第7章 氣體分子動(dòng)理論

第7章氣體分子動(dòng)理論LudwigBoltzman(1844~1906)玻耳茲曼：奧地利物理學(xué)家，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的奠基人之一。于1868年提出麥克斯韋-玻耳茲曼分布定律

。在

1872年從非平衡態(tài)的分子動(dòng)力學(xué)得到H

定理

，這是經(jīng)典分子動(dòng)力論的基礎(chǔ)。1877年提出熱力學(xué)第二定律與微觀幾率態(tài)數(shù)W

的關(guān)系以及熵的統(tǒng)計(jì)解釋。

1900年普朗克運(yùn)用玻耳茲曼的理論得出S＝klnW

并證明了斯忒藩的實(shí)驗(yàn)結(jié)論

u＝σT4（斯忒藩

-

玻耳茲曼黑體輻射公式），掀開了量子時(shí)代的帷幕。微觀粒子觀察和實(shí)驗(yàn)出發(fā)點(diǎn)熱力學(xué)驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)物理學(xué)，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)揭示熱力學(xué)本質(zhì)二者關(guān)系無法自我驗(yàn)證不深刻缺點(diǎn)揭露本質(zhì)普遍，可靠?jī)?yōu)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)平均方法力學(xué)規(guī)律總結(jié)歸納邏輯推理方法微觀量宏觀量物理量熱現(xiàn)象熱現(xiàn)象研究對(duì)象微觀理論（統(tǒng)計(jì)物理學(xué)）宏觀理論（熱力學(xué)）熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的異同§7.1氣體分子動(dòng)理論的基本概念一、分子動(dòng)理論的三個(gè)基本概念宏觀物體是不連續(xù)的，由大量微觀粒子——分子（或原子）所組成物質(zhì)內(nèi)的分子在不停地做無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，其劇烈程度與溫度有關(guān)布朗運(yùn)動(dòng)Ofrr0斥力引力合力分子力表現(xiàn)為斥力分子力表現(xiàn)為引力(平衡位置

)分子間有相互作用力r0

分子有效直徑勢(shì)能二、氣體分子熱運(yùn)動(dòng)服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律每個(gè)宏觀點(diǎn)的氣體分子數(shù)量巨大；氣體分子間的相互碰撞是非常頻繁的；一秒內(nèi)一個(gè)分子大約要發(fā)生幾十億次(109)碰撞氣體分子間距很大，除碰撞外，分子間相互作用可忽略；

氣體分子的微觀力學(xué)量取值無法預(yù)測(cè)，氣體的宏觀量穩(wěn)定；氣體分子熱運(yùn)動(dòng)服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律統(tǒng)計(jì)規(guī)律大量偶然事件在整體上表現(xiàn)出來的規(guī)律性單個(gè)小球落入位置偶然事件少量小球按位置的分布規(guī)律不明顯大量小球按位置的分布確定的規(guī)律伽爾頓板實(shí)驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)：伽耳頓板實(shí)驗(yàn)中粒子落入的位置氣體分子的速率、動(dòng)量、動(dòng)能等擲色子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行；每次試驗(yàn)有多種可能結(jié)果；試驗(yàn)結(jié)果事先不可預(yù)測(cè)；不同試驗(yàn)之間無關(guān)聯(lián)。（隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果稱為一個(gè)隨機(jī)事件。）對(duì)隨即變量M

進(jìn)行抽樣試驗(yàn)：M

取Mi

的概率。概率ＭＭ１Ｍ２Ｍ３……ＮΔＮ１ΔＮ２ΔＮ３……(N=Δ

N1+Δ

N2+Δ

N3+…)例擲色子出現(xiàn)４的概率小球出現(xiàn)在第３個(gè)小槽概率的歸一化條件(N=Δ

N1+Δ

N2+Δ

N3+…)平均值ＭＭ１Ｍ２Ｍ３……ＮΔＮ１ΔＮ２ΔＮ３……例擲色子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的平均值氣體分子速率的平均值建立三維直角坐標(biāo)系Oxyz

……ＮΔＮ１ΔＮ２ΔＮ３……vxv１xv２xv３x……vyv１yv２yv３y……vzv１zv２zv３z……氣體分子速率的平均值xyzO氣體處于平衡態(tài)時(shí)，氣體分子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的機(jī)會(huì)均等。氣體分子速率平方的平均值……ＮΔＮ１ΔＮ２ΔＮ３……………………xyzOxyzO即氣體處于平衡態(tài)時(shí)，氣體分子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的機(jī)會(huì)均等。xyzO氣體分子平動(dòng)動(dòng)能的平均值xzO§7.２理想氣體的壓強(qiáng)一、理想氣體的微觀模型氣體分子的性質(zhì)相同，質(zhì)量相等，相對(duì)于分子間距大小可忽略不計(jì)；r0OrEp一般物質(zhì)分子理想氣體分子剛性小球模型r0OrEpOrEp除碰撞外分子間相互作用可忽略不計(jì)，氣體分子在相鄰兩次碰撞間作勻速直線運(yùn)動(dòng)；所有的碰撞為完全彈性碰撞；每個(gè)分子頻繁地發(fā)生碰撞，速度也因此不斷變化；二、壓強(qiáng)形成的微觀解釋單個(gè)分子與器壁碰撞沖力作用瞬間完成，大小、位置具有偶然性；大量分子（整個(gè)氣體系統(tǒng)）與器壁碰撞沖力作用瞬間完成，大小、位置具有偶然性；壓強(qiáng)是氣體分子給容器壁沖量的統(tǒng)計(jì)平均量三、理想氣體的壓強(qiáng)公式xyzOcba建立三維直角坐標(biāo)系Oxyz

x,y,z

方向規(guī)律相同，壓強(qiáng)相同分析x

方向x

方向速度分量為vix

的分子i

與氣體分子j

碰撞，互換由于氣體分子是全同的，而且每次碰撞是彈性碰撞，因此氣體分子間的碰撞對(duì)結(jié)果的影響可忽略?？煽醋鞔罅繗怏w分子同時(shí)作來回運(yùn)動(dòng)卻“沒有”碰撞xyzOcbaA1xyzOcbax

方向速度分量為vix

的分子i

與A1

碰撞，動(dòng)量變化：A1對(duì)A1

的沖量：Δt

時(shí)間內(nèi)與A1發(fā)生碰撞的次數(shù)：連續(xù)兩次與A1發(fā)生碰撞的時(shí)間間隔為：2a/vixxyzOcbaA1Δt

時(shí)間內(nèi)分子i

對(duì)A1的沖量：Δt

時(shí)間內(nèi)所有分子對(duì)A1

的沖量：其中為氣體分子數(shù)密度理想氣體壓強(qiáng)公式：§7.3溫度的微觀本質(zhì)一、溫度與理想氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能的關(guān)系理想氣體的能量方程溫度的微觀本質(zhì)二、道爾頓分壓定律混合氣體的壓強(qiáng)等于各種氣體的分壓強(qiáng)之和。證明：混合氣體的分子數(shù)密度混合氣體各組分溫度相同混合氣體的壓強(qiáng)§7.4能量按自由度均分原理一、自由度的概念確定一個(gè)物體的空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目?；疖囅铝形矬w看作質(zhì)點(diǎn)時(shí)，自由度為多少？看作剛體時(shí)又為多少？質(zhì)點(diǎn)1剛體1輪船2?飛機(jī)3?xyO海面(x,y)O’y’x’輪船（看作剛體）：確定質(zhì)心：(x,y)確定方向：θθ3個(gè)自由度xyzOO’y’z’x’飛機(jī)（看作剛體）：確定質(zhì)心：(x,y,z)確定轉(zhuǎn)軸：確定方向：6個(gè)自由度(x,y,z)細(xì)棒：xyzOO’y’z’x’確定質(zhì)心：(x,y,z)確定方位：５個(gè)自由度(x,y,z)氣體分子的自由度：剛性單原子分子剛性雙原子分子剛性多原子分子分子模型自由度３５６二、能量按自由度均分原理或其中沿x

方向運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能沿y

方向運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能沿z

方向運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能處于平衡態(tài)的理想氣體（溫度為T

），氣體分子在每一個(gè)平動(dòng)自由度上的平均能量為kT

/2原因：碰撞不同自由度上的能量相互轉(zhuǎn)化不同自由度上的能量平均化剛性雙原子分子的動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能溫度較高時(shí)，雙原子氣體分子不能看作剛性分子，分子平均能量更大，因?yàn)檎駝?dòng)能量也參與能量均分分子動(dòng)能剛性單原子分子剛性雙原子分子剛性多原子分子分子模型自由度３５６總平均能量３kT/2５kT/23kT理想氣體分子的平均能量i→氣體分子的自由度三、理想氣體的內(nèi)能E理想氣體分子動(dòng)能之和1mol理想氣體的內(nèi)能：質(zhì)量為m

、摩爾質(zhì)量為M

的理想氣體的內(nèi)能：理想氣體的摩爾熱容量§7.5麥克斯韋速率分布律一、分布的概念小槽寬度為Δx

小球落入某個(gè)槽的概率：小槽寬度為dx

小球落入某個(gè)槽的概率：???某一時(shí)刻理想氣體分子的速率v

的分布：vv１v２v３……ＮΔＮ１ΔＮ２ΔＮ３……長(zhǎng)時(shí)間“觀測(cè)”理想氣體分子的速率v

：v0~+∞連續(xù)分布速率為vi

的概率為：速率為v→v+dv

的概率為：???速率分布函數(shù)速率在v

附近的單位速率區(qū)間的分子數(shù)占分子總數(shù)的比率速率分布函數(shù)的實(shí)質(zhì)是相對(duì)概率，或者稱為概率密度；速率分布函數(shù)的歸一化條件意義：二、麥克斯韋速率分布律μ分子質(zhì)量T熱力學(xué)溫度k玻耳茲曼常數(shù)速率在v~v+dv

間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率：dvv1v2速率在v1~v2

間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率：歸一化條件：三、氣體分子速率的三種統(tǒng)計(jì)平均值平均速率氣體分子的速率v

離散分布：vv１v２v３……ＮΔＮ１ΔＮ２ΔＮ３……氣體分子的速率v

連續(xù)分布：對(duì)于理想氣體:方均根速率……ＮΔＮ１ΔＮ２ΔＮ３…………氣體分子的速率v

離散分布：氣體分子的速率v

連續(xù)分布：對(duì)于理想氣體:最概然速率vpf(v)的極大值對(duì)應(yīng)的v

值vp273.15K時(shí)氫氣分子T

增大，氫氣分子速率分布曲線的峰值向右漂移；曲線變得平坦T

相同，vpO

<vpH例1有N

個(gè)質(zhì)量為m

的同種氣體分子，它們的速度分布如圖所示。（1）由N

和v0

求a

值；（2）求在速率v0/2到3v0/2間隔內(nèi)的分子數(shù)；（3）求分子的平均平動(dòng)動(dòng)能。解：OvNf(v)v02v0a（1）由歸一化條件，OvNf(v)v02v0a（2）（3）OvNf(v)v02v0a四、氣體分子速率的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證OS1S2S3Gω滾筒不轉(zhuǎn)滾筒轉(zhuǎn)動(dòng)Bi分子沉積的位置PP’與

v有關(guān)PP’OS1S2S3GωlPP’v+∞v測(cè)定Bi膜厚度分布速率分布§7.6玻耳茲曼分布律LudwigBoltzman(1844~1906)一、重力場(chǎng)中粒子按高度的分布n0nhh+dhn+dnnh?pp+dpp0Ohnn0等溫壓強(qiáng)公式n0nh0二、玻耳茲曼分布律與麥克斯韋分布律比較：dV

處的分子數(shù)位置位于x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz

的分子數(shù)位矢空間的分布速度在vx

~vx

+dvx,vy

~vy

+dvy,vz

~vz

+dvz

之間的分子數(shù)速度空間的分布位置位于x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz，同時(shí)速度在vx

~vx

+dvx,vy

~vy

+dvy,vz

~vz

+dvz

之間的分子數(shù)麥克斯韋－玻耳茲曼分布律相空間的分布微觀粒子能量量子化能量為εi

的分子數(shù)(i=1,2,3,…)§7.7氣體分子的平均自由程一、分子的平均碰撞頻率一個(gè)分子在單位時(shí)間內(nèi)和其他分子碰撞的平均次數(shù)稱為分子的平均碰撞頻率，常用來表示?！肮艿馈卑霃降扔诜肿又睆絛，長(zhǎng)度等于分子平均相對(duì)速率d1>D不碰撞d２

<D碰撞分子中心在“管道”外分子中心在“管道”內(nèi)“管道”中的分子總數(shù)等于碰撞次數(shù)d1d22d…………………二、分子的平均自由程分子在連續(xù)兩次碰撞之間自由運(yùn)動(dòng)的平均路程，稱為分子的平均自由程，常用表示。§7.8范德瓦爾斯方程實(shí)際氣體T

較高p

較小p