第三章-力系的平衡

工程力學(xué)第三章力系的平衡力系的平衡匯交力系的平衡方程1.空間匯交力系平衡的充要條件將上式兩邊向x、y、z軸投影，可得平衡方程

可以求解3個未知量。2.平面匯交力系

力系的平衡力偶系的平衡方程1.空間力偶系平衡的充要條件（幾何條件）

將上式兩邊向x、y、z軸投影，可得平衡方程

可以求解3個未知量。

2.平面力偶系

力系的平衡平衡的充要條件:力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零.任意力系的平衡方程空間任意力系：平衡的充要條件:力系的主矢和對任一點的主矩均為零。將上式向x、y、z軸投影，可得空間任意力系的平衡方程

可以求解6個未知量。力系的平衡空間平行力系選擇z軸與力系的作用線平行空間平行力系的平衡方程可以求解3個未知量力系的平衡平面任意力系

如果取平面任意力系的作用平面為oxy平面，則

平面任意力系的平衡方程（一般形式）：

可以求解3個未知量yxzO力系的平衡二力矩的形式限制條件：力矩中心A、B兩點的連線不能與投影軸x軸垂直力系的平衡三力矩的形式限制條件：力矩中心A、B、C三點不在同一條直線上。

已知：P1=4KN，P2=10KN，尺寸如圖，求：BC桿受力及鉸鏈A受力。例題(1)解：取AB梁，畫受力圖。解得例題又可否列下面的方程？能否從理論上保證三組方程求得的結(jié)果相同？可否列下面的方程：例題圖示結(jié)構(gòu)，若FP和l已知，確定下面結(jié)構(gòu)的約束力llABDCFPllABDCM=FP2

l例題例：簡支梁受力如圖，已知F＝300N,q=100N/m,求A,B處的約束反力。FqABCD2m2m4m解：簡支梁受力如圖所示：代入（1）式例題求圖示伸出梁的支座反力。2mBA2m3m2mF=5KN1F=20KN2q=4KN/m12mq=2KN/mm=8KN·mo例題求如圖所示懸臂梁的支座反力.例題力系的平衡平面平行力系選y軸或者x軸與力系的作用線平行，則一般式，二力矩式或條件：AB連線不能平行于力的作用線均質(zhì)桿AB和BC在B端固結(jié)成60°角，A端用繩懸掛，已知BC=2AB,求當(dāng)剛桿ABC平衡時，BC與水平面的傾角ɑ。例題塔式起重機已知:G1,G2,a,b,e,L求：起重機滿載時不向右和空載時不向左翻倒時，平衡重的重量G3所應(yīng)滿足的條件。解：以起重機為研究對象(1)滿載時不翻倒條件：FNA≥0(1)由得：由(1)、(2)式得：(2)空載時不翻倒條件：FNB≥0(4)

由得：由(4)、(5)式得：

由式(3)和(6)可得，起重機滿載和空載均不致翻倒時，平衡重的重量G3所應(yīng)滿足的條件為：3.4.1單個物體平衡方程的應(yīng)用單個物體平衡問題的研究，可按以下步驟進(jìn)行：（1）根據(jù)物體平衡問題正確選定研究對象。

(要畫出研究對象的形狀)（2）分析研究對象的受力情況，正確畫出其受力圖。

(研究對象本身對周圍的作用力不要畫出.)（3）選擇恰當(dāng)?shù)钠胶夥匠?、投影軸和力矩中心，求解未知力。力系的平衡

水平梁AB中點C作用著力F，其大小等于2kN，方向與梁的軸線成60o角，支承情況如圖a所示，試求固定鉸鏈支座A和活動鉸鏈支座B的約束力。梁的自重不計。

A60oFB30oaaC(a)例題FBFADC60o30o(b)FEFFBFA60o30oHK(c)

1.取梁AB作為研究對象。

4.由力多邊形解出：

FA=Fcos30=17.3kN

FB=Fsin30=10kN2.畫出受力圖。3.作出相應(yīng)的力多邊形。BA解：例題解：(1)取制動蹬ABD作為研究對象。(2)畫出受力圖。OPASBBNDD(b)JNDKSBPI(c)P246ACBOED(a)(3)應(yīng)用平衡條件畫出P、SB和ND的閉和力三角形。圖示是汽車制動機構(gòu)的一部分。司機踩到制動蹬上的力P=212N，方向與水平面成=45角。當(dāng)平衡時，BC水平，AD鉛直，試求拉桿所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm點E在鉛直線DA上，又B、C、D都是光滑鉸鏈，機構(gòu)的自重不計。例題（5）代入數(shù)據(jù)求得：

SB=750N。（4）由幾何關(guān)系得：由力三角形可得：OPASBBNDD(b)JNDKSBPI(c)P246ACBOED(a)例題TBD300FAB150150TBCTBD=G

EB例題

井架起重裝置簡圖如圖所示，重物通過卷揚機D由繞過滑輪B

的鋼索起吊。起重臂的A端支承可簡化為固定鉸支座，B端用鋼索BC

支承。設(shè)重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑輪的大小和重量索及鋼

的重量均不計。求當(dāng)重物E勻速上升時起重臂AB和鋼索BC所受的力。解：1、取滑輪連同重物E為研究對象，受力分析：G300600150A

BCD

Ex300150150TBDTBCGTBD=GY

=0X

=0FAB=45kN-TBCcos300-TBDcos450+FABcos600=0

EBTBC=9.65kNFABy-TBCcos600-TBDcos450+FABcos300-G=02、取匯交點B為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系：3、列平衡方程并求解：300300600150A

BCD

E300150150TBDTBCGTBD=Gxy

EB-TBDsin150+FABsin300-Gsin600=0FAB=45kNY

=0FAB解二：300600150A

BCD

EX

=0-TBC-TBDcos150+FABcos300-Gcos600=0TBC=9.65kN靜力學(xué)1、一般地，對于只受三個力作用的物體，且角度特殊時用幾何法（解力三角形）比較簡便。

解題技巧及說明：3、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個方程中只有一個未知數(shù)。

2、一般對于受多個力作用的物體，且角度不特殊或特殊，都用解析法。靜力學(xué)5、解析法解題時，力的方向可以任意設(shè)，如果求出負(fù)值，說明力方向與假設(shè)相反。對于二力構(gòu)件，一般先設(shè)為拉力，如果求出負(fù)值，說明物體受壓力。4、對力的方向判定不準(zhǔn)的，一般用解析法。靜力學(xué)n個物體組成的物體系統(tǒng)2

單個物體平面一般力系33n平面平行力系22n平面匯交力系2n平面力偶系1n獨立平衡方程數(shù)力系的平衡3.4.2物體平衡方程的應(yīng)用

（1）靜定問題與靜不定問題的概念1.靜定問題未知量的個數(shù)≤獨立平衡方程數(shù)2.超靜定問題（或靜不定問題）未知量的個數(shù)＞獨立平衡方程數(shù)超靜定次數(shù)=未知量的個數(shù)-獨立平衡方程數(shù)

力系的平衡判斷下面結(jié)構(gòu)是否靜定？判斷下面結(jié)構(gòu)是否靜定？力系的平衡（2）物體系的平衡問題物體系統(tǒng)（物系）：由若干個物體通過適當(dāng)?shù)募s束相互連接而成的系統(tǒng)。TheoreticalMechanics求解過程中應(yīng)注意以下幾點

在一般情況下，首先以系統(tǒng)的整體為研究對象，這樣則不出現(xiàn)未知的內(nèi)力，易于解出未知量。當(dāng)不能求出未知量時應(yīng)立即選取單個物體或部分物體的組合為研究對象，一般應(yīng)先選受力簡單而作用有已知力的物體為研究對象，求出部分未知量后，再研究其他物體。

返回首頁首先判斷物體系統(tǒng)是否屬于靜定問題

恰當(dāng)?shù)剡x擇研究對象

物系平衡問題的應(yīng)用①首先從二力構(gòu)件入手，可使受力圖較簡單，有利于解題。②解除約束時，要嚴(yán)格地按照約束的性質(zhì)，畫出相應(yīng)的約束力，切忌憑主觀想象畫力。③畫受力圖時，關(guān)鍵在于正確畫出鉸鏈約束力，除二力構(gòu)件外，通常用二分力表示鉸鏈反力。④不畫研究對象的內(nèi)力。⑤兩物體間的相互作用力應(yīng)該符合作用與反作用定律。列平衡方程，求出全部未知力

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受力分析，畫隔離體的受力圖物系平衡問題的應(yīng)用[例]已知：圖示梁，求：A、B、C處約束力。mA分析：整體：四個反力→不可直接解出拆開：BC桿三個反力→可解故先分析BC桿，再分析整體或AC桿，可解。mAAC桿五個反力→不可解解：1、取BC桿為研究對象2、取整體為研究對象mAXA=0靜力分析XA=0（↓）（↓）∴（↑）（）例1：已知F＝500N,q=250N/m,M=500N.m,求A,B,E處的約束反力。解(1)取CE桿為研究對象，受力如圖(b)qFM11222ABCDE(a)MDECq(b)對CE桿

qFM11222ABCDE(2)取整體為研究對象，受力如圖F＝500N,q=250N/m,M=500N.m例已知:DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l,P,各構(gòu)件自重不計。求:A,E支座處約束力及BD桿受力。解:取整體,畫受力圖。解得解得解得取DCE桿,畫受力圖.解得(拉)TheoreticalMechanics

例

水平傳動軸上安裝著帶輪和圓柱直齒輪。帶輪所受到的緊邊膠帶拉力FT1沿水平方向，松邊膠帶拉力FT2與水平線成＝30角，如圖所示。齒輪在最高點C與另一軸上的齒輪相嚙合，受到后者作用的圓周力F和徑向力Fn

。已知帶輪直徑d1＝0.5m，直齒輪直徑d2＝0.2m，嚙合角＝20，b＝0.2m，c＝e＝0.3m，

F＝

2kN，零件自身重量不計，并假設(shè)FT1＝2FT2。轉(zhuǎn)軸可以認(rèn)為處于平衡狀態(tài)。試求支承轉(zhuǎn)軸的向心軸承A、B的約束力。

例題空間力系的平衡