2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.1合情推理（一）學(xué)案1-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2.1。1合情推理（一)明目標(biāo)、知重點1。了解歸納推理的含義，能利用歸納推理進行簡單的推理。2。了解歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用.1.推理根據(jù)一個或幾個已知事實（或假設(shè)）得出一個判斷，這種思維方式就是推理。推理一般由兩部分組成：前提和結(jié)論.2。合情推理前提為真時，結(jié)論可能為真的推理，叫做合情推理.3。歸納推理根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì),推出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理(簡稱歸納）.4。歸納推理具有如下的特點（1)歸納推理是從特殊到一般的推理；（2)由歸納推理得到的結(jié)論不一定正確；（3）歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理.[情境導(dǎo)學(xué)］佛教《百喻經(jīng)》中有這樣一則故事.從前有一位富翁想吃芒果，打發(fā)他的仆人到果園去買，并告訴他：“要甜的，好吃的，你才買。”仆人拿好錢就去了.到了果園，園主說:“我這里樹上的芒果個個都是甜的，你嘗一個看."仆人說:“我嘗一個怎能知道全體呢？我應(yīng)當(dāng)個個都嘗過，嘗一個買一個，這樣最可靠."仆人于是自己動手摘芒果,摘一個嘗一口，甜的就都買回去。帶回家去,富翁見了,覺得非常惡心,一齊都扔了.想一想：故事中仆人的做法實際嗎？換作你，你會怎么做?學(xué)習(xí)了下面的知識，你將清楚是何道理.探究點一歸納推理的定義思考1在日常生活中我們常常遇到這樣一些問題：看到天空烏云密布,燕子低飛，螞蟻搬家等現(xiàn)象時，我們會得出一個判斷——天要下雨了;張三今天沒來上課，我們會推斷-—張三生病了；諺語說：“八月十五云遮月,來年正月十五雪打燈"等，像上面的思維方式就是推理，請問你認(rèn)為什么是推理？答根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程就叫做推理.思考2觀察下面兩個推理,回答后面的兩個問題：(1)哥德巴赫猜想：6＝3＋38＝3＋510＝5＋512＝5＋714＝7＋716＝5＋11……1000＝29＋9711002＝139＋863……猜想：任何一個不小于6的偶數(shù)都可寫成兩個奇質(zhì)數(shù)之和.(2)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜想：一切金屬都能導(dǎo)電.問題：①以上兩個推理在思維方式上有什么共同特點？②其結(jié)論一定正確嗎？答①共同特點：部分推出整體,個別推出一般。（這種推理稱為歸納推理)②其結(jié)論不一定正確.探究點二歸納推理的應(yīng)用例1已知數(shù)列{an｝的第1項a1＝1，且an＋1＝eq\f（an，1＋an）（n＝1，2，3，…)，試歸納出這個數(shù)列的通項公式.解當(dāng)n＝1時，a1＝1；當(dāng)n＝2時,a2＝eq\f（1，1＋1）＝eq\f(1,2)；當(dāng)n＝3時，a3＝eq\f(\f(1，2)，1＋\f(1，2)）＝eq\f（1，3)；當(dāng)n＝4時，a4＝eq\f(\f（1，3），1＋\f(1，3））＝eq\f（1，4）。通過觀察可得：數(shù)列的前四項都等于相應(yīng)序號的倒數(shù)，由此歸納出an＝eq\f(1，n).反思與感悟歸納推理的一般步驟：(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想)。歸納推理在數(shù)列中應(yīng)用廣泛，我們可以從數(shù)列的前幾項找出數(shù)列項的規(guī)律，歸納數(shù)列的通項公式或探求數(shù)列的前n項和公式。跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列｛an｝滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3,…）(1)求a2，a3，a4，a5；（2)歸納猜想通項公式an.解（1）當(dāng)n＝1時，知a1＝1，由an＋1＝2an＋1得a2＝3,a3＝7，a4＝15,a5＝31.(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1,a5＝31＝25－1,可歸納猜想出an＝2n－1(n∈N＋）.例2在法國巴黎舉行的第52屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有一層，就一個球；第2,3，4,…堆最底層（第一層)分別按圖所示方式固定擺放,從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球,以f(n）表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則f（3）＝______；f（n)＝______(答案用含n的代數(shù)式表示)。答案10eq\f(nn＋1n＋2，6)解析觀察圖形可知：f(1）＝1，f(2）＝4，f（3)＝10，f（4）＝20，…，故下一堆的個數(shù)是上一堆個數(shù)加上下一堆第一層的個數(shù)，即f(2)＝f（1)＋3;f(3）＝f（2)＋6；f（4）＝f(3）＋10；…；f（n)＝f(n－1)＋eq\f(nn＋1，2）。將以上(n－1）個式子相加可得f(n)＝f（1)＋3＋6＋10＋…＋eq\f(nn＋1，2）＝eq\f(1,2)[(12＋22＋…＋n2)＋（1＋2＋3＋…＋n）]＝eq\f(1，2)［eq\f(1，6)n(n＋1)（2n＋1）＋eq\f(nn＋1,2）]＝eq\f（nn＋1n＋2，6）。反思與感悟解本例的關(guān)鍵在于尋找遞推關(guān)系式：f（n）＝f（n－1）＋eq\f（nn＋1,2），然后用“疊加法”求通項,而第一層的變化規(guī)律，結(jié)合圖利用不完全歸納法可得，即為正整數(shù)前n項和的變化規(guī)律。跟蹤訓(xùn)練2在平面內(nèi)觀察：凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，凸六邊形有9條對角線，…由此猜想凸n（n≥4且n∈N＋)邊形有幾條對角線？解凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，比凸四邊形多3條，凸六邊形有9條對角線,比凸五邊形多4條,……于是猜想凸n邊形比凸(n－1）邊形多（n－2)條對角線。因此凸n邊形的對角線條數(shù)為2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝eq\f（1，2）n（n－3）(n≥4且n∈N＋)。1.已知eq\r（2＋\f（2,3））＝2eq\r（\f（2,3）),eq\r(3＋\f(3，8))＝3eq\r(\f(3,8)），eq\r（4＋\f（4,15））＝4eq\r(\f(4，15)），…,若eq\r（6＋\f（a，b)）＝6eq\r(\f（a,b)）(a、b均為實數(shù)）。請推測a＝______，b＝________.答案635解析由前面三個等式，發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)的整數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系：整數(shù)和這個分?jǐn)?shù)的分子相同，而分母是這個分子的平方減1,由此推測eq\r（6＋\f(a，b）)中，a＝6，b＝62－1＝35。2。將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數(shù)為________.答案eq\f(n2－n＋6，2)解析前n－1行共有正整數(shù)1＋2＋…＋（n－1）個，即eq\f（n2－n，2）個，因此第n行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第eq\f(n2－n,2）＋3個，即為eq\f(n2－n＋6，2).[呈重點、現(xiàn)規(guī)律]歸納推理的一般步驟（1）對有限的資料進行觀察、分析、歸納、整理，發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；（2）從已知的