高中數(shù)學(xué)人教B版第三章概率事件與概率 2023版第3章頻率與概率

頻率與概率1.在具體情境中，了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性.(重點)2.正確理解概率的意義，利用概率知識正確理解現(xiàn)實生活中的實際問題.(重點)3.理解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理頻率與概率閱讀教材P95～P96例2以上部分，完成下列問題.1.概率(1)統(tǒng)計定義：在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)，當(dāng)n很大時，總是在某個常數(shù)附近擺動，隨著n的增加，擺動幅度越來越小，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).(2)性質(zhì)：隨機(jī)事件A的概率P(A)滿足0≤P(A)≤1.特別地，①當(dāng)A是必然事件時，P(A)＝1.②當(dāng)A是不可能事件時，P(A)＝0.2.概率和頻率之間的聯(lián)系在多次重復(fù)試驗中，同一事件發(fā)生的頻率在某一個數(shù)值附近擺動，事件的頻率是概率的一個近似值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率.1.某射擊運(yùn)動員射擊20次，恰有18次擊中目標(biāo)，則該運(yùn)動員擊中目標(biāo)的頻率是________.【解析】設(shè)擊中目標(biāo)為事件A，則n＝20，nA＝18，則f20(A)＝eq\f(18,20)＝.【答案】2.在一次擲硬幣試驗中，擲30000次，其中有14984次正面朝上，則出現(xiàn)正面朝上的頻率是________，這樣，擲一枚硬幣，正面朝上的概率是________.【解析】設(shè)“出現(xiàn)正面朝上”為事件A，則n＝30000，nA＝14984，fn(A)＝eq\f(14984,30000)≈5，P(A)＝.【答案】5[小組合作型]概率概念的理解下列說法正確的是()A.由生物學(xué)知道生男生女的概率約為，一對夫婦先后生兩小孩，則一定為一男一女B.一次摸獎活動中，中獎概率為，則摸5張票，一定有一張中獎張票中有1張獎票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎票的可能性大張票中有1張獎票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎票的概率都是【精彩點撥】抓住事件的概率是在大量試驗基礎(chǔ)上得到，它只反映事件發(fā)生的可能性大小.【嘗試解答】一對夫婦生兩小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正確；中獎概率為是說中獎的可能性為，當(dāng)摸5張票時，可能都中獎，也可能中一張、兩張、三張、四張，或者都不中獎，所以B不正確；10張票中有1張獎票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸到獎票的概率都是，所以C不正確，D正確.【答案】D1.概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機(jī)事件A的本質(zhì)屬性，隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是大量重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的頻率的近似值.2.由概率的定義我們可以知道隨機(jī)事件A在一次試驗中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映.3.正確理解概率的意義，要清楚概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系.對具體的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗或某一個具體的事件.[再練一題]1.若某種彩票準(zhǔn)備發(fā)行1000萬張，其中有1萬張可以中獎，則買一張這種彩票的中獎概率是多少？買1000張的話是否一定會中獎？【解】中獎的概率為eq\f(1,1000)；不一定中獎，因為買彩票是隨機(jī)的，每張彩票都可能中獎也可能不中獎.買彩票中獎的概率為eq\f(1,1000)，是指試驗次數(shù)相當(dāng)大，即隨著購買彩票的張數(shù)的增加，大約有eq\f(1,1000)的彩票中獎.概率與頻率的關(guān)系及求法某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455擊中靶心的頻率eq\f(m,n)(1)填寫表中擊中靶心的頻率；(2)這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？【精彩點撥】由表中數(shù)據(jù)→計算事件頻率→觀察頻率的穩(wěn)定值→估計概率.【嘗試解答】(1)表中依次填入的數(shù)據(jù)為：,,,,,.(2)由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)附近，所以這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是.1.頻率是事件A發(fā)生的次數(shù)m與試驗總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出它們的頻率.頻率本身是隨機(jī)變量，當(dāng)n很大時，頻率總是在一個穩(wěn)定值附近左右擺動，這個穩(wěn)定值就是概率.2.解此類題目的步驟是：先利用頻率的計算公式依次計算頻率，然后用頻率估計概率.[再練一題]2.一個地區(qū)從某年起幾年之內(nèi)的新生嬰兒數(shù)及其中的男嬰數(shù)如下表所示：時間范圍1年內(nèi)2年內(nèi)3年內(nèi)4年內(nèi)新生嬰兒數(shù)n554496071352017190男嬰數(shù)m2883497069948892(1)計算男嬰出生的頻率(保留4位小數(shù))；(2)這一地區(qū)男嬰出生的概率約是多少？【解】(1)①第一年內(nèi)：n1＝5544，m1＝2883，故頻率為eq\f(m1,n1)≈0；②第二年內(nèi)：n2＝9607，m2＝4970，故頻率為eq\f(m2,n2)≈3；③第三年內(nèi)：n3＝13520，m3＝6994，故頻率為eq\f(m3,n3)≈3；④第四年內(nèi)：n4＝17190，m4＝8892，故頻率為eq\f(m4,n4)≈3.(2)由于這些頻率非常接近3，因此這一地區(qū)男嬰出生的概率約為3.概率的應(yīng)用為了估計水庫中魚的尾數(shù)，可以使用以下的方法：先從水庫中捕出2000尾魚，給每尾魚做上記號，不影響其存活，然后放回水庫.經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r間，讓其和水庫中的其他魚充分混合，再從水庫中捕出500尾，查看其中有記號的魚，有40尾，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計水庫中魚的尾數(shù).【精彩點撥】按有記號的魚所占的比例進(jìn)行求解.【嘗試解答】設(shè)水庫中魚的尾數(shù)是n，現(xiàn)在要估計n的值，假定每尾魚被捕的可能性是相等的，從水庫中任捕一尾魚，設(shè)事件A＝{帶記號的魚}，則P(A)＝eq\f(2000,n).第二次從水庫中捕出500尾魚，其中帶記號的有40尾，即事件A發(fā)生的頻數(shù)為40，由概率的統(tǒng)計定義知P(A)≈eq\f(40,500)，即eq\f(2000,n)≈eq\f(40,500)，解得n≈25000.所以估計水庫中的魚有25000尾.1.由于概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，概率是頻率的近似值與穩(wěn)定值，所以可以用樣本出現(xiàn)的頻率近似地估計總體中該結(jié)果出現(xiàn)的概率.2.實際生活與生產(chǎn)中常常用隨機(jī)事件發(fā)生的概率來估計某個生物種群中個別生物種類的數(shù)量、某批次的產(chǎn)品中不合格產(chǎn)品的數(shù)量等.[再練一題]3.某中學(xué)為了了解初中部學(xué)生的某項行為規(guī)范的養(yǎng)成情況，在校門口按系統(tǒng)抽樣的方法：每2分鐘隨機(jī)抽取一名學(xué)生，登記佩帶胸卡的學(xué)生的名字.結(jié)果，150名學(xué)生中有60名佩帶胸卡.第二次檢查，調(diào)查了初中部的所有學(xué)生，有500名學(xué)生佩帶胸卡.據(jù)此估計該中學(xué)初中部一共有多少名學(xué)生.【解】設(shè)初中部有n名學(xué)生，依題意得eq\f(60,150)＝eq\f(500,n)，解得n＝1250.所以該中學(xué)初中部共有學(xué)生大約1250名.[探究共研型]概率的意義探究1如何理解概率意義上的“可能性”？【提示】(1)概率意義上的“可能性”是大量隨機(jī)現(xiàn)象的客觀規(guī)律，與我們?nèi)粘Ｋf的“可能”“估計”是不同的，也就是說，單獨一次試驗結(jié)果的不肯定性與多次試驗累積結(jié)果的有規(guī)律性，才是概率意義上的“可能性”.(2)概率是根據(jù)大量的隨機(jī)試驗得到的一個相應(yīng)的期望值，它說明一個事件發(fā)生的可能性的大小，并未說明一個事件一定發(fā)生或一定不發(fā)生.探究2如何用概率知識解釋天氣預(yù)報中的“降水”？【提示】天氣預(yù)報中的“降水”是一個隨機(jī)事件，概率只是說明這個隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，概率值越大，說明在一次試驗中事件發(fā)生的可能性越大，但在一次試驗中，“降水”這個事件是否發(fā)生還是隨機(jī)的.探究3我們知道，每次拋擲硬幣的結(jié)果出現(xiàn)正、反的概率都為，則連續(xù)拋擲質(zhì)地均勻的硬幣兩次，是否一定出現(xiàn)“一次正面向上，一次反面向上”呢？【提示】不一定.這是因為統(tǒng)計規(guī)律不同于確定的數(shù)學(xué)規(guī)律，對于具體的一次試驗而言，它帶有很大的隨機(jī)性(即偶然性)，通過具體試驗可以知道除上述結(jié)果外，也可能出現(xiàn)“兩次都是正面向上”、“兩次都是反面向上”.盡管隨機(jī)事件的概率不像函數(shù)關(guān)系那樣具有確定性，但是如果我們知道某事件發(fā)生的概率的大小，也能作出科學(xué)的決策.例如：做連續(xù)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的試驗1000次，可以預(yù)見：“兩個都是正面向上”大約出現(xiàn)250次，“兩個都是反面向上”大約出現(xiàn)250次，而“一個正面向上、一個反面向上”大約出現(xiàn)500次.已知某廠的產(chǎn)品合格率為9%，現(xiàn)抽出10件產(chǎn)品檢查，則下列說法正確的是()【導(dǎo)學(xué)號：00732077】A.合格產(chǎn)品少于9件B.合格產(chǎn)品多于9件C.合格產(chǎn)品正好是9件D.合格產(chǎn)品可能是9件【精彩點撥】利用“概率”及“合格率”的意義進(jìn)行分析.【嘗試解答】一個事件的概率是通過大量的重復(fù)試驗得到的，其反映了該隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，因此在本題中“抽出10件產(chǎn)品”相當(dāng)于做了10次試驗，而每次試驗結(jié)果可能是正品，也可能是次品.故只有D正確.【答案】D隨機(jī)事件在一次試驗中發(fā)生與否是隨機(jī)的.但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率恰是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映，概率是客觀存在的，它與試驗次數(shù)，哪一個具體的試驗都沒有關(guān)系，運(yùn)用概率知識，可以幫助我們預(yù)測事件發(fā)生的可能性.[再練一題]4.“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列說法不正確的是()A.北京今天一定降雨，而上海一定不降雨B.上海今天可能降雨，而北京可能沒有降雨C.北京和上海都可能沒降雨D.北京降雨的可能性比上海大【解析】北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，說明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都沒有降雨，但是不能確定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，所以B，C，D正確，A錯誤.【答案】A1.在給病人動手術(shù)之前，外科醫(yī)生會告知病人或家屬一些情況，其中有一項是說這種手術(shù)的成功率大約是99%.下列解釋正確的是()個手術(shù)有99個手術(shù)成功，有1個手術(shù)失敗B.這個手術(shù)一定成功%的醫(yī)生能做這個手術(shù)，另外1%的醫(yī)生不能做這個手術(shù)D.這個手術(shù)成功的可能性大小是99%【解析】成功率大約是99%，說明手術(shù)成功的可能性大小是99%，故選D.【答案】D2.下列敘述中的事件最能體現(xiàn)概率是的是()A.拋擲一枚骰子10次，其中數(shù)字6朝上出現(xiàn)了5次，拋擲一枚骰子數(shù)字6向上的概率B.某地在8天內(nèi)下雨4天，該地每天下雨的概率C.進(jìn)行10000次拋擲硬幣試驗，出現(xiàn)5001次正面向上，那么拋擲一枚硬幣正面向上的概率D.某人買了2張體育彩票，其中一張中500萬大獎，那么購買一張體育彩票中500萬大獎的概率【解析】A，B，D中試驗次數(shù)較少，只能說明相應(yīng)事件發(fā)生的頻率是.【答案】C3.經(jīng)過市場抽檢，質(zhì)檢部門得知市場上食用油合格率為80%，經(jīng)調(diào)查，某市市場上的食用油大約有80個品牌，則不合格的食用油品牌大約有()個 個個 個【解析】80×(1－80%)＝16.【答案】C4.給出下列四個命題：①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為，則從中任取200件，必有10件是次品；②做100次拋硬幣的試驗，結(jié)果51次出現(xiàn)正面朝上，因此，出現(xiàn)正面朝上的概率是eq\f(51,100)；③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率；④拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結(jié)果18次，則出現(xiàn)1點的頻率是eq\f(9,50).其中正確命題有________.【解析】①錯，次品率是大量產(chǎn)品的估計值，并不是針對200件產(chǎn)品來說的.②③混淆了頻率與概率的區(qū)別.④正確.【答案