第11章 塑性成形力學(xué)的工程應(yīng)用

第十一章塑性成形力學(xué)的工程應(yīng)用第一節(jié)金屬塑性成形問題的求解方法概述

對于一般空間問題，在三個平衡微分方程和一個屈服準(zhǔn)則中，共包含六個未知數(shù)，屬靜不定問題。再利用六個應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式（本構(gòu)方程）和三個變形連續(xù)性方程，共得十三個方程，包含十三個未知數(shù)（六個應(yīng)力分量，六個應(yīng)變或應(yīng)變速率分量，一個塑性模量），方程式和未知數(shù)相等。但是，這種數(shù)學(xué)解析法只有在某些特殊情況下才能解，而對一般的空間問題，數(shù)學(xué)上的精確解極其困難。

塑性成形力學(xué)解析的最精確的方法，是聯(lián)解塑性應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)的基本方程。1．主應(yīng)力法（又稱初等解析法）從塑性變形體的應(yīng)力邊界條件出發(fā)，建立簡化的平衡方程和屈服條件，并聯(lián)立求解，得出邊界上的正應(yīng)力和變形的力能參數(shù)，但不考慮變形體內(nèi)的應(yīng)變狀態(tài)。2．滑移線法假設(shè)材料為剛塑性體，在平面變形狀態(tài)下，塑變區(qū)內(nèi)任一點存在兩族正交的滑移線族。根據(jù)這一原理結(jié)合邊界條件可解出滑移線場和速度場，從而求出塑變區(qū)內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)和瞬時流動狀態(tài)，計算出力能參數(shù)。3．上限法從變形體的速度邊界條件出發(fā)，對塑變區(qū)取較大的單元，根據(jù)極值原理，求出塑變能為極小值時滿足變形連續(xù)條件和體積不變條件時的動可容速度場，計算出力能參數(shù)，但不考慮塑變區(qū)內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)是否滿足平衡方程。4．有限元法5.板料成形理論

對大量實際問題，則是進行一些簡化和假設(shè)來求解。根據(jù)簡化方法的不同，求解方法有下列幾種。

主應(yīng)力法是金屬塑性成形中求解變形力的一種近似解法。它通過對應(yīng)力狀態(tài)作一些近似假設(shè)，建立以主應(yīng)力表示的簡化平衡方程和塑性條件，使求解過程大大簡化。其基本要點如下：第二節(jié)主應(yīng)力法及其求解要點（1）把變形體的應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)簡化成平面問題（包括平面應(yīng)變狀態(tài)和平面應(yīng)力狀態(tài)）或軸對稱問題，以便利用比較簡單的塑性條件，即:（2）根據(jù)金屬流動的方向，沿變形體整個（或部分）截面（一般為縱截面）切取包含接觸面在內(nèi)的基元體，且設(shè)作用于該基元體上的正應(yīng)力都是均布的主應(yīng)力。

（4）將經(jīng)過簡化的平衡微分方程和塑性條件聯(lián)立求解，并利用邊界條件確定積分常數(shù)，求得接觸面上的應(yīng)力分布，進而求得變形力。

（3）在對基元體列塑性條件時，假定接觸面上的正應(yīng)力為主應(yīng)力，即忽略摩擦力對塑性條件的影響(忽略切應(yīng)力)，從而使塑性條件大大簡化。即有：（當(dāng)>）。

由于經(jīng)過簡化的平衡方程和屈服方程實質(zhì)上都是以主應(yīng)力表示的，故此得名“主應(yīng)力法”。又因這種解法是從切取基元體或基元板塊著手的，故也形象地稱為“切塊法”（Slabmethod）。

第三節(jié)主應(yīng)力法的應(yīng)用

（1）切取基體。一、長矩形板坯變形力

設(shè)長矩形板坯在變形某瞬時的寬度為a，高度為h，長度為l(la)，故可近似地認(rèn)為坯料沿l向無變形，屬于平面變形問題。用主應(yīng)力法計算變形力的步驟如下：可忽略長矩形板坯長度方向的變形!（2）列出基元體沿x軸方向的平衡微分方程。

（3）采用常摩擦條件。（m為摩擦因子，）(19-1)

（5）聯(lián)解平衡微分方程和簡化屈服方程(19-1)、（19-2）

，并將摩擦條件代入得：圖19-2平行砧板間平面應(yīng)變鍛粗及垂直應(yīng)力的分布圖形（4）列出的簡化屈服方程。因為式（19-1）中的應(yīng)力代表其絕對值，對于鐓粗變形，可判斷出的絕對值必大于的絕對值，所以有（19-2）（7）將應(yīng)力沿接觸面積分可求出鐓粗力和單位壓力。

（6）利用應(yīng)力邊界條件求積分常數(shù)C：當(dāng)，時有所以得（19-3）的分布圖形見圖19-2b)所示。（19-4）（19-4a）式中的表示工件外端（）處的垂直壓應(yīng)力（絕對值），若該處為自由表面有，則由式（19-2）得；由式（19-3）和式（19-4a），可方便求出寬度為a、高度為h的工件平面應(yīng)變自由鐓粗時接觸面上的壓應(yīng)力和單位變形力p

（均為絕對值）（把和代入（19-3）式即可）（19-5）（19-6）圖19-3表示平行砧板間的軸對稱鐓粗。圖中基元板塊的平衡方程式為二、軸對稱鐓粗的變形力圖19-3軸對稱鐓粗變形及基元板塊受力分析以下不講!因是一極小微量，故，同時略去二階微量，

則上式化簡為假定為均勻鐓粗變形，有得（19-7）所以按絕對值的簡化屈服方程，因，故有:聯(lián)解得（19-8）接觸面滿足常摩擦條件，對上式進行積分得當(dāng)（19-9）（19-10）時得

為工件外端（）處的垂直壓應(yīng)力。若該處為自由表面，則可由上述公式求出高度為h、直徑為d的圓柱體自由鐓粗時接觸面上的壓應(yīng)力和單位變形力p：（19-11）否則由相鄰變形區(qū)提供的邊界條件確定。則；若（19-12）

圓柱體從錐形凹模擠出或鍛件充填圓錐形?？祝ㄇ唬┬纬赏古_屬于這種類型。

三、通過圓錐孔型擠壓的變形力第四節(jié)滑移線的基本理論(不講)

因為最大切應(yīng)力成對出現(xiàn)，相互正交，因此，滑移線在變形體內(nèi)呈兩族互相正交的網(wǎng)絡(luò)，即所謂的滑移線場。

滑移線就是塑性變形體內(nèi)最大切應(yīng)力的軌跡線?；凭€法就是針對具體的變形過程，建立滑移線場，然后利用滑移線的特性求解塑性成形問題，確定變形體內(nèi)的應(yīng)力分布和速度分布，進而計算變形力，分析變形和決定毛坯的合理外形、尺寸等。嚴(yán)格地說，滑移線法只適用于求解理想剛塑性材料的平面變形問題，但對于主應(yīng)力互為異號的平面應(yīng)力問題，某些軸對稱問題以及有硬化的材料，也可推廣應(yīng)用。

一、平面變形應(yīng)力狀態(tài)的特點

鏈接一、平面變形應(yīng)力狀態(tài)的特點

（19-21）最大切應(yīng)力為：而作用在最大切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力恰好等于中間主應(yīng)力或平均應(yīng)力，即由應(yīng)力莫爾圓的幾何關(guān)系可知有如下關(guān)系：式中，ω是最大切應(yīng)力平面與x軸的夾角。鏈接過點P并標(biāo)注其應(yīng)力分量的微分面為物理平面，如圖19-6d所示。顯然，應(yīng)力莫爾圓上一點對應(yīng)一個物理平面，應(yīng)力莫爾圓上兩點之間的夾角為相應(yīng)物理平面間夾角的兩倍。

對于理想剛塑性材料，K為常數(shù)平面塑性應(yīng)變狀態(tài)的三個主應(yīng)力也可以用平均應(yīng)力與最大切應(yīng)力K來表示，將一點的代數(shù)值最大的主應(yīng)力的指向稱為第一主方向（的作用線）。由第一主方向順時針轉(zhuǎn)所確定的最大切應(yīng)力，符號為正，其指向稱為第一剪切方向。另一最大切應(yīng)力方向稱為第二剪切方向。第一、第二兩剪切方向相互正交。

二、最大切應(yīng)力跡線——滑移線的形成

圖19-7滑移線網(wǎng)絡(luò)的形成一族稱α為滑移線，另一族稱為β滑移線?；凭€場中，兩條滑移線的交點稱為節(jié)點。

滑移線場與主應(yīng)力跡線場相交成45°角。已知滑移線場便可作出主應(yīng)力跡線場，反之，已知主應(yīng)力跡線場也可作出滑移線場。

三、關(guān)于α、β滑移線和ω角的規(guī)定（2）滑移線兩側(cè)的最大切應(yīng)力組成順時針方向的為α族線，組成逆時針方向的為β族線；（3）當(dāng)已知主應(yīng)力σ1和σ3方向時，將它們沿順時針方向旋轉(zhuǎn)450角，即得α、β族線。（1）當(dāng)α、β族線構(gòu)成右手坐標(biāo)系時，代數(shù)值最大的主應(yīng)力σ1的作用方向位于第一與第三象限（4）α線的切線方向與ox軸的夾角以ω表示，并規(guī)定ox軸的正向為ω角的量度起始線，逆時針旋轉(zhuǎn)形成的ω角為正，順時針旋轉(zhuǎn)形成的ω角為負(fù)。

由圖可知四、滑移線的微分方程（19-23）滑移線的微分方程為五、滑移線的主要特性（一）漢基（H．Hencky）應(yīng)力方程

(19-24)

（二）

滑移線的沿線特性

漢基應(yīng)力方程是滑移線場理論中很重要的公式，根據(jù)漢基應(yīng)力方程可推導(dǎo)出滑移線場的一些主要特性。（19-25）（1）若滑移線場已經(jīng)確定，且已知一條滑移線上任一點的平均應(yīng)力，則可確定該滑移線場中各點的應(yīng)力狀態(tài)。（2）若滑移線為直線，則此直線上各點的應(yīng)力狀態(tài)相同。（3）如果在滑移線場的某一區(qū)域內(nèi)，兩族滑移線皆為直線，則此區(qū)域內(nèi)各點的應(yīng)力狀態(tài)相同，稱為均勻應(yīng)力場。

幾點結(jié)論：（三）漢基第一定理（跨線特性）及其推論

同一族的一條滑移線轉(zhuǎn)到另一條滑移線時，則沿另一族的任一條滑移線方向角的變化及平均應(yīng)力的變化均為常數(shù)。

（19-26）由式（19-26）可知，若單元網(wǎng)絡(luò)三個節(jié)點上的值為已知，則第四個節(jié)點上的值即可求出。

圖19-11推論示意圖從漢基第一定理可得出如下推論：若一族的一條滑移線的某一區(qū)段為直線段，則被另一族滑移線所截得的該族滑移線的所有相應(yīng)線段皆為直線（見圖19-11）。

滑移線場的建立概括起來有兩種方法，即分析推理法（也稱簡化圖解法）和數(shù)值解析法。分析推理法是根據(jù)塑性區(qū)內(nèi)金屬流動情況，將塑性變形區(qū)分成若干小區(qū)，各小區(qū)中滑移線場為已知的簡單的滑移線場，各小區(qū)拼接處和整個滑移線場邊界都應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。六、滑移線場的建立1．不受力的自由表面自由表面上一點的應(yīng)力狀態(tài)，可分為兩種情形：（一）塑性區(qū)的應(yīng)力邊界條件自由表面上有，所以，即兩族滑移線與自由表面相交成。(a)（圖19-12a）(b)（圖19-12b）由于接觸表面上無摩擦，即，則與不受力的自由表面情況一樣，，兩族滑移線與接觸表面相交成，如圖19-13所示。

2．無摩擦的接觸表面圖19-13無摩擦接觸表面處的滑移線3．

摩擦切應(yīng)力達(dá)到最大值K的接觸面

由于接觸表面上，則，或，即一族滑移線與接觸表面相切，另一族滑移線與之正交。

4．摩擦切應(yīng)力為某一中間值的接觸表面此時，接觸面上的摩擦切應(yīng)力為0<<K。根據(jù)式（19-21）有（19-27）將的數(shù)值代人式（19-27）可求得的兩個解。但它的正確解應(yīng)根據(jù)、的代數(shù)值并利用應(yīng)力莫爾圓來確定。確定后，即可確定線和線，如圖19-15所示。

圖19-15摩擦切應(yīng)力為某一中間值的接觸表面處的滑移線（二）常見的滑移線場類型1．直線滑移線場2．簡單滑移線場(1)有心扇形場(2)無心扇形場

3．直線滑移線場與簡單滑移線場的組合

4．由兩族相互正交的光滑曲線所構(gòu)成的滑移線場(1)當(dāng)圓弧邊界面為自由表面或其上作用有均布的法向應(yīng)力時，其滑移線場由正交的對數(shù)螺旋線所構(gòu)成，如圖19-19a所示。(2)粗糙平行剛性板間壓縮時，相應(yīng)于接觸面上摩擦力達(dá)到最大值的那一段，其滑移線場為正交的圓擺線，如圖19-19b所示。(3)兩個等半徑圓弧所構(gòu)成的滑移線場，也稱擴展的有心扇形場，如圖19-19c所示。

圖19-19兩族正交曲線構(gòu)成的滑移線場第五節(jié)滑移線法的應(yīng)用

(不講)

一、平?jīng)_頭壓入半無限體

大型自由鍛中剁刀切斷大鋼坯或用壓鐵在鍛件上局部壓入等工步的金屬變形狀態(tài)，可以看作是平?jīng)_頭壓入半無限體內(nèi)的塑性成形問題。如鋼坯尺寸很大，變形可以認(rèn)為是平面變形。設(shè)沖頭的寬度為2b，沖頭表面光滑，與坯料的接觸面上無摩擦力作用，現(xiàn)用滑移線法求解。1．

建立滑移線場

沖頭壓入時，沖頭下的金屬受壓縮而產(chǎn)生塑性變形，靠近沖頭兩側(cè)附近自由表面的金屬因受擠后而產(chǎn)生凸起的塑性變形。在沖頭兩側(cè)的自由表面上，由于無外力作用，根據(jù)滑移線的特性和應(yīng)力邊界條件，推知是均勻應(yīng)力場，CD為線,AC為線，均與自由表面AD成。2．

求平均單位壓力

由于對稱，取右半部分分析。

在滑移線場中任取一條連接自由表面和沖頭接觸面的線EF，E、F點的應(yīng)力可作應(yīng)力莫爾圓求得。對F點，為壓應(yīng)力E點在接觸面上均為壓應(yīng)力，其絕對值大于平?jīng)_頭單位長度上的壓力為在邊界AD上，在接觸面AO上EF為線由式（19-24）的第一式，有得或（19-28）（19-28a）（19-29）

按式（19-21）第二式，有所得結(jié)果與式（19-28）、（19-28a）相同。

對E、F點的應(yīng)力也可直接由式（19-21）求得，計算如下：F點所以E點，則因為區(qū)為均勻應(yīng)力場，所以單位流動壓力為或第六節(jié)塑性極值原理和上限法

(不講)

對于復(fù)雜的塑性成形問題，要求得一般的數(shù)學(xué)解是很困難的。通常采用近似方法求解塑性成形問題，得到的解有兩種類型：數(shù)值解和解析解。采用有限元法和有限差分法得到的是數(shù)值解。用主應(yīng)力法、滑移線法得出的是解析解，它們在求解時對問題本身和材料性質(zhì)都作了一些簡化處理和假設(shè)，難以得到準(zhǔn)確解。而極限分析法則是另一種解析法，這種方法從力學(xué)理論基礎(chǔ)上根本改變了近似和簡化途徑，使求解過程中不必解復(fù)雜的偏微分方程，并具有較可靠的解析結(jié)果。

一、概述如果在金屬塑性成形過程的力學(xué)問題求解中通過近似的方法簡化求解過程并排除復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算，從而得出的載荷大于或小于這個真實的極限載荷，則所得出的解稱為界限載荷。因此，極限分析的計算方法分為上限法與下限法，求解界限載荷的理論分為上限定理與下限定理。

在塑性成形理論中，對理想塑性材料的工件當(dāng)載荷增加到某一數(shù)值時，即使載荷不再繼續(xù)增加，塑性變形也會自然的發(fā)展，這時工件達(dá)到所謂極限狀態(tài)，這樣的載荷值稱為極限載荷。極限載荷極限分析計算的界限載荷與實測載荷的誤差一般約在（10～15）%，在工程應(yīng)用的許可范圍之內(nèi)，因其計算簡單，在工藝分析計算中得到廣泛的應(yīng)用。特別是上限法得出的結(jié)果略大于真實載荷，正符合于鍛壓設(shè)備選擇與模具設(shè)計的安全要求。此外，上限法所依據(jù)的近似方法（虛擬的動可容速度場）能夠用實驗觀察或用滑移線場找到參考依據(jù)，因此，這種方法在工程中得到廣泛的應(yīng)用，它除了用來估算成形過程的力能參數(shù)外，還可用于金屬流動和變形分析、工藝參數(shù)和模具的優(yōu)化設(shè)計，以及工件內(nèi)部溫度場和缺陷的預(yù)測等。故此，下面將著重介紹界限法中的上限法及其應(yīng)用。

界限法的力學(xué)基礎(chǔ)是虛功原理。變形體的虛功原理可表述如下：如對載荷系（力系）作用下處于平衡狀態(tài)的變形體給予一符合約束條件的微小虛位移時，則外力在虛位移上所作的虛功，必等于變形體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛功（虛應(yīng)變能）。為了方便起見，也可用功增量表示。

二、虛功原理與基本能量方程式（19-35）圖19-28變形體邊界的劃分及其上的表面力Ti和位移增量dui在討論虛功方程時，變形體內(nèi)的位移（增量）場或速度場是處處連續(xù)的。而實際上，在剛塑性變形體內(nèi)可能存在位移（增量）或速度不連續(xù)的情形，這點必須加以考慮。

三、速度間斷現(xiàn)設(shè)變形體被速度間斷面SD分成①和②兩個區(qū)域；在微段dSD上的速度間斷情況如圖所示。根據(jù)塑性變形體積不變條件可知，垂直于dSD上的速度分量必須相等，否則材料將發(fā)生重疊或拉開。而切向速度分量可以不等，造成①、②區(qū)的相對滑動。其速度間斷值為

速度間斷面就是沿SD的一個速度急劇而連續(xù)變化的薄層區(qū)，如圖所示。變形體由于存在速度間斷，要消耗一定的剪切功率，其值為

(19-38）

圖19-30速度間斷薄層區(qū)如果變形體內(nèi)存在若干個速度間斷面，則所消耗的功率等于各個面所消耗功率的總和。

對于變形體存在速度間斷時的虛功（率）方程應(yīng)為

（19-39）當(dāng)變形體處于塑性屈服狀態(tài)，對剛塑性體而言，若應(yīng)變增量場一定,在所有滿足屈服準(zhǔn)則的應(yīng)力場中，與該應(yīng)變增量場符合應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力場所做的塑性功增量為最大，其表達(dá)式為四、最大散逸功原理-----是滿足同一屈服準(zhǔn)則的任意應(yīng)力偏量（場）?！?（19-40）式中，d-----是符合應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力偏量（場）和應(yīng)變增量（場）；五、上限法原理（2）變形體在變形時保持連續(xù)性，不發(fā)生重疊和開裂。（3）滿足體積不變條件。即用上限法計算極限載荷時，只假設(shè)塑變區(qū)的位移狀態(tài)為動可容速度場（或位移場），它滿足下列三個條件：.（1）滿足速度（或位移）的邊界條件，即在位移面Su上，=或=，或.為給定的真實速度或真實位移。..而不考慮應(yīng)力方面的條件，因此該速度（位移）場不一定是（一般不是）真實的速度（位移）場。依據(jù)此速度（位移）場所求得的極限載荷總是大于（最小等于）真實載荷，故稱上限法。

由于所假設(shè)的速度（位移）場只要求滿足動可容條件，現(xiàn)設(shè)有一動可容位移增量場，且變形體內(nèi)存在速度間斷面，其上的位移增量間斷值為，如圖19-33所示。將虛功方程用于動可容位移增量場和真實應(yīng)力場，參照式（19-39）有

（19-45）式中，表示真實應(yīng)力場