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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為9,若點(diǎn),則的最大值為()A.3 B.6 C.9 D.122.已知數(shù)列滿(mǎn)足,且成等比數(shù)列.若的前n項(xiàng)和為,則的最小值為()A. B. C. D.3.正的邊長(zhǎng)為2,將它沿邊上的高翻折,使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為,此時(shí)四面體的外接球表面積為()A. B. C. D.4.已知為兩條不重合直線,為兩個(gè)不重合平面,下列條件中,的充分條件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.5.已知等差數(shù)列中,,則()A.20 B.18 C.16 D.146.若的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng),且的最小值為,則()A. B. C. D.7.以下四個(gè)命題:①兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1;②在回歸分析中,可用相關(guān)指數(shù)的值判斷擬合效果,越小,模型的擬合效果越好;③若數(shù)據(jù)的方差為1,則的方差為4;④已知一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù),其線性回歸方程,則“滿(mǎn)足線性回歸方程”是“,”的充要條件;其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.18.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(其中i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的虛部是()A. B.1 C. D.i9.已知,則下列不等式正確的是()A. B.C. D.10.已知直線:與橢圓交于、兩點(diǎn),與圓:交于、兩點(diǎn).若存在,使得,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B. C. D.11.費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國(guó)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的,形如的素?cái)?shù)(如:)為費(fèi)馬索數(shù),在不超過(guò)30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是()A. B. C. D.12.明代數(shù)學(xué)家程大位(1533~1606年),有感于當(dāng)時(shí)籌算方法的不便,用其畢生心血寫(xiě)出《算法統(tǒng)宗》,可謂集成計(jì)算的鼻祖.如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問(wèn)題.執(zhí)行該程序框圖,若輸出的的值為,則輸入的的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)在上的最小值和最大值分別是_____________.14.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),,若點(diǎn)B(x,y)滿(mǎn)足,則的最大值是__________.15.如圖,在平行四邊形中,,,則的值為_(kāi)____.16.已知向量滿(mǎn)足,且,則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),,,動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足,點(diǎn)為線段的中點(diǎn),拋物線:上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)滿(mǎn)足,試判斷是否為定值,若是,求這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.18.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)如圖,在棱長(zhǎng)為的正方形中,,分別為,邊上的中點(diǎn),現(xiàn)以為折痕將點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)的位置,使得為直二面角.(1)證明:;(2)求與面所成角的正弦值.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(是參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線與曲線的普通方程,并求出直線的傾斜角;(2)記直線與軸的交點(diǎn)為是曲線上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)的最大距離.21.(12分)如圖,在三棱錐中,,是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,平面,平面平面,為銳角三角形,求證:(1)是的中點(diǎn);(2)平面平面.22.(10分)已知數(shù)列和滿(mǎn)足,,,,.(Ⅰ)求與;(Ⅱ)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,若對(duì),恒成立,求正整數(shù)的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
分析:先畫(huà)出滿(mǎn)足約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用平面區(qū)域的面積為9求出,然后分析平面區(qū)域多邊形的各個(gè)頂點(diǎn),即求出邊界線的交點(diǎn)坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值.詳解:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示:則,所以平面區(qū)域的面積,解得,此時(shí),由圖可得當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值9,故選C.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問(wèn)題,在求解的過(guò)程中,首先需要正確畫(huà)出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域,之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式,判斷z的幾何意義,之后畫(huà)出一條直線,上下平移,判斷哪個(gè)點(diǎn)是最優(yōu)解,從而聯(lián)立方程組,求得最優(yōu)解的坐標(biāo),代入求值,要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種:斜率型、截距型、距離型;根據(jù)不同的形式,應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.2.D【解析】
利用等比中項(xiàng)性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項(xiàng),進(jìn)而求得,再利用二次函數(shù)的性質(zhì),可得當(dāng)或時(shí),取到最小值.【詳解】根據(jù)題意,可知為等差數(shù)列,公差,由成等比數(shù)列,可得,∴,解得.∴.根據(jù)單調(diào)性,可知當(dāng)或時(shí),取到最小值,最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)性質(zhì)、等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意當(dāng)或時(shí)同時(shí)取到最值.3.D【解析】
如圖所示,設(shè)的中點(diǎn)為,的外接圓的圓心為,四面體的外接球的球心為,連接,利用正弦定理可得,利用球心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形,最后利用勾股定理可求外接球的半徑,從而可得外接球的表面積.【詳解】如圖所示,設(shè)的中點(diǎn)為,外接圓的圓心為,四面體的外接球的球心為,連接,則平面,.因?yàn)椋?,因?yàn)?,?由正弦定理可得,故,又因?yàn)椋?因?yàn)?,故平面,所以,因?yàn)槠矫?,平面,故,故,所以四邊形為平行四邊形,所以,所以,故外接球的半徑為,外接球的表面積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計(jì)算,還考查正弦定理和余弦定理,折疊問(wèn)題注意翻折前后的變量與不變量,外接球問(wèn)題注意先確定外接球的球心的位置,然后把半徑放置在可解的直角三角形中來(lái)計(jì)算,本題有一定的難度.4.D【解析】
根據(jù)面面垂直的判定定理,對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.【詳解】對(duì)于A,當(dāng),,時(shí),則平面與平面可能相交,,,故不能作為的充分條件,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng),,時(shí),則,故不能作為的充分條件,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng),,時(shí),則平面與平面相交,,,故不能作為的充分條件,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng),,,則一定能得到,故D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判斷問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項(xiàng)與公差,進(jìn)而求得即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為,因?yàn)檎归_(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng),所以,即為整數(shù),故n的最小值為1.所以.故選C點(diǎn)睛:求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫(xiě)出第項(xiàng),再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng),求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng),再由通項(xiàng)寫(xiě)出第項(xiàng),由特定項(xiàng)得出值,最后求出其參數(shù).7.C【解析】
①根據(jù)線性相關(guān)性與r的關(guān)系進(jìn)行判斷,
②根據(jù)相關(guān)指數(shù)的值的性質(zhì)進(jìn)行判斷,
③根據(jù)方差關(guān)系進(jìn)行判斷,
④根據(jù)點(diǎn)滿(mǎn)足回歸直線方程,但點(diǎn)不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn),而回歸直線必過(guò)樣本中心點(diǎn),可進(jìn)行判斷.【詳解】①若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1,故①正確;
②用相關(guān)指數(shù)的值判斷模型的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好,故②錯(cuò)誤;
③若統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的方差為1,則的方差為,故③正確;
④因?yàn)辄c(diǎn)滿(mǎn)足回歸直線方程,但點(diǎn)不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn),即,不一定成立,而回歸直線必過(guò)樣本中心點(diǎn),所以當(dāng),時(shí),點(diǎn)必滿(mǎn)足線性回歸方程;因此“滿(mǎn)足線性回歸方程”是“,”必要不充分條件.故④錯(cuò)誤;
所以正確的命題有①③.
故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性,擬合性檢驗(yàn),兩個(gè)線性相關(guān)的變量間的方差的關(guān)系,以及兩個(gè)變量的線性回歸方程,注意理解每一個(gè)量的定義,屬于基礎(chǔ)題.8.A【解析】
由虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)可得,則答案可求.【詳解】解:∵,∴,,則化為,∴z的虛部為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)、復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】
利用特殊值代入法,作差法,排除不符合條件的選項(xiàng),得到符合條件的選項(xiàng).【詳解】已知,賦值法討論的情況:(1)當(dāng)時(shí),令,,則,,排除B、C選項(xiàng);(2)當(dāng)時(shí),令,,則,排除A選項(xiàng).故選:D.【點(diǎn)睛】比較大小通常采用作差法,本題主要考查不等式與不等關(guān)系,不等式的基本性質(zhì),利用特殊值代入法,排除不符合條件的選項(xiàng),得到符合條件的選項(xiàng),是一種簡(jiǎn)單有效的方法,屬于中等題.10.A【解析】
由題意可知直線過(guò)定點(diǎn)即為圓心,由此得到坐標(biāo)的關(guān)系,再根據(jù)點(diǎn)差法得到直線的斜率與坐標(biāo)的關(guān)系,由此化簡(jiǎn)并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè),且線過(guò)定點(diǎn)即為的圓心,因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用,著重考查了橢圓離心率求解以及點(diǎn)差法的運(yùn)用,難度一般.通過(guò)運(yùn)用點(diǎn)差法達(dá)到“設(shè)而不求”的目的,大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.11.B【解析】
基本事件總數(shù),能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有,,,共有個(gè),根據(jù)古典概型求出概率.【詳解】在不超過(guò)的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有,,,共有個(gè)則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.12.C【解析】
根據(jù)程序框圖依次計(jì)算得到答案.【詳解】,;,;,;,;,此時(shí)不滿(mǎn)足,跳出循環(huán),輸出結(jié)果為,由題意,得.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的計(jì)算,意在考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
求導(dǎo),研究函數(shù)單調(diào)性,分析,即得解【詳解】由題意得,,令,解得,令,解得.在上遞減,在遞增.,而,故在區(qū)間上的最小值和最大值分別是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值的求解中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題14.【解析】,可行域如圖,直線與圓相切時(shí)取最大值,由15.【解析】
根據(jù)ABCD是平行四邊形可得出,然后代入AB=2,AD=1即可求出的值.【詳解】∵AB=2,AD=1,∴=1﹣4=﹣1.故答案為:﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則,相等向量和相反向量的定義,向量數(shù)量積的運(yùn)算,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
由數(shù)量積的運(yùn)算律求得,再由數(shù)量積的定義可得結(jié)論.【詳解】由題意,∴,即,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的夾角,掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)由題知|PF1|+|PF2|2|F1F2|,判斷動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W是橢圓,寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算和點(diǎn)A在拋物線上求出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),再表示出點(diǎn)N和Q的坐標(biāo),根據(jù)題意求出的值,即可判斷結(jié)果是否成立.【詳解】(1)由題知,,所以,因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn)的橢圓,又知,,所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.又由題知,所以,所以,又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,所以,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè),,由題知,所以,即,所以,又因?yàn)?,,所以,所以為定值,且定值?.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,考查拋物線的幾何性質(zhì)及點(diǎn)在曲線上的代換,也考查了推理與運(yùn)算能力,是中檔題.18.(1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2).【解析】
(1)對(duì)a分三種情況討論求出函數(shù)的單調(diào)性;(2)對(duì)a分三種情況,先求出每一種情況下函數(shù)f(x)的最小值,再解不等式得解.【詳解】(1),當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,,,,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,,,,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)由(1)可知:當(dāng)時(shí),,∴成立.當(dāng)時(shí),,,∴.當(dāng)時(shí),,,∴,即.綜上.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的恒成立問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19.(1)證明見(jiàn)詳解;(2)【解析】
(1)在折疊前的正方形ABCD中,作出對(duì)角線AC,BD,由正方形性質(zhì)知,又//,則于點(diǎn)H,則由直二面角可知面,故.又,則面,故命題得證;(2)作出線面角,在直角三角形中求解該角的正弦值.【詳解】解:(1)證明:在正方形中,連結(jié)交于.因?yàn)?/,故可得,即又旋轉(zhuǎn)不改變上述垂直關(guān)系,且平面,面,又面,所以(2)因?yàn)闉橹倍娼?,故平面平?又其交線為,且平面,故可得底面,連結(jié),則即為與面所成角,連結(jié)交于,在中,,在中,.所以與面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的證明與性質(zhì),利用定義求線面角,屬于中檔題.20.(1),,直線的傾斜角為(2)【解析】
(1)由公式消去參數(shù)得普通方程,由公式可得直角坐標(biāo)方程后可得傾斜角;(2)求出直線與軸交點(diǎn),用參數(shù)表示點(diǎn)坐標(biāo),求出,利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最大值.【詳解】(1)由,消去得的普通方程是:由,得,將代入上式,化簡(jiǎn)得直線的傾斜角為(2)在曲線上任取一點(diǎn),直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值.【點(diǎn)睛】本題考查
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