2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)課學(xué)案2-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE20學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第二章空間向量與立體幾何學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解空間向量的概念，掌握空間向量的運算法則及運算律.2。掌握空間向量數(shù)量積的運算及其應(yīng)用,會用數(shù)量積解決垂直問題、夾角問題。3。理解空間向量基本定理，掌握空間向量的坐標(biāo)表示.4。會用基向量法、坐標(biāo)法表示空間向量。5.會用向量法解決立體幾何問題.知識點一空間中點、線、面位置關(guān)系的向量表示設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α,β的法向量分別為μ，v，則線線平行l(wèi)∥m?a∥b?a＝kb,k∈R線面平行l(wèi)∥α?____________?____________面面平行α∥β?μ∥v?____________線線垂直l⊥m?______?______線面垂直l⊥α?a∥μ?a＝kμ，k∈R面面垂直α⊥β?μ⊥v?______線線夾角l，m的夾角為θ（0≤θ≤eq\f(π，2))，cosθ＝______線面夾角l，α的夾角為θ(0≤θ≤eq\f（π，2)），sinθ＝______面面夾角α，β的夾角為θ（0≤θ≤eq\f（π,2))，cosθ＝______知識點二用坐標(biāo)法解決立體幾何問題步驟如下：(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相關(guān)點的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)；（3)進(jìn)行相關(guān)坐標(biāo)的運算；（4)寫出幾何意義下的結(jié)論。關(guān)鍵點如下:(1）選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。坐標(biāo)系的選取很重要，恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使得點的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)易求且簡單，簡化運算過程.(2）點的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)的確定。將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的問題，必須確定點的坐標(biāo)、直線的方向向量、平面的法向量，這是最核心的問題.(3）幾何問題與向量問題的轉(zhuǎn)化.平行、垂直、夾角問題都可以通過向量計算來解決,如何轉(zhuǎn)化也是這類問題解決的關(guān)鍵.類型一空間向量及其運算例1如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2。給出以下結(jié)論:①eq\o(SA，\s\up6（→））＋eq\o（SB，\s\up6（→))＋eq\o（SC，\s\up6(→)）＋eq\o(SD,\s\up6(→）)＝0；②eq\o(SA,\s\up6(→)）＋eq\o(SB,\s\up6（→))－eq\o(SC,\s\up6（→）)－eq\o(SD，\s\up6(→））＝0；③eq\o（SA,\s\up6(→））－eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o（SC，\s\up6(→))－eq\o（SD,\s\up6(→))＝0；④eq\o（SA，\s\up6（→）)·eq\o(SB，\s\up6(→）)＝eq\o(SC，\s\up6(→))·eq\o（SD，\s\up6(→）)；⑤eq\o（SA，\s\up6(→）)·eq\o（SC，\s\up6（→）)＝0。其中正確結(jié)論的序號是________。反思與感悟向量的表示與運算的關(guān)鍵是熟練掌握向量加減運算的平行四邊形法則、三角形法則及各運算公式,理解向量運算法則、運算律及其幾何意義。跟蹤訓(xùn)練1如圖,在平行六面體A1B1C1D1—ABCD中，M分eq\o(AC，\s\up6（→））成的比為eq\f(1，2）,N分eq\o（A1D,\s\up6(→)）成的比為2,設(shè)eq\o（AB，\s\up6（→）)＝a,eq\o(AD,\s\up6(→)）＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→）)＝c，試用a、b、c表示eq\o（MN,\s\up6(→））.類型二利用空間向量解決位置關(guān)系問題例2在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，求證：（1)PC∥平面EBD。(2）平面PBC⊥平面PCD.反思與感悟（1）證明兩條直線平行,只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量。（2)證明線面平行的方法①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直。②能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量共線.③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量.（3）證明面面平行的方法①轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理。②證明這兩個平面的法向量是共線向量.（4）證明兩條直線垂直，只需證明這兩條直線的方向向量垂直.（5)證明線面垂直的方法①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量.②證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直。(6)證明面面垂直的方法①轉(zhuǎn)化為證明線面垂直。②證明兩個平面的法向量互相垂直。跟蹤訓(xùn)練2在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點，求證：平面AED⊥平面A1FD1.類型三利用空間向量求角例3如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16,BC＝10，AA1＝8，點E,F分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4。過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形。（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；(2)求直線AF與平面α所成角的正弦值。反思與感悟用向量法求空間角的注意點（1)異面直線所成角：兩異面直線所成角的范圍為0°〈θ≤90°，需找到兩異面直線的方向向量,借助方向向量所成角求解。(2)直線與平面所成的角：要求直線a與平面α所成的角θ,先求這個平面α的法向量n與直線a的方向向量a的夾角的余弦cos〈n,a〉,再利用公式sinθ＝｜cos〈n,a>|，求θ。（3)二面角:如圖，有兩個平面α與β，分別作這兩個平面的法向量n1與n2，則平面α與β所成的角跟法向量n1與n2所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在幾何體ABCDE中,四邊形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點。（1)求證：GF∥平面ADE;（2)求平面AEF與平面BEC所成的銳角的余弦值。1。已知空間四邊形ABCD，G是CD的中點,則eq\o(AB,\s\up6（→）)＋eq\f（1,2)(eq\o(BD，\s\up6（→））＋eq\o(BC，\s\up6(→))）等于（）A.eq\o(AG，\s\up6（→））B。eq\o（CG,\s\up6(→）)C.eq\o(BC,\s\up6(→））D。eq\f(1，2)eq\o（BC,\s\up6(→））2。若a＝（0，1,－1），b＝(1,1，0），且(a＋λb)⊥a，則實數(shù)λ的值是(）A.－1B。0C。1D.－23.已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)與b＝（4，2－2m,2－2m)平行，則m＝________.4。已知平面α經(jīng)過點O(0，0，0)，且e＝(1，1，1)是α的一個法向量，M(x，y，z）是平面α內(nèi)任意一點，則x,y,z滿足的關(guān)系式是________.5。已知空間三點A（－2,0,2），B(－1,1，2），C（－3,0，4）,設(shè)a＝eq\o（AB，\s\up6（→))，b＝eq\o(AC，\s\up6(→）)。求向量a與向量b的夾角的余弦值.解決立體幾何中的問題，可用三種方法：幾何法、基向量法、坐標(biāo)法.幾何法以邏輯推理作為工具解決問題；基向量法利用向量的概念及其運算解決問題；坐標(biāo)法利用數(shù)及其運算來解決問題.坐標(biāo)方法經(jīng)常與向量運算結(jié)合起來使用.提醒：完成作業(yè)第二章章末復(fù)習(xí)課

答案精析知識梳理知識點一a⊥μa·μ＝0μ＝kv，k∈Ra⊥ba·b＝0μ·v＝0eq\f(|a·b|,｜a｜｜b｜)eq\f(|a·μ｜，｜a｜|μ|）eq\f（|μ·v｜，|μ｜|v|）題型探究例1③④跟蹤訓(xùn)練1解連接AN,則eq\o(MN,\s\up6（→））＝eq\o(MA,\s\up6（→)）＋eq\o(AN,\s\up6(→)）。由已知ABCD是平行四邊形，故eq\o（AC,\s\up6（→））＝eq\o（AB，\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋b，又M分eq\o（AC，\s\up6（→）)成的比為eq\f（1，2），故eq\o（MA,\s\up6(→)）＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→）)＝－eq\f(1,3）（a＋b）.由已知,N分eq\o（A1D,\s\up6（→))成的比為2，故eq\o（AN,\s\up6(→))＝eq\o（AD,\s\up6（→）)＋eq\o（DN，\s\up6（→））＝eq\o(AD,\s\up6（→)）－eq\o(ND,\s\up6（→)）＝eq\o（AD，\s\up6（→）)－eq\f(1,3)eq\o(A1D,\s\up6(→))＝eq\f（1,3）（c＋2b）。于是eq\o（MN,\s\up6(→）)＝eq\o（MA,\s\up6（→））＋eq\o（AN，\s\up6（→））＝－eq\f(1,3)（a＋b)＋eq\f（1,3)（c＋2b）＝eq\f(1，3)（－a＋b＋c）.例2證明如圖，以D為坐標(biāo)原點，分別以DC，DA，DP所在的直線為x軸,y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)DC＝a，PD＝b，則D(0，0,0)，C(a,0，0），B（a，a,0)，P(0,0，b)，E（0，eq\f(a,2）,eq\f（b,2））。（1)eq\o（DE，\s\up6(→））＝（0，eq\f（a，2)，eq\f（b,2）)，eq\o（DB，\s\up6（→))＝(a，a,0）。設(shè)平面EBD的一個法向量為n＝（x,y,z），則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\o（DE,\s\up6（→))·n＝0,,\o（DB,\s\up6(→)）·n＝0,))即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(a,2）y＋\f（b,2)z＝0，,ax＋ay＝0。）)令x＝1，得n＝（1，－1，eq\f(a，b)），因為eq\o（PC，\s\up6（→))·n＝（a,0，－b)·（1，－1，eq\f（a,b)）＝0,所以eq\o（PC，\s\up6(→)）⊥n，故PC∥平面EBD。（2）由題意得平面PDC的一個法向量為eq\o(DA,\s\up6(→))＝(0，a，0），又eq\o（PB,\s\up6(→))＝（a，a,－b）,eq\o(PC,\s\up6（→）)＝(a，0，－b）。設(shè)平面PBC的一個法向量為m＝（x1，y1，z1），則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\o（PB,\s\up6(→）)·m＝0，，\o（PC,\s\up6(→））·m＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（ax1＋ay1－bz1＝0，，ax1－bz1＝0，））得y1＝0，令x1＝1，則z1＝eq\f（a,b)，所以m＝(1,0，eq\f（a,b)），因為eq\o(DA，\s\up6(→)）·m＝（0,a，0）·（1，0，eq\f（a，b））＝0，所以eq\o（DA，\s\up6（→）)⊥m,即平面PBC⊥平面PCD。跟蹤訓(xùn)練2證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體棱長為1，則Eeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，1,\f(1，2））)，D1（0,0,1）,A(1，0，0），F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（1,2），0))。∴eq\o（DA，\s\up6(→））＝(1,0，0）＝eq\o（D1A1，\s\up6(→))，eq\o（DE,\s\up6(→）)＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)））,eq\o(D1F，\s\up6(→）)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f（1,2），－1））.設(shè)m＝(x1，y1,z1），n＝（x2，y2，z2）分別是平面AED和A1FD1的一個法向量，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m·\o(DA，\s\up6(→))＝0，，m·\o（DE，\s\up6（→））＝0，）)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x1＝0,，x1＋y1＋\f(1,2）z1＝0，))令y1＝1，得m＝（0，1，－2)。又由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o（D1A1,\s\up6（→））＝0，,n·\o(D1F,\s\up6（→)）＝0，))得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＝0，,\f(1，2)y2－z2＝0，））令z2＝1，得n＝（0，2，1）?！適·n＝(0,1，－2)·(0,2，1）＝0，∴m⊥n,故平面AED⊥平面A1FD1.例3解（1）交線圍成的正方形EHGF如圖所示，（2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM＝A1E＝4,EM＝AA1＝8。因為EHGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r（EH2－EM2）＝6,所以AH＝10。以D為坐標(biāo)原點,eq\o(DA，\s\up6（→））的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（10，0,0)，H(10,10，0)，E(10，4,8)，F(xiàn)（0，4，8)，eq\o(FE,\s\up6(→))＝(10，0，0),eq\o(HE，\s\up6（→）)＝(0，－6,8）.設(shè)n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（n·\o(FE,\s\up6（→))＝0,，n·\o(HE，\s\up6（→)）＝0,))即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（10x＝0，，－6y＋8z＝0，))所以可取n＝(0,4,3)。又eq\o（AF，\s\up6(→)）＝(－10,4，8），故｜cos<n，eq\o（AF，\s\up6(→））〉｜＝eq\f(｜n·\o（AF，\s\up6（→)）｜,|n｜｜\o（AF，\s\up6（→))｜）＝eq\f(4\r(5)，15）.所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為eq\f（4\r(5）,15）.跟蹤訓(xùn)練3方法一（1)證明如圖,取AE的中點H,連接HG，HD。又G是BE的中點，所以GH∥AB，且GH＝eq\f(1,2)AB.又F是CD的中點,所以DF＝eq\f(1，2）CD.由四邊形ABCD是矩形,得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GF∥DH.又DH平面ADE，GF?平面ADE，所以GF∥平面ADE。(2）解如圖，在平面BEC內(nèi)，過B點作BQ∥EC。因為BE⊥CE，所以BQ⊥BE.又因為AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE,AB⊥BQ.以B為原點，分別以eq\o（BE，\s\up6（→)），eq\o(BQ,\s\up6(→）),eq\o（BA，\s\up6(→)）的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則A（0,0，2),B（0，0，0）,E（2,0,0），F(xiàn)(2，2，1）。因為AB⊥平面BEC，所以eq\o（BA，\s\up6(→））＝（0,0,2)為平面BEC的法向量。設(shè)n＝(x，y，z)為平面AEF的法向量.又eq\o(AE,\s\up6（→)）＝（2，0，－2)，eq\o(AF，\s\up6(→)）＝（2,2，－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（n·\o（AE，\s\up6(→））＝0，，n·\o(AF，\s\up6（→))＝0，））得eq\b\lc\{\rc