格林函數(shù)法和特征線法復(fù)習(xí)

Green函數(shù)法和特征線法

2012.11.16答疑時間：13周的周四，周五兩天地點(diǎn)：理科樓：具體分配如下周四上午（8:30-11:30）330劉老師和219張老師周四下午（2:10-5:10）330劉老師和316趙老師，周五上午219（8:30-11:30）張老師，316（10:10-11:50）王老師，周五下午（2:10-5:10）理科樓316的王老師和趙老師。這些時間段，大家可以到這些老師處答疑3格林函數(shù)對于在區(qū)域有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)我們有等式在邊界還不能直接由(1)式求出。此積分表達(dá)式表示函數(shù)但狄利克雷問題或諾依曼問題的解上的數(shù)值表示出來。中為調(diào)和函數(shù)，在及其法向?qū)?shù)上具(1)內(nèi)部的數(shù)值在區(qū)域可以用函數(shù)44.2格林函數(shù)對于在區(qū)域有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)我們有等式由于在邊界因此比如，對于狄利克雷問題，上狄利克雷問題的解是惟一的，上的值就不知道，的值就不能再任意給定了。中為調(diào)和函數(shù)，在而上具(1)上的值是已在給定的，在邊界比如，對于狄利克雷問題，而上的值是已在54.2格林函數(shù)對于在區(qū)域有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)我們有等式所以為了求解狄利克雷問題，函數(shù)的概念。中為調(diào)和函數(shù)，在上具(1)我們自然首先想到從公式(1)中設(shè)法消去還需要借助格林第二公式(2)為此，需要引入格林6(1)(2)在格林第二公式(2)中，取調(diào)和函數(shù)，均為區(qū)域?qū)⑸鲜脚c(1)式相加得內(nèi)的并且在則得上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，(3)7(1)(2)如果選取調(diào)和函數(shù)(3)使之滿足項(xiàng)就消失了，這樣(3)式中的于是有(4)8選取的調(diào)和函數(shù)滿足于是有(4)令(5)則(4)式可表示為(6)稱為拉普拉斯方程的格林函數(shù)其中(或上恒等于0.稱為狄利克雷問題的源函數(shù)).在而且邊界9(7)(5)(6)已經(jīng)知道，因此，如果格林函數(shù)并且上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。如果拉普拉斯方程的狄利克雷問題上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的解存在的話，在它在那么問題(7)的解可表示為(8)10(5)已經(jīng)知道，因此，如果格林函數(shù)并且上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，對于泊松方程的狄利克雷問題而言上如果存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的解，在它在解必能表示為則這個(8)11(5)應(yīng)用(8)求解拉普拉斯方程的狄利克雷問題時，關(guān)鍵在于要找到格林函數(shù)(5)是下面特殊的狄利克雷問題的解由這個函數(shù)問題的格林函數(shù)。其中確定的格林函數(shù)，稱為第一邊值(8)(9)(對于某些特殊區(qū)域，如球域、半空間等，可求出格林函數(shù))12補(bǔ)充3

定義平面上第一邊值問題的格林函數(shù)并為此，我們需要借助公式和平面上的格林公式導(dǎo)出該問題解的積分表達(dá)式(1’)(2’)13在格林公式(2’)中，取調(diào)和函數(shù)，均為區(qū)域?qū)⑸鲜脚c(1’)式相加得內(nèi)的并且在，則得上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)(3’)(2’)(1’)14如果選取調(diào)和函數(shù)滿足項(xiàng)就消失了，這樣(3’)式中的于是有(4’)(2’)(1’)(3’)15令(5’)則(4’)式可表示為(6’)稱為二維拉普拉斯方程的格林函數(shù)其中上恒等于0.(或稱狄利克雷問題的源函數(shù)).在而且邊界(4’)16(7’)已經(jīng)知道，因此，如果格林函數(shù)并且上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。如果二維拉普拉斯方程的狄利克雷問題上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的解存在的話，在它在那么問題(7’)的解可表示為(8’)(5’)(6’)17應(yīng)用(6’)求解拉普拉斯方程狄利克雷問題時，關(guān)鍵在于要找到格林函數(shù)(5’)是下面特殊的狄利克雷問題的解由這個函數(shù)問題的格林函數(shù)。其中確定的格林函數(shù)，稱為第一邊值(9’)(對于某些特殊區(qū)域，如圓域、半平面等，可求出格林函數(shù))(5’)(6’)18(5)格林函數(shù)的幾個重要性質(zhì)：格林函數(shù)當(dāng)處處滿足拉普拉斯方程，一點(diǎn)外在除去性質(zhì)1相同。趨于無窮大，時，其階數(shù)和在邊界恒等于0.上格林函數(shù)性質(zhì)2在區(qū)域內(nèi)，下面不等式成立性質(zhì)319(5)格林函數(shù)的幾個重要性質(zhì)：格林函數(shù)即若之間具有對稱性質(zhì)，和參變量關(guān)于自變量性質(zhì)4這個性質(zhì)在電學(xué)上的意義可以這樣來描述：則處的單位點(diǎn)電荷在類似于這樣的原理，在物理學(xué)中稱為互易原理。處產(chǎn)生的電位等于(對稱性)處的單位點(diǎn)電荷在處產(chǎn)生的電位。20(5)格林函數(shù)的幾個重要性質(zhì)：性質(zhì)5一方面利用關(guān)系式(8’)，證考察下列狄利克雷問題(8)可得另一方面由極值原理知此問題解為根據(jù)狄利克雷問題解的惟一性可知性質(zhì)5成立。21(5)格林函數(shù)在靜電學(xué)中的物理意義：處放一單位正電荷，則在自由空間中，設(shè)在點(diǎn)它所產(chǎn)生的電位為在導(dǎo)電面內(nèi)的電位，可用函數(shù)則此時而這個導(dǎo)電面又是接地的，點(diǎn)的點(diǎn)電荷是包圍在一個封閉的導(dǎo)電面內(nèi)，如果在來表示，此函數(shù)在導(dǎo)電面上恒等于0，其中函數(shù)正好表示導(dǎo)電面上感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電位。例1、設(shè)，求

，并且滿足

的解，其中是以原點(diǎn)為圓心，為半徑圓形域，為的單位外法向量。（化工02黃正清）解：故積分可得并由：并且?guī)肟傻眉从欣?、設(shè)，求

，并且滿足

的解，其中是以原點(diǎn)為球心，為半徑球形域，為的單位外法向量。解：故積分可得并由：并且（化工02黃正清）帶入可得即有3.試寫出第一卦限x>0,y>0,z>0的格林函數(shù)形式解：第一卦限的格林函數(shù)滿足在第一卦限上取一點(diǎn)并在該點(diǎn)放置一個單位正電荷，令是關(guān)于三個坐標(biāo)平面xoy，zoy，xoz對稱的點(diǎn)，并且在這些點(diǎn)分別放置一個單位負(fù)電荷，令是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn),杜燊能動17潘勁松核工程12并且在這個點(diǎn)放置一個單位負(fù)電荷.令是關(guān)于三個坐標(biāo)軸ox，oy，oz對稱的點(diǎn)，并且在這些點(diǎn)分別放置一個單位正電荷.則第一卦限的格林函數(shù)為4.試寫出第一象限x>0,y>0的格林函數(shù)形式解：第一象限的格林函數(shù)滿足在第一象限上取一點(diǎn)并在該點(diǎn)放置一個單位正電荷，令是關(guān)于兩個坐標(biāo)軸x,y對稱的點(diǎn)，并且在這些點(diǎn)分別放置一個單位負(fù)電荷，令是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn),杜燊能動17潘勁松核工程12并且在這個點(diǎn)放置一個單位負(fù)電荷.則第一卦限的格林函數(shù)為例5.設(shè)有一半徑為R的均勻球，上半球面的溫度保持為。求球內(nèi)溫度的穩(wěn)定分布。下半球面的溫度保持為解：考慮定解問題由球域上的泊松積分公式，得杜燊能動17潘勁松核工程12由于此積分的計(jì)算很困難，下面我們只考慮一些特殊位置的溫度分布。比如，求溫度在球的鉛垂直徑（直徑的上半部）和（直徑的下半部分）上的分布。當(dāng)時，，故有：當(dāng)時，,故有在以上兩個公式中，當(dāng)時，球的溫度為.張遠(yuǎn)舸結(jié)構(gòu)11例6半空間laplace問題解趙興紅2111705023結(jié)構(gòu)11

例7（球域拉普拉斯問題）解：對于球域問題可作用電鏡像法作如下分析：趙興紅2111705023結(jié)構(gòu)11

故而原問題的解如下：43特征線法或行波法一行波法適用范圍：無界域內(nèi)波動方程，等…1基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。這一思想與常微分方程的解法是一樣的。關(guān)鍵步驟：通過變量變換，將波動方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程。*44*45一維波動方程的達(dá)朗貝爾公式

行波法

*46結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿x

軸正、反向傳播的兩列波速為a波的疊加，故稱為行波法。a.只有初始位移時，代表以速度a

沿x

軸正向傳播的波代表以速度a

沿x

軸負(fù)向傳播的波4解的物理意義b.只有初始速度時：假使初始速度在區(qū)間上是常數(shù)，而在此區(qū)間外恒等于0*47解：將初始條件代入達(dá)朗貝爾公式5達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)