流體力學(xué)第一章

流體力學(xué)中南大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院

主講教師:黃慶

Email:hqhq@教材及參考書

[1]

莫乃榕，工程流體力學(xué)，華中理工大學(xué)出版社，2000

[2]

E·約翰芬納莫爾，約瑟夫B·弗朗茲尼，流體力學(xué)及其工程應(yīng)用，機(jī)械工業(yè)出版社，2009教學(xué)時(shí)數(shù)

講授：64學(xué)時(shí)成績(jī)?cè)u(píng)定

期終筆試占70%（閉卷考試）

平時(shí)成績(jī)占30%（到課情況、作業(yè)情況）第一章導(dǎo)論本章主要內(nèi)容：流體力學(xué)的研究任務(wù)和研究方法連續(xù)介質(zhì)假設(shè)流體的密度流體的粘性表面張力

流體力學(xué)

——研究流體在外力作用下平衡和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的科學(xué)，是力學(xué)的一個(gè)分支。

——流體力學(xué)的三個(gè)分支：（1）流體靜力學(xué)，研究靜止流體的一門力學(xué)。（2）流體運(yùn)動(dòng)學(xué)，處理速度、加速度及流線，不考慮力或者能量。（3）流體動(dòng)力學(xué)，考慮速度和加速度與流體運(yùn)動(dòng)時(shí)所受力之間的關(guān)系。緒言流體力學(xué)的任務(wù)及發(fā)展概況它的研究對(duì)象隨著生產(chǎn)的需要與科學(xué)的發(fā)展在不斷地更新、深化和擴(kuò)大。60年代以前，它主要圍繞航空、航天、大氣、海洋、航運(yùn)、水利和各種管路系統(tǒng)等方面。研究流體運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)量傳遞問題，即局限于研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，和它與固體、液體或大氣界面之間的相互作用力問題。60年代以后，能源、環(huán)境保護(hù)、化工和石油等領(lǐng)域中的流體力學(xué)問題逐漸受到重視，這類問題的特征是：尺寸小、速度低，并在流體運(yùn)動(dòng)過程中存在傳熱、傳質(zhì)現(xiàn)象。流體力學(xué)除了研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以外，還要研究它的傳熱、傳質(zhì)規(guī)律。同樣，在固體、液體或氣體界面處，不僅研究相互之間的作用力，而且還需要研究它們之間的傳熱、傳質(zhì)規(guī)律。

工程流體力學(xué)的任務(wù)是為從事工程技術(shù)工作的人提供必要的流體力學(xué)理論知識(shí)。Ⅰ、前30000年~前3000年

以“水－火－風(fēng)”的初步利用為特征：石器、陶具、風(fēng)帆、水鐘、引水灌溉相傳4000多年前的大禹治水，表明我國古代進(jìn)行過大規(guī)模的防洪工作。

Ⅱ、前3000年~16世紀(jì)

以簡(jiǎn)單流體機(jī)械為特征：水車、風(fēng)車、風(fēng)箱、火箭等遠(yuǎn)在兩三千年以前，古代勞動(dòng)人民就利用孔口出流的原理發(fā)明了刻漏、銅壺滴漏（西漢時(shí)期的計(jì)時(shí)工具）在唐代以前，我國就出現(xiàn)了水輪翻車宋元時(shí)代出現(xiàn)的水輪大紡車比英國早四五百年(英國在1796年發(fā)明)明確記載的最早的流體力學(xué)原理是在公元前250年，希臘數(shù)學(xué)家及力學(xué)家阿基米德（Archimedes）發(fā)表了一篇“論浮體”的論文，提出了浮力定律，這是流體力學(xué)的第一部著作。流體力學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史Ⅲ、1600~

1900年

－－初步形成和發(fā)展時(shí)期，標(biāo)志性成就：

牛頓粘性定律、歐拉方程組、拉格朗日流函數(shù)、伯努利定理、亥姆霍茲渦定理、羅蒙諾索夫質(zhì)量守恒定律、焦耳能量守恒定律、達(dá)西公式、N－S方程、雷諾方程、瑞利相似原理流體力學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史16世紀(jì)以后，歐洲資本主義開始萌芽，生產(chǎn)力有了發(fā)展，逐步形成近代的自然科學(xué)，流體力學(xué)也隨之得到發(fā)展。意大利的達(dá)·芬奇(Vinci，L.da)倡導(dǎo)用實(shí)驗(yàn)方法了解水流性態(tài)，并通過實(shí)驗(yàn)描繪和討論了許多水力現(xiàn)象，如自由射流、旋渦形成原理等等。1612年伽利略（Galilei）提出了潛體的沉浮原理；1643年托里拆利(Torricelli，E．)給出了孔口泄流的公式；1650年帕斯卡(Pascal，B．)提出液體中壓力傳遞的定理；1686年牛頓（Newton,I.）發(fā)表了名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》對(duì)普通流體的黏性性狀作了描述，即現(xiàn)代表達(dá)為黏性切應(yīng)力與速度梯度成正比—牛頓內(nèi)摩擦定律。18世紀(jì)～19世紀(jì)，流體力學(xué)得到了較大的發(fā)展，成為獨(dú)立的一門學(xué)科。古典流體力學(xué)的奠基人是瑞士數(shù)學(xué)家伯努利(Bernoulli，D．)和他的親密朋友歐拉(Euler，L.)。1738年，伯努利推導(dǎo)出了著名的伯努利方程，1755年歐拉建立了理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程，1823年納維(Navier,C.-L.-M.-H.)和1845年斯托克斯(Stokes，G．G．)分別建立了粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程。拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯(Laplace)和高斯(Gosse)等人，將歐拉和伯努利所開創(chuàng)的新興的流體動(dòng)力學(xué)推向完美的分析高度。1883年，雷諾(Reynolds，O.)用不同直徑的圓管進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，研究了粘性流體的流動(dòng)，提出了粘性流體存在層流和湍流兩種流態(tài)，并給出了流態(tài)的判別準(zhǔn)則—雷諾數(shù)。12年后，他又引進(jìn)湍流（或雷諾）應(yīng)力的概念，并用時(shí)均方法，建立了不可壓縮流體作湍流運(yùn)動(dòng)時(shí)所應(yīng)滿足的方程組，雷諾的研究為湍流的理論研究奠定了基礎(chǔ)。1891年，蘭徹斯特（F.W.）提出速度環(huán)量產(chǎn)生升力的概念，這為建立升力理論創(chuàng)造了條件，他也是第一個(gè)提出有限翼展機(jī)翼理論的人。Ⅳ、1900~1950年－－體系完善與深入時(shí)期，標(biāo)志性成就：

儒可夫斯基繞流、卡門渦街、普朗特邊界層理論、

尼古拉茲實(shí)驗(yàn)、激波理論、湍流理論、風(fēng)洞、熱線流速儀流體力學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史庫塔（W.M.）和儒可夫斯基（N.E.）分別在1902年和1906年獨(dú)立地提出特殊的與一般的庫塔—儒可夫斯基定理和假定，奠定了二維升力理論的基礎(chǔ)。1912年，卡門（T.von）從理論上分析了渦系（即卡門渦街）的穩(wěn)定性。1904年普朗特(Prandtl，L.)提出了劃時(shí)代的邊界層理論，使粘性流體概念和無粘性流體概念協(xié)調(diào)起來，使流體力學(xué)進(jìn)入了一個(gè)新的歷史階段。

Ⅴ、1950年至今－－滲透與分支：

計(jì)算流體力學(xué)、實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)、可壓縮氣體力學(xué)、稀薄氣體力學(xué)、磁流體力學(xué)、化學(xué)流體力學(xué)、非牛頓流體力學(xué)、多相流體力學(xué)、生物流體力學(xué)、天體物理流體力學(xué)、滲流力學(xué)激光干涉儀、測(cè)速儀流體力學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史一般來說，這些新的分支或交叉學(xué)科所研究的現(xiàn)象或問題都比較復(fù)雜，現(xiàn)有的流體力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程組不能完全準(zhǔn)確地描述這些現(xiàn)象和新問題，試圖用現(xiàn)有的方程組和純計(jì)算的方法去解決這些問題是相當(dāng)困難的，唯一可行的道路是采用純實(shí)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)與計(jì)算相結(jié)合的方法。近年來在一些分支或交叉學(xué)科（如多相流等）中采用這種方法，獲得了較好的效果，大大推動(dòng)了實(shí)驗(yàn)技術(shù)的發(fā)展?！?-1流體力學(xué)的研究任務(wù)

和研究方法研究對(duì)象:

靜止或運(yùn)動(dòng)流體的壓強(qiáng)（壓力）分布、速度分布、流體對(duì)固體的作用力

研究任務(wù):

解決工程中所遇到的各種流體力學(xué)問題

研究方法:

實(shí)驗(yàn)研究、理論分析、數(shù)值計(jì)算實(shí)驗(yàn)研究

根據(jù)?；碚撏ㄟ^實(shí)物實(shí)驗(yàn)、模型實(shí)驗(yàn)進(jìn)行觀察和測(cè)量

優(yōu)點(diǎn)：結(jié)果可靠；發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象、新原理；驗(yàn)證其它方法得到的結(jié)論

缺點(diǎn)：普適性差理論分析

建立流體運(yùn)動(dòng)的方程組與定解條件－求解方程組（精確解或近似解）－算例驗(yàn)證

優(yōu)點(diǎn)：用數(shù)學(xué)方法揭示流體運(yùn)動(dòng)內(nèi)在規(guī)律；普適性好

缺點(diǎn)：數(shù)學(xué)難度大，分析解有限數(shù)值計(jì)算

確定方程組與定解條件－選用適當(dāng)數(shù)值方法－算例編程計(jì)算

優(yōu)點(diǎn)：能求解復(fù)雜流動(dòng)情況；應(yīng)用面廣泛；結(jié)果直觀－數(shù)值實(shí)驗(yàn)

缺點(diǎn)：近似性、不穩(wěn)定性什么是流體？固體—

具有一定的形狀，靜止時(shí)在外力（拉力、壓力、剪切力）作用下發(fā)生相應(yīng)形變，有抵抗一定外力的能力。液體流體氣體

—自身不能保持一定的形狀；其形狀隨容器形狀而變，能充滿容器空間

—分子間內(nèi)聚力（吸引力）小，具有易流動(dòng)性，在任何微小剪應(yīng)力作用下將發(fā)生連續(xù)變形運(yùn)動(dòng)，直到剪切力消失為止。

液體與氣體的區(qū)別液體的分子距和分子的有效直徑差不多是相等的，當(dāng)對(duì)液體加壓時(shí)，只要分子距稍有縮小，分子間的斥力就會(huì)增大以抵抗外壓力。所以，液體的分子距很難縮小，即液體很不易被壓縮，以致一定重量的液體具有一定的體積，液體的形狀取決于容器的形狀，并且由于分子間吸引力的作用，液體有力求自身表面積收縮到最小的特性（表面張力）。氣體的分子距比液體的大，在0℃、1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)（101325Pa）下，氣體的平均分子距約為3.3×10-7cm，其分子平均直徑約為2.5×10-8cm，分子距比分子平均直徑約大十倍。因此，只有當(dāng)分子距縮小很多時(shí)，分子間才會(huì)出現(xiàn)斥力?？梢?，氣體具有很大的壓縮性。此外，因其分子距與分子平均直徑相比很大，以致分子間的吸引力微小，分子熱運(yùn)動(dòng)起決定性作用，所以氣體沒有一定形狀，也沒有一定的體積，它總是能均勻充滿容納它的容器而不能形成自由表面。不可壓縮流體與可壓縮流體不可壓縮流體

流體質(zhì)點(diǎn)的密度為常數(shù)的流體，或者密度隨壓強(qiáng)的變化很小的流體。液體一般是不可壓流體，但在一些特殊情況下，如聲波在液體中傳播，這時(shí)液體顯現(xiàn)出彈性，必須考慮可壓縮性。對(duì)于氣體，在壓強(qiáng)的變化與其絕對(duì)壓強(qiáng)相比很小時(shí)，也可以認(rèn)為是不可壓的，通?？梢杂民R赫（Mach）數(shù)來判斷氣體的可壓縮性?？蓧嚎s流體

流體質(zhì)點(diǎn)的密度為變數(shù)的流體?！?-2連續(xù)介質(zhì)假設(shè)連續(xù)介質(zhì)模型：1753年，歐拉，“宏觀流體模型”連續(xù)介質(zhì)假設(shè)：流體由流體質(zhì)點(diǎn)（大量分子所組成的一個(gè)流體微團(tuán)）組成，流體質(zhì)點(diǎn)充滿一個(gè)空間體積時(shí)不留任何空隙，流體質(zhì)點(diǎn)所攜帶的物理量是構(gòu)成質(zhì)點(diǎn)的分子物理量的統(tǒng)計(jì)平均值，因而其物理量（密度、壓強(qiáng)、溫度、速度等）是連續(xù)分布函數(shù)。

優(yōu)點(diǎn)：

連續(xù)函數(shù)可用微積分等數(shù)學(xué)工具來處理。

連續(xù)介質(zhì)模型適用于一般工程流體常溫常壓下，空氣分子數(shù)為：2.7×1016個(gè)分子/mm3.在10-9mm3體積內(nèi)，有空氣分子2.7×107個(gè)，足夠多的分子使流體的物理量仍具有統(tǒng)計(jì)平均的性質(zhì)

流體質(zhì)點(diǎn)的尺度要比分子運(yùn)動(dòng)的平均自由程大很多，同時(shí)又要比流場(chǎng)的體積小很多。

連續(xù)介質(zhì)模型在稀薄氣體、激波、微血管中不適用。非連續(xù)介質(zhì)模型分子動(dòng)力學(xué)（MD）

從研究流體分子的結(jié)構(gòu)和分子間相互作用出發(fā)，通過統(tǒng)計(jì)平均，獲得流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。格子波爾茲曼（LBM）方法

介于分子動(dòng)力學(xué)和連續(xù)介質(zhì)假設(shè)之間的一種方法，基于分子運(yùn)動(dòng)理論，通過跟蹤粒子分布函數(shù)的輸運(yùn)而后對(duì)分布函數(shù)求矩來獲得流體的宏觀平均特性。LBM方法在宏觀上是離散的，在微觀上是連續(xù)的，因此稱為介觀方法?！?-3流體的密度密度：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)的流體所具有的質(zhì)量，記作ρ，單位是kg/m3.流體由分子組成，分子間存在空隙，如果Δτ取在空隙里,ρ將為0.如果取在分子內(nèi),ρ將變得很大.因此,Δτ只能趨于一個(gè)比較小的值δV,這個(gè)δV

應(yīng)該是宏觀上足夠小,微觀上足夠大。δV

稱為流體微團(tuán)（流體質(zhì)點(diǎn)）的體積.

均質(zhì)流體中：ρ=M/V

非均質(zhì)流體中：ρ=dM/dV

比容，單位質(zhì)量流體所占據(jù)的體積，。重度，單位體積流體所受的重力。＝G/V＝g,g=9.80665m/s2液體的相對(duì)密度

標(biāo)準(zhǔn)溫度一般取4℃。密度與壓強(qiáng)和溫度有關(guān)溫度T和壓強(qiáng)p的變化，都會(huì)引起密度的變化.相對(duì)變化率：膨脹系數(shù)與彈性系數(shù)等溫壓縮系數(shù)（體積壓縮系數(shù)，m2/N）溫度膨脹系數(shù)（體積熱膨脹系數(shù)，K-1）體積彈性系數(shù)（表征液體的壓縮性，又叫彈性模量，N/m2）*E越大，可壓縮性越？，E→∞？表1-1列出了0℃水在不同壓強(qiáng)下的值。表1-10℃水在不同壓強(qiáng)下的值溫度T/℃體積熱膨脹系數(shù)α/(10-3K-1)00.063100.070200.182300.321400.387500.449600.511700.570800.632900.6951000.752表1-2不同溫度下水的體積熱膨脹系數(shù)理想氣體狀態(tài)方程：

ρ=p/RT氣體的等溫壓縮系數(shù)：

氣體的熱膨脹系數(shù)：§1-4流體的粘性

牛頓粘性實(shí)驗(yàn)（1687）：兩平板間充滿粘性液體，下板不動(dòng)，上板以常速U運(yùn)動(dòng)，實(shí)驗(yàn)表明，與上板接觸的液體以速度U隨上板運(yùn)動(dòng)，近貼下板的液體的速度為零。兩板間的液體的速度呈線性分布。實(shí)驗(yàn)表明，上板施加的力F，與速度U成正比，與上板面積A成正比，與距離h成反比。粘性:流體抵抗變形的能力，或者說阻礙流體微團(tuán)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的能力。流體的粘性實(shí)驗(yàn)流體的粘性實(shí)驗(yàn)粘性力：牛頓內(nèi)摩擦定律

（牛頓粘性定律）

為速度梯度，也稱角變形速率。μ稱為動(dòng)力粘性系數(shù)，單位是N·s/m2（或Pa·s）．=μ/ρ稱為運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)，單位是m2/s切應(yīng)力：如速度不是線性分布，則：牛頓粘性定律的一般形式應(yīng)力張量和速度梯度之間滿足

其中是動(dòng)力粘性系數(shù)，是容變（膨脹）粘性系數(shù)（），是粘性應(yīng)力。液體和氣體的粘性粘性產(chǎn)生的原因：①分子之間的內(nèi)聚力②流體層之間因?yàn)榉肿舆\(yùn)動(dòng)引起的動(dòng)量交換液體的粘性主要取決于分子內(nèi)聚力，溫度升高時(shí)，內(nèi)聚力降低，粘性系數(shù)變小氣體的粘性主要取決于分子的動(dòng)量交換，溫度升高時(shí)，分子的動(dòng)量交換加強(qiáng)，粘性系數(shù)變大。③所以是內(nèi)部力－－內(nèi)磨擦力

流體的粘性在兩個(gè)流體層中起著傳遞切應(yīng)力的作用。要使物體在粘性流體中保持運(yùn)動(dòng)，就必須對(duì)物體施加動(dòng)力以克服粘性阻力。粘性阻力是作用物體上的粘性切應(yīng)力的總和。水的粘性與溫度的關(guān)系

空氣的粘性與溫度的關(guān)系

粘性系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式水：氣體：其中：t為攝式溫度，oC；T為絕對(duì)溫度，K；對(duì)不同氣體，0、c的取值不同。理想流體與粘性流體

理想流體通常定義為內(nèi)部沒有摩擦的流體，稱為無粘性流體。許多流體遠(yuǎn)離固體壁面處可認(rèn)為接近于理想流體。牛頓流體與非牛頓流體

粘性系數(shù)μ不隨變形率（速度梯度）改變的流體，稱為牛頓流體。μ隨變形率改變的流體，稱為非牛頓流體。牛頓流體：如水、空氣等。非牛頓流體有：膨脹性流體，如漿糊，云母懸浮液，流砂等偽塑性流體，如油漆，紙漿，高分子溶液等賓亥姆流體，如泥漿，污水，有機(jī)膠體等塑性流體，如橡膠舉例:幾種速度呈線性分布的潤滑流動(dòng)粘性力的計(jì)算例1

兩個(gè)單位長(zhǎng)度的圓柱筒的間隙為δ,半徑r1的內(nèi)筒以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。

解：內(nèi)筒的線速度ωr1

切應(yīng)力：

力矩：

例2半徑為r1的圓盤浮在厚度為δ的潤滑油表面,以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng),求所施加的力矩M.解:

離轉(zhuǎn)軸r處的線速度ωr該處的切應(yīng)力τ=μωr/δ所施加的力矩例3

內(nèi)外管筒軸,內(nèi)管半徑為r1,長(zhǎng)為L(zhǎng),兩管之間隙為δ,其內(nèi)充滿粘性流體,試求為保持內(nèi)管作常速U運(yùn)動(dòng)所需外力F。內(nèi)管運(yùn)動(dòng)所需外力解：內(nèi)管表面的粘性切應(yīng)力r流體的粘度不能直接測(cè)量，它們的數(shù)值往往是通過測(cè)量與其有關(guān)的其它物理量，再由有關(guān)方程進(jìn)行計(jì)算而得到的。測(cè)量方法有許多種，所要測(cè)量的物理量也不盡相同。管流法，即讓待測(cè)粘度的流體，以一定的流量流過已知管徑的細(xì)管，再在細(xì)管的一定長(zhǎng)度上用測(cè)壓計(jì)測(cè)出這段管道上的壓降，從而通過層流管流的哈根-普索勒（Hagen-Poiseuille）流量定律（見教材4.3）計(jì)算出流體的粘度。粘度的測(cè)量落球法，一般用于粘度大的流體。使已知直徑和質(zhì)量的小球沿盛有待測(cè)粘度液體的玻璃圓管中心線垂直降落，測(cè)量小球在液體中自由沉降的速度，由此速度計(jì)算該液體的粘度。W是重力，F(xiàn)B是浮力，F(xiàn)D是摩擦阻力，根據(jù)斯托克斯定律（1845），如果雷諾數(shù)，小球的摩擦阻力為，在平衡狀況下，有其中γs和γ分別是小球和液體的重度，由上式得考慮管壁效應(yīng)，做如下修正Dt是管的直徑，Vt是在管中的沉降速度，上式要求D/Dt<1/3才成立。旋轉(zhuǎn)法，在兩個(gè)有不同直徑的同心圓筒的環(huán)形間隙中，充以待測(cè)粘度液體，其中一圓筒固定，另一圓筒以已知角速度旋轉(zhuǎn)，測(cè)定出旋轉(zhuǎn)力矩，便可計(jì)算出流體的粘度。泄流法，使已知溫度和體積的待測(cè)液體通過儀器下部已知管徑的短管自由泄流而出，測(cè)定規(guī)定體積的液體全部流出的時(shí)間，與同樣體積已知粘度的液體的泄流時(shí)間相比較，從而推求出待測(cè)液體的粘度。粘度的測(cè)量

工業(yè)粘度計(jì)：我國目前采用的是恩格勒(Engler)粘度計(jì)；(英國采用Redwood粘度計(jì)，美國采用Saybolt粘度計(jì)，它們的原理都是一樣的)其測(cè)定結(jié)果為恩氏度，用oE表示，結(jié)構(gòu)。測(cè)定實(shí)驗(yàn)方法如下先用木制針閥將錐形短管的通道關(guān)閉，把220cm3的蒸餾水注入貯液罐1，開啟水箱2中的電加熱器，加熱水箱中的水，以便加熱貯液罐中的蒸餾水,使其溫度達(dá)到20℃，并保持不變；然后迅速提起針閥，使蒸餾水經(jīng)錐形通道泄入長(zhǎng)頸瓶4至容積為200cm3，記錄所需的時(shí)間t；然后用同樣的程序測(cè)定待測(cè)液體流出200cm3所需的時(shí)間t’，(待測(cè)液體的溫度應(yīng)為給定的溫度)。待測(cè)液體在給定溫度T下的恩氏（粘）度為恩氏粘度與運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)的換算公式(cm2/s)圖1-4恩格勒粘度計(jì)貯液罐水箱電加熱器長(zhǎng)頸瓶§1-5表面張力表面張力

—流體自由表面在分子作用半徑范圍的薄層內(nèi)由于分子引力大于斥力而產(chǎn)生的沿表面切向的拉力。表面張力系數(shù)σ（N/m）§1-5表面張力

表面張力與表面曲率半徑的關(guān)系：

二維曲面：

設(shè)曲率半徑為R，垂直于紙面的長(zhǎng)度為一單位，

曲率角為△α，液體與氣體的壓強(qiáng)差為p-p0，根

據(jù)徑向力平衡，有

三維曲面：如果兩個(gè)主曲率半徑為R1和R2，則有稱為楊-拉普拉斯（Young-Laplace）公式（1805）。楊-拉普拉斯公式的一般推導(dǎo)1.在任意彎曲取小矩形曲面ABCD（紅色面），其面積為xy。曲面邊緣AB和BC弧的曲率半徑分別為R1’和R2’。2.做曲面兩個(gè)相互垂直的正截面，交線Oz為O點(diǎn)的法線。3.令曲面沿法線方向移動(dòng)dz，使曲面擴(kuò)大到A’B’C’D’（藍(lán)色面），則x與y各增加dx和dy。4.移動(dòng)后，曲面面積增加dA，體積增加dV5.增加dA面積所做的功與克服壓強(qiáng)差p-p0增加dV