第6章 函數(shù)誤差與誤差合成

第6章

函數(shù)誤差與誤差合成作者：劉兆平部門：機(jī)電設(shè)備系主菜單結(jié)束6-1教學(xué)目標(biāo)

本章闡述了函數(shù)誤差、誤差合成與分配的基本方法，并討論了微小誤差的取舍、最佳測量方案的確定等問題。通過本章的學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)掌握函數(shù)系統(tǒng)誤差和函數(shù)隨機(jī)誤差的計(jì)算以及誤差的合成和分配。主菜單結(jié)束2教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)函數(shù)系統(tǒng)誤差函數(shù)隨機(jī)誤差函數(shù)誤差分布的模擬計(jì)算隨機(jī)誤差的合成未定系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成誤差分配微小誤差取舍準(zhǔn)則最佳測量方案的確定主菜單結(jié)束3第一節(jié)函數(shù)誤差主菜單結(jié)束6-4基本概念間接測量

函數(shù)誤差

間接測得的被測量誤差也應(yīng)是直接測得量及其誤差的函數(shù)，故稱這種間接測量的誤差為函數(shù)誤差

通過直接測得的量與被測量之間的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出被測量

主菜單結(jié)束5一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算主菜單結(jié)束6-6間接測量數(shù)學(xué)模型間接測量的數(shù)學(xué)模型

與被測量有函數(shù)關(guān)系的各個(gè)直接測量值及其其他非測量值，又稱輸入量

間接測量值，又稱輸出量

主菜單結(jié)束7函數(shù)系統(tǒng)誤差公式函數(shù)系統(tǒng)誤差的計(jì)算公式為各個(gè)輸入量在該測量點(diǎn)處的誤差傳播系數(shù)和的量綱或單位相同，則起到誤差放大或縮小的作用和的量綱或單位不相同，則起到誤差單位換算的作用主菜單結(jié)束8幾種簡單函數(shù)的系統(tǒng)誤差

1、線性函數(shù)2、三角函數(shù)形式

系統(tǒng)誤差公式當(dāng)當(dāng)函數(shù)為各測量值之和時(shí)，其函數(shù)系統(tǒng)誤差亦為各個(gè)測量值系統(tǒng)誤差之和主菜單結(jié)束9【例6-1】用弓高弦長法間接測量大工件直徑。如圖所示，車間工人用一把卡尺量得弓高，弦長，工廠檢驗(yàn)部門又用高準(zhǔn)確度等級的卡尺量得弓高，弦長試問車間工人測量該工件直徑的系統(tǒng)誤差，并求修正后的測量結(jié)果?！窘狻拷㈤g接測量大工件直徑的函數(shù)模型

不考慮測量值的系統(tǒng)誤差，可求出在處的直徑測量值主菜單結(jié)束10車間工人測量弓高、弦長的系統(tǒng)誤差

直徑的系統(tǒng)誤差故修正后的測量結(jié)果

計(jì)算結(jié)果誤差傳播系數(shù)為主菜單結(jié)束11二、函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算主菜單結(jié)束6-12數(shù)學(xué)模型

變量中有隨機(jī)誤差，即泰勒展開，并取其一階項(xiàng)作為近似值，可得函數(shù)的一般形式得到主菜單結(jié)束131、函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算

或第i個(gè)直接測得量的標(biāo)準(zhǔn)差第i個(gè)測量值和第j個(gè)測量值之間的相關(guān)系數(shù)第i個(gè)測量值和第j個(gè)測量值之間的協(xié)方差第i個(gè)直接測得量對間接量在該測量點(diǎn)處的誤差傳播系數(shù)主菜單結(jié)束14或相互獨(dú)立的函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算

若各測量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，相關(guān)項(xiàng)令主菜單結(jié)束15函數(shù)的極限誤差公式

當(dāng)各個(gè)測量值的隨機(jī)誤差都為正態(tài)分布時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差用極限誤差代替，可得函數(shù)的極限誤差公式第i個(gè)直接測得量的極限誤差主菜單結(jié)束16三角形式的函數(shù)隨機(jī)誤差公式函數(shù)形式為函數(shù)隨機(jī)誤差公式為主菜單結(jié)束17【例6-2】用弓高弦長法間接測量大工件直徑。車間工人用一把卡尺量得弓高，弦長，工廠檢驗(yàn)部門又用高準(zhǔn)確度等級的卡尺量得弓高，弦長。已知車間工人測量該工件弓高的標(biāo)準(zhǔn)差，弦長的標(biāo)準(zhǔn)差，試求測量該工件直徑的標(biāo)準(zhǔn)差，并求修正后的測量結(jié)果?！窘狻坑泄市拚蟮臏y量結(jié)果

主菜單結(jié)束182、相關(guān)系數(shù)估計(jì)主菜單結(jié)束6-19相關(guān)系數(shù)對函數(shù)誤差的影響

反映了各隨機(jī)誤差分量相互間的線性關(guān)聯(lián)對函數(shù)總誤差的影響函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與各隨機(jī)誤差分量標(biāo)準(zhǔn)差之間具有線性的傳播關(guān)系函數(shù)隨機(jī)誤差公式當(dāng)相關(guān)系數(shù)當(dāng)相關(guān)系數(shù)主菜單結(jié)束20相關(guān)系數(shù)的確定－直接判斷法可判斷的情形斷定與兩分量之間沒有相互依賴關(guān)系的影響當(dāng)一個(gè)分量依次增大時(shí)，引起另一個(gè)分量呈正負(fù)交替變化，反之亦然與屬于完全不相干的兩類體系分量，如人員操作引起的誤差分量與環(huán)境濕度引起的誤差分量與雖相互有影響，但其影響甚微，視為可忽略不計(jì)的弱相關(guān)主菜單結(jié)束21相關(guān)系數(shù)的確定－直接判斷法可判斷或的情形斷定與兩分量間近似呈現(xiàn)正的線性關(guān)系或負(fù)的線性關(guān)系當(dāng)一個(gè)分量依次增大時(shí)，引起另一個(gè)分量依次增大或減小，反之亦然與屬于同一體系的分量，如用1m基準(zhǔn)尺測2m尺，則各米分量間完全正相關(guān)主菜單結(jié)束22相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)計(jì)算公式根據(jù)的多組測量的對應(yīng)值，按如下統(tǒng)計(jì)公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)、分別為、的算術(shù)平均值主菜單結(jié)束233、函數(shù)誤差分布的模擬計(jì)算

隨機(jī)誤差的分布完整地描述了該誤差的全部特征分布密度函數(shù)

解析方法難以求得計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真計(jì)算

主菜單結(jié)束24計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法的步驟

①輸入各輸入量及其算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差②產(chǎn)生如正態(tài)分布或均勻分布等所需誤差分布等大樣本數(shù)的偽隨機(jī)數(shù)，并繪制描述各輸入直接量誤差分布的統(tǒng)計(jì)直方圖③按函數(shù)測量模型公式計(jì)算該樣本數(shù)的間接量，并繪制該函數(shù)誤差分布的統(tǒng)計(jì)直方圖；④統(tǒng)計(jì)并輸出該間接量的最佳估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)差與及誤差分布區(qū)間半寬度。主菜單結(jié)束25計(jì)算機(jī)模擬測量系統(tǒng)主菜單結(jié)束26【例6-3】用相同標(biāo)稱長度50mm的標(biāo)準(zhǔn)塊規(guī)校準(zhǔn)某塊規(guī)，通過兩塊規(guī)長度的直接比較，輸出兩者的長度差有如下公式假設(shè)各個(gè)量之間的相關(guān)系數(shù)均為0。試用仿真計(jì)算的方法分析該校準(zhǔn)的誤差分布及其標(biāo)準(zhǔn)差。【解】故有主菜單結(jié)束27輸入量的誤差性質(zhì)輸入量名稱分布標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值受校塊規(guī)長度值在20oC時(shí)的校準(zhǔn)長度兩塊規(guī)長度差值在20oC時(shí)的長度標(biāo)準(zhǔn)塊規(guī)的熱膨脹系數(shù)試驗(yàn)座溫度偏離標(biāo)準(zhǔn)溫度兩塊規(guī)的熱膨脹系數(shù)

兩塊規(guī)間溫度差

00正態(tài)正態(tài)均勻均勻均勻反正弦主菜單結(jié)束28六個(gè)輸入量分布均值均值均值均值均值均值主菜單結(jié)束29輸出量分布

均值直方圖主菜單結(jié)束30第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成

任何測量結(jié)果都包含有一定的測量誤差，這是測量過程中各個(gè)環(huán)節(jié)一系列誤差因素作用的結(jié)果。誤差合成就是在正確地分析和綜合這些誤差因素的基礎(chǔ)上，正確地表述這些誤差的綜合影響。

標(biāo)準(zhǔn)差合成極限誤差合成解決隨機(jī)誤差的合成問題一般基于標(biāo)準(zhǔn)差方和根合成的方法，其中還要考慮到誤差傳播系數(shù)以及各個(gè)誤差之間的相關(guān)性影響主菜單結(jié)束31一、標(biāo)準(zhǔn)差合成合成標(biāo)準(zhǔn)差

q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，標(biāo)準(zhǔn)差

誤差傳播系數(shù)

由間接測量的顯函數(shù)模型求得根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)給出知道影響測量結(jié)果的誤差因素而不知道每個(gè)和主菜單結(jié)束32合成標(biāo)準(zhǔn)差的特殊情形各個(gè)誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù)合成標(biāo)準(zhǔn)差

用標(biāo)準(zhǔn)差合成有明顯的優(yōu)點(diǎn)，不僅簡單方便，而且無論各單項(xiàng)隨機(jī)誤差的概率分布如何，只要給出各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，均可計(jì)算出總的標(biāo)準(zhǔn)差當(dāng)誤差傳播系數(shù)、且各相關(guān)系數(shù)均可視為0的情形

視各個(gè)誤差分量的量綱與總誤差量的量綱都一致，或者說各個(gè)誤差分量已經(jīng)折算為影響函數(shù)誤差相同量綱的分量主菜單結(jié)束33二、極限誤差合成

單項(xiàng)極限誤差

單項(xiàng)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差單項(xiàng)極限誤差的置信系數(shù)合成極限誤差合成標(biāo)準(zhǔn)差合成極限誤差的置信系數(shù)主菜單結(jié)束34合成極限誤差計(jì)算公式根據(jù)已知的各單項(xiàng)極限誤差和所選取的各個(gè)置信系數(shù)，即可進(jìn)行極限誤差的合成各個(gè)置信系數(shù)、

不僅與置信概率有關(guān)，而且與隨機(jī)誤差的分布有關(guān)對于相同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)相同對于不同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)也不相同主菜單結(jié)束35合成極限誤差特殊情形當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時(shí)，各單項(xiàng)誤差的數(shù)目q較多、各項(xiàng)誤差大小相近和獨(dú)立時(shí)，此時(shí)合成的總誤差接近于正態(tài)分布，此時(shí)合成極限誤差若和各單項(xiàng)誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，而且他們之間常是線性無關(guān)或近似線性無關(guān)，是較為廣泛使用的極限誤差合成公式主菜單結(jié)束36第三節(jié)未定系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成主菜單結(jié)束6-37一、未定系統(tǒng)誤差的合成

對已定系統(tǒng)誤差，在處理測量結(jié)果時(shí)應(yīng)先修正而不宜合成對未定系統(tǒng)誤差，估計(jì)出其可能范圍，視為隨機(jī)誤差進(jìn)行合成未定系統(tǒng)誤差的取值具有一定的隨機(jī)性，服從一定的概率分布，因而若干項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差綜合作用時(shí)，他們之間就具有一定的抵償作用。這種抵償作用與隨機(jī)誤差的抵償作用相似，因而未定系統(tǒng)誤差的合成，完全可以采用隨機(jī)誤差的合成公式，這就給測量結(jié)果的處理帶來很大方便主菜單結(jié)束38二、未定系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成已定系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后，影響測量過程的總誤差只要考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成。總誤差可用極限誤差來表示，也可用標(biāo)準(zhǔn)差來表示按標(biāo)準(zhǔn)差合成按極限誤差合成主菜單結(jié)束39按標(biāo)準(zhǔn)差合成測量過程中q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)各個(gè)誤差傳播系數(shù)均為1，則總的測量標(biāo)準(zhǔn)差為R為各個(gè)誤差間協(xié)方差之和當(dāng)各個(gè)誤差之間互不相關(guān)主菜單結(jié)束40n次重復(fù)測量情形

單次測量最后結(jié)果的總標(biāo)準(zhǔn)差n次重復(fù)測量測量結(jié)果平均值的標(biāo)準(zhǔn)差公式主菜單結(jié)束41按極限誤差合成測量過程中q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差的極限誤差個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限誤差設(shè)各個(gè)誤差傳播系數(shù)均為1，則測量結(jié)果總的極限誤差為R為各個(gè)誤差間協(xié)方差之和當(dāng)各個(gè)誤差之間互不相關(guān)主菜單結(jié)束42n次重復(fù)測量情形

單次測量最后結(jié)果的總誤差n次重復(fù)測量總極限誤差在單次測量的總誤差合成中，不需嚴(yán)格區(qū)分各個(gè)單項(xiàng)誤差為未定系統(tǒng)誤差或隨機(jī)誤差在多次重復(fù)測量中的總誤差合成中，則必須嚴(yán)格區(qū)分各個(gè)單項(xiàng)誤差的性質(zhì)主菜單結(jié)束43【例6-4】在萬能工具顯微鏡上用影像法測量某一平面工件的長度共兩次，測得結(jié)果分別為，，已知工件的和高度為。根據(jù)工具顯微鏡的工作原理和結(jié)構(gòu)可知，測量過程中主要的誤差見表。求測量結(jié)果及其極限誤差主菜單結(jié)束44【例6-4】測量過程中主要的誤差序號123456誤差因素極限誤差隨機(jī)誤差未定系統(tǒng)誤差備注阿貝誤差光學(xué)刻尺刻度誤差溫度誤差讀數(shù)誤差瞄準(zhǔn)誤差光學(xué)刻尺檢定誤差－－－－0.81－－0.50.351.251未修正時(shí)計(jì)入總誤差修正時(shí)計(jì)入總誤差主菜單結(jié)束45【例6-4】的測量結(jié)果【解】兩次測量結(jié)果的平均值為根據(jù)萬能工具顯光學(xué)刻線尺的刻度誤差表，查得在范圍內(nèi)的誤差，此項(xiàng)誤差為已定系統(tǒng)誤差，應(yīng)予修正則測量結(jié)果主菜單結(jié)束46【例6-4】的極限誤差計(jì)算結(jié)果設(shè)各誤差都服從正態(tài)分布且互不相關(guān)，則測量結(jié)果（兩次測量的平均值）的極限誤差為當(dāng)未修正光學(xué)刻尺刻度誤差時(shí)測量結(jié)果可表示為當(dāng)已修正光學(xué)刻尺刻度誤差時(shí)

主菜單結(jié)束47【例6-5】用TC328B型天平，配用三等標(biāo)準(zhǔn)砝碼稱一不銹鋼球質(zhì)量，一次稱量得鋼球質(zhì)量，求測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差主菜單結(jié)束48【例6-5】中的主要誤差分析(1)隨機(jī)誤差

天平示值變動(dòng)性所引起的誤差為隨機(jī)誤差。多次重復(fù)稱量同一球的質(zhì)量的天平標(biāo)準(zhǔn)差為

(2)未定系統(tǒng)誤差

標(biāo)準(zhǔn)砝碼誤差和天平示值誤差，在給定條件下為確定值，但又不知道具體誤差數(shù)值，而只知道誤差范圍（或標(biāo)準(zhǔn)差），故這兩項(xiàng)誤差均屬未定系統(tǒng)誤差

①砝碼誤差

天平稱量時(shí)所用的標(biāo)準(zhǔn)砝碼有三個(gè)即的一個(gè)，的兩個(gè)，標(biāo)準(zhǔn)差分別為故三個(gè)砝碼組合使用時(shí)，質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為

②天平示值誤差該項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差為主菜單結(jié)束49【例6-5】測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差三項(xiàng)誤差互不相關(guān)，且各個(gè)誤差傳播系數(shù)均為1，因此誤差合成后可得到測量結(jié)果的總標(biāo)準(zhǔn)差為

最后測量結(jié)果應(yīng)表示為（１倍標(biāo)準(zhǔn)差）

主菜單結(jié)束50第四節(jié)

誤差分配主菜單結(jié)束6-51基本思想

誤差分配

給定測量結(jié)果允許的總誤差，合理確定各個(gè)單項(xiàng)誤差。在誤差分配時(shí)，隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差同等看待。假設(shè)各誤差因素皆為隨機(jī)誤差，且互不相關(guān)，有給定，如何確定，滿足主菜單結(jié)束52一、按等影響原則分配誤差

等影響原則

各分項(xiàng)誤差對函數(shù)誤差的影響相等，即可得到極限誤差表示

函數(shù)的總極限誤差各單項(xiàng)誤差的極限誤差主菜單結(jié)束53二、按可能性調(diào)整誤差

(1)對各分項(xiàng)誤差平均分配的結(jié)果，會(huì)造成對部分測量誤差的需求實(shí)現(xiàn)頗感容易，而對令一些測量誤差的要求難以達(dá)到。這樣，勢必需要用昂貴的高準(zhǔn)確度等級的儀器，或者以增加測量次數(shù)及測量成本為代價(jià)。按等影響原則分配誤差的不合理性

(2)當(dāng)各個(gè)部分誤差一定時(shí)，則相應(yīng)測量值的誤差與其傳播系數(shù)成反比。所以各個(gè)部分誤差相等，相應(yīng)測量值的誤差并不相等，有時(shí)可能相差較大。在等影響原則分配誤差的基礎(chǔ)上，根據(jù)具體情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。對難以實(shí)現(xiàn)測量的誤差項(xiàng)適當(dāng)擴(kuò)大，對容易實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)盡可能縮小，其余誤差項(xiàng)不予調(diào)整。主菜單結(jié)束54三、驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差

誤差按等影響原理確定后，應(yīng)按照誤差合成公式計(jì)算實(shí)際總誤差，若超出給定的允許誤差范圍，應(yīng)選擇可能縮小的誤差項(xiàng)再進(jìn)行縮小。若實(shí)際總誤差較小，可適當(dāng)擴(kuò)大難以實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)的誤差，合成后與要求的總誤差進(jìn)行比較，直到滿足要求為止。主菜單結(jié)束55【例6-6】【解】測量一圓柱體的體積時(shí)，可間接測量圓柱直徑及高度，根據(jù)函數(shù)式求得體積，若要求測量體積的相對誤差為1％，已知直徑和高度的公稱值分別為，試確定直徑及高度的準(zhǔn)確度。計(jì)算體積

體積的絕對誤差

主菜單結(jié)束56按等影響分配原則分配誤差，得到測量直徑與高度的極限誤差【例6-6】極限誤差計(jì)算結(jié)果57用這兩種量具測量的體積極限誤差為

因?yàn)椤纠?-6】理論極限誤差查資料，可用分度值為0.1mm的游標(biāo)卡尺測高，在50mm測量范圍內(nèi)的極限誤差為，用0.02mm的游標(biāo)卡尺測直徑，在20mm范圍內(nèi)的極限誤差為。主菜單結(jié)束58調(diào)整后的實(shí)際測量極限誤差為因?yàn)橐虼苏{(diào)整后用一把游標(biāo)卡尺測量直徑和高度即能保證測量準(zhǔn)確度。

顯然采用的量具準(zhǔn)確度偏高，選得不合理，應(yīng)作適當(dāng)調(diào)整。若改用分度值為0.05mm的游標(biāo)卡尺來測量直徑和高度，在50mm測量范圍內(nèi)的極限誤差為。此時(shí)測量直徑的極限誤差雖超出按等作用原則分配所得的允許誤差，但可從測量高度允許的多余部分得到補(bǔ)償。調(diào)整后的測量極限誤差主菜單結(jié)束59第五節(jié)

微小誤差取舍準(zhǔn)則主菜單結(jié)束6-60基本概念

微小誤差

測量過程包含有多種誤差時(shí)，當(dāng)某個(gè)誤差對測量結(jié)果總誤差的影響，可以忽略不計(jì)的誤差測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差將其中的部分誤差取出后，則得

若有

則稱為微小誤差

主菜單結(jié)束61測量誤差的有效數(shù)字取一位

某項(xiàng)部分誤差舍去后，滿足或則對測量結(jié)果的誤差計(jì)算沒有影響。

測量誤差的有效數(shù)字取二位

或?qū)τ陔S機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差，微小誤差舍區(qū)準(zhǔn)則是被舍去的誤差必須小于或等于測量結(jié)果的十分之一到三分之一。對于已定系統(tǒng)誤差，按百分之一到十分之一原則取舍?；救∩釡?zhǔn)則主菜單結(jié)束62第七節(jié)

最佳測量方案的確定主菜單結(jié)束6-63基本概念

最佳測量方案的確定當(dāng)測量結(jié)果與多個(gè)測量因素有關(guān)時(shí)，采用什么方法確定各個(gè)因素，才能使測量結(jié)果的誤差最小。函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差

欲使為最小，可從哪幾方面來考慮？

主菜單結(jié)束64一、選擇最佳函