāi)___.結(jié)果:.3．向量在向量上的投影：,它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0.舉例5已知,,且，則向量在向量上的投影為＿_(dá)＿_(dá)__.結(jié)果：.4.的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積．5.向量數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)兩個(gè)非零向量，,其夾角為,則:（1)；（2)當(dāng)、同向時(shí)，，特別地，;是、同向的充要分條件；當(dāng)、反向時(shí),，是、反向的充要分條件;當(dāng)為銳角時(shí),，且、不同向,是為銳角的必要不充足條件;當(dāng)為鈍角時(shí)，,且、不反向；是為鈍角的必要不充足條件.(3)非零向量，夾角的計(jì)算公式:；④．舉例6（1)已知，，假如與的夾角為銳角,則的取值范圍是＿＿_(dá)_＿_(dá)．結(jié)果:或且；(2）已知的面積為,且,若,則，夾角的取值范圍是__＿_(dá)_____.結(jié)果:；（3）已知，，且滿足（其中）.①用表達(dá)；②求的最小值,并求此時(shí)與的夾角的大小.結(jié)果:①;②最小值為，.六、向量的運(yùn)算1.幾何運(yùn)算（1)向量加法運(yùn)算法則:①平行四邊形法則；②三角形法則.運(yùn)算形式:若,，則向量叫做與的和，即;作圖:略．注:平行四邊形法則只合用于不共線的向量.(2）向量的減法運(yùn)算法則：三角形法則.運(yùn)算形式:若,，則,即由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).作圖:略.注：減向量與被減向量的起點(diǎn)相同．舉例７（1）化簡(jiǎn)：①；②;③．結(jié)果:①；②;③;（2)若正方形的邊長(zhǎng)為1，,，,則．結(jié)果:;（3)若是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為.結(jié)果:直角三角形;(４）若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn),滿足，設(shè),則的值為.結(jié)果:2；(5）若點(diǎn)是的外心,且,則的內(nèi)角為.結(jié)果:.2.坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè),，則(１)向量的加減法運(yùn)算：，.舉例８(1）已知點(diǎn)，,，若,則當(dāng)＿_(dá)＿_(dá)時(shí),點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上．結(jié)果：;（2)已知，，且，,則．結(jié)果:或；（3)已知作用在點(diǎn)的三個(gè)力，，,則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是.結(jié)果：.(2)實(shí)數(shù)與向量的積：.(3）若，,則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表達(dá)這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).舉例9設(shè),，且,，則的坐標(biāo)分別是＿＿_(dá)_＿_(dá)___＿.結(jié)果：.（4)平面向量數(shù)量積：.舉例10已知向量,，.（１）若,求向量、的夾角;（2)若，函數(shù)的最大值為,求的值.結(jié)果:(1）；（2）或.（5)向量的模:.舉例１1已知均為單位向量，它們的夾角為,那么=.結(jié)果:．（６）兩點(diǎn)間的距離:若，,則．舉例12如圖,在平面斜坐標(biāo)系中,,平面上任一點(diǎn)關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的:若，其中分別為與軸、軸同方向的單位向量,則點(diǎn)斜坐標(biāo)為．(1)若點(diǎn)的斜坐標(biāo)為,求到的距離;(２)求認(rèn)為圓心,1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程.結(jié)果:(1)２；（2).七、向量的運(yùn)算律1．互換律：，，；２.結(jié)合律：,,;3.分派律：,，.舉例1３給出下列命題:①；②;③；④若,則或;⑤若則；⑥；⑦;⑧；⑨.其中對(duì)的的是.結(jié)果:①⑥⑨.說(shuō)明：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別:對(duì)于一個(gè)向量等式,可以移項(xiàng),兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù),兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量,即兩邊不能約去一個(gè)向量，牢記兩向量不能相除(相約)；(2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么?八、向量平行(共線）的充要條件．舉例１４（1）若向量，,當(dāng)__＿_(dá)＿時(shí),與共線且方向相同.結(jié)果:2.(2）已知，，，,且,則.結(jié)果:４.(３）設(shè),，，則_____時(shí)，共線.結(jié)果:或11.九、向量垂直的充要條件.特別地．舉例15(1)已知,，若，則.結(jié)果：；(2)以原點(diǎn)和為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形,,則點(diǎn)的坐標(biāo)是.結(jié)果:(1，3)或(3,-1)）;（3)已知向量，且,則的坐標(biāo)是.結(jié)果：或.十、線段的定比分點(diǎn)1.定義：設(shè)點(diǎn)是直線上異于、的任意一點(diǎn),若存在一個(gè)實(shí)數(shù),使，則實(shí)數(shù)叫做點(diǎn)分有向線段所成的比，點(diǎn)叫做有向線段的以定比為的定比分點(diǎn).2．的符號(hào)與分點(diǎn)的位置之間的關(guān)系(１)內(nèi)分線段,即點(diǎn)在線段上；（２)外分線段時(shí)，①點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，②點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上.注：若點(diǎn)分有向線段所成的比為，則點(diǎn)分有向線段所成的比為.舉例１6若點(diǎn)分所成的比為，則分所成的比為．結(jié)果：.3.線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式:設(shè)，，點(diǎn)分有向線段所成的比為，則定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式為.特別地，當(dāng)時(shí)，就得到線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式說(shuō)明:(1)在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確,、的意義,即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn),終點(diǎn)的坐標(biāo)．(２)在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件,靈活地?cái)M定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn),并根據(jù)這些點(diǎn)擬定相應(yīng)的定比.舉例1７（１）若，，且,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.結(jié)果:;(2）已知,，直線與線段交于,且,則.結(jié)果：２或.十一、平移公式假如點(diǎn)按向量平移至，則;曲線按向量平移得曲線．說(shuō)明：(1）函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系?(2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！舉例1８（１）按向量把平移到，則按向量把點(diǎn)平移到點(diǎn)＿_(dá)＿＿＿_(dá).結(jié)果:;(2)函數(shù)的圖象按向量平移后,所得函數(shù)的解析式是，則＿＿＿_(dá)__＿＿.結(jié)果:.十二、向量中一些常用的結(jié)論１.一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量,要注意運(yùn)用;2.模的性質(zhì):.（1）右邊等號(hào)成立條件:同向或中有;(2)左邊等號(hào)成立條件:反向或中有；(3）當(dāng)不共線.3.三角形重心公式在中,若,，,則其重心的坐標(biāo)為.舉例19若的三邊的中點(diǎn)分別為、、，則的重心的坐標(biāo)為