第9章-常微分方程初值問題解法

1第9章常微分方程初值問題數(shù)值解法9.1引言2本章研究的問題:39.1歐拉方法及改進的歐拉法9.1.1歐拉公式圖7.1歐拉折線法41歐拉公式(2)(3)562歐拉公式的截斷誤差(4)73單步法的局部截斷誤差與階局部截斷誤差可以理解為計算一步的誤差.8則稱該方法具有P階精度.94后退的歐拉方法(5)10(6)(6)式稱為后退的歐拉方法,它是隱式的,歐拉公式(2)是顯式的,11(7)1213后退的歐拉方法的局部截斷誤差:145梯形方法(8)式稱為梯形方法.(8)15梯形方法的局部截斷誤差:166.改進歐拉法及局部截斷誤差預測步校正步或者寫成（1）改進的歐拉公式:17（2）改進的歐拉方法的局部截斷誤差18考慮改進Euler法如果將其改成----------(1)9.2Runge-Kutta法19改進Euler法是由梯形公式和Euler公式復合而成梯形公式具有2階精度(1)式為一種二階Runge-Kutta法同樣可以證明,改進Euler法也具有2階精度。20Runge-Kutta方法的推導21Runge-Kutta方法的一般形式：確定了階數(shù)之后，再通過Taylor展開、比較兩邊系數(shù)的方法，確定各待定系數(shù)：22二階顯式Runge-Kutta方法23242526例27結果及比較28三階顯式Runge-Kutta方法在推導二階顯式方法的過程中，注意到局部截斷誤差表達式中h3項包含了以下表達式：因此若要在局部截斷誤差中消去h3項，必須增加包含了以上各項的多個方程，同時我們注意到r=2時，只有等四個待定系數(shù)，少于方程的數(shù)目，所以這樣的系數(shù)不存在。故：

r=2時Runge-Kutta方法只能是二階的。要得到三階的方法，則必須有r=3。29三階顯式Runge-Kutta方法30四階顯式Runge-Kutta方法31x四階二階真解四階誤差二階誤差0.01.0000001.0000001.0000000.00000.0000000.11.1048291.1024501.1048291.60E-72.38E-30.21.2185971.2115071.2185973.40E-77.09E-30.31.3401411.3257661.3401415.48E-71.44E-20.41.4681751.4436711.4681757.69E-72.45E-20.51.6012781.5635061.6012799.95E-73.78E-20.61.7378801.6833741.7378811.20E-65.45E-20.71.8762461.8011791.8762471.42E-67.51E-20.82.0144571.9146032.0144591.68E-69.99E-20.92.1503952.0210862.1503971.96E-61.29E-11.02.2817162.1178002.2817182.32E-61.64E-1例32結果及比較33關于Runge-Kutta方法34提高Runge-Kutta方法的精度的方法提高精度最簡單的方法是縮短步長，但要以犧牲計算速度和積累舍入誤差為代價。35變步長的R