2017學年高中數學2-21.5定積分的概念1.5.1-1.5.2-1.5.3含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1。5定積分的概念1.5。1曲邊梯形的面積1。5.2汽車行駛的路程1。5。3定積分的概念[學習目標]1．了解“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法．2．會求曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程．3．了解定積分的概念．4．了解定積分的幾何意義和性質．［知識鏈接]1．如何計算下列兩圖形的面積？答①直接利用梯形面積公式求解．②轉化為三角形和梯形求解．2．求曲邊梯形面積時，對曲邊梯形進行“以直代曲”，怎樣才能盡量減小求得的曲邊梯形面積的誤差？答為了減小近似代替的誤差,需要先分割再分別對每個小曲邊梯形“以直代曲"，而且分割的曲邊梯形數目越多，得到的面積的誤差越?。?．當f（x）在區(qū)間［a，b］上且f(x)〈0時，eq\i\in（a,b，）f(x）dx表示的含義是什么？答當f(x）在區(qū)間[a，b］上值小于零時，eq\i\in（a，b,)f(x）dx表示由y＝f（x),x＝a，x＝b，y＝0所圍成的圖形的面積的相反數．［預習導引]1．曲邊梯形的面積（1)曲邊梯形：由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f（x）所圍成的圖形稱為曲邊梯形（如圖①所示)．（2)求曲邊梯形面積的方法把區(qū)間[a，b]分成許多小區(qū)間,進而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,得到每個小曲邊梯形面積的近似值,對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值（如圖②所示）．（3）求曲邊梯形面積的步驟：①分割，②近似代替，③求和，④取極限．2．求變速直線運動的(位移）路程如果物體做變速直線運動，速度函數v＝v（t）,那么也可以采用分割,近似代替,求和，取極限的方法,求出它在a≤t≤b內所作的位移s.3．定積分的概念如果函數f(x）在區(qū)間[a，b］上連續(xù)，用分點a＝x0<x1<…<xi－1〈xi<…〈xn＝b將區(qū)間[a，b］等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間[xi－1,xi]上任取一點ξi(i＝1,2,…，n)作和式eq\i\su（i＝1,n，f）（ξi)Δx＝eq\i\su（i＝1,n,）eq\f（b－a,n）f（ξi)，當n→∞時，上述和式無限接近某個常數,這個常數叫做函數f(x)在區(qū)間［a,b]上的定積分，記作eq\i\in（a，b,）f(x）dx,即eq\i\in（a，b,)f(x）dx＝lieq\o(m,\s\do4（n→∞））eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a，n)f(ξi)．其中a與b分別叫做積分下限和積分上限,區(qū)間［a，b］叫做積分區(qū)間,函數f（x)叫做被積函數，x叫做積分變量,f(x)dx叫做被積式．4．定積分的幾何意義如果在區(qū)間[a,b]上函數f(x）連續(xù)且恒有f（x）≥0，那么定積分eq\i\in（a，b,）f（x）dx表示由直線x＝a，x＝b，y＝0和y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積．5．定積分的性質（1）eq\i\in（a,b,）kf（x)dx＝keq\i\in（a，b,）f（x）dx（k為常數）;(2)eq\i\in（a，b,）［f1（x)±f2（x)］dx＝eq\i\in（a,b，)f1（x）dx±eq\i\in（a,b，)f2(x）dx;（3）eq\i\in（a，b，）f(x)dx＝eq\i\in（a，c,)f(x）dx＋eq\i\in（c,b,）f（x）dx（其中a〈c〈b)．要點一求曲邊梯形的面積例1求拋物線f（x)＝1＋x2與直線x＝0，x＝1,y＝0所圍成的曲邊梯形的面積S.解(1)分割：把區(qū)間［0，1]等分成n個小區(qū)間eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（i－1，n），\f（i，n)）)（i＝1，2,…，n）,其長度Δx＝eq\f(1,n)，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形,其面積記為ΔSi（i＝1,2，…，n）．(2）近似代替：用小矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積．ΔSi＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（i－1,n）））·Δx＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（1＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(i－1,n）））2)）·eq\f（1,n）（i＝1,2，…，n）．（3)求和：eq\i\su（i＝1，n，Δ）Si＝eq\i\su（i＝1,n，)eq\f(1,n）eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n))）2）).(4）取極限:S＝lieq\o(m，\s\do4（n→∞））eq\i\su(i＝1,n，)eq\f（1，n）·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(i－1,n）))2)）＝1＋lieq\o(m,\s\do4（n→∞）)eq\i\su（i＝1,n,）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（i－1，n）））2·eq\f（1,n)＝1＋lieq\o(m,\s\do4(n→∞））eq\f(1,3）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(1,n）)）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(1，2n））)＝1＋eq\f（1,3)＝eq\f(4,3)。所以所求的曲邊梯形的面積為eq\f（4，3）。規(guī)律方法分割、近似代替、求和、取極限是求曲邊梯形面積的四個步驟,求曲邊梯形的面積時需理解以下幾點：①思想：以直代曲；②步驟：化整為零→以直代曲→積零為整→無限逼近;③關鍵:以直代曲；④結果：分割越細，面積越精確．跟蹤演練1用定積分的定義求由y＝3x，x＝0，x＝1,y＝0圍成的圖形的面積．解(1）分割:把區(qū)間[0,1]等分成n個小區(qū)間eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（i－1，n),\f(i，n)）)（i＝1,2，…，n)．其長度為Δx＝eq\f(1，n），把三角形分成一個小三角形和（n－1）個小梯形,其面積分別記為ΔSi（i＝1,2，…，n)．(2）近似代替：用小矩形的面積代替小三角形和小梯形的面積，取ξi＝eq\f(i－1，n）（i＝1，2,…，n），則ΔSi＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i－1，n)))Δx＝3·eq\f(i－1，n)·eq\f（1，n）＝eq\f(3,n2）(i－1)（i＝1，2，…，n)．（3）作和：eq\i\su(i＝1,n，Δ）Si＝eq\i\su(i＝1,n，）eq\f（3，n2）（i－1)＝eq\f(3，n2）[0＋1＋2＋…＋（n－1）]＝eq\f(3，2）·eq\f（n－1，n）。(4)取極限：S＝lieq\o(m，\s\do4（n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(3，n2）(i－1）＝lieq\o(m，\s\do4(n→∞)）eq\f（3,2）·eq\f（n－1，n)＝eq\f（3，2).要點二求變速運動的路程例2用定積分定義求物體自由落體的下落距離．已知自由落體的運動速度v＝gt,求在時間區(qū)間［0，t]內物體下落的距離．解（1)分割：將時間區(qū)間［0，t］分成n等份．把時間［0，t］分成n個小區(qū)間eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(i－1,n）t，\f(it，n）))(i＝1,2，…,n），每個小區(qū)間所表示的時間段Δt＝eq\f(it，n）－eq\f(i－1，n)t＝eq\f（t，n）,在各小區(qū)間物體下落的距離記作Δsi（i＝1，2,…，n)．（2)近似代替:在每個小區(qū)間上以勻速運動的路程近似代替變速運動的路程．在eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(i－1，n)t，\f(it，n）)）上任取一時刻ξi（i＝1，2，…，n)，可取ξi使v（ξi）＝geq\f（i－1，n）t近似代替第i個小區(qū)間上的速度，因此在每個小區(qū)間上自由落體Δt＝eq\f(t，n）內所經過的距離可近似表示為Δsi≈g·eq\f（i－1,n)t·eq\f(t，n)（i＝1，2，…，n)．（3）求和：sn＝eq\i\su(i＝1，n，Δ）si＝eq\i\su（i＝1,n,g)·eq\f(i－1，n）·t·eq\f(t,n)＝eq\f（gt2，n2）［0＋1＋2＋…＋（n－1)]＝eq\f(1，2）gt2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（1,n)）).（4）取極限:s＝lieq\o(m，\s\do4(n→∞）)eq\f(1,2)gt2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f(1，n））)＝eq\f(1,2)gt2.規(guī)律方法求變速直線運動的路程問題，方法和步驟類似于求曲邊梯形的面積，仍然利用以直代曲的思想，將變速直線運動問題轉化為勻速直線運動問題,求解過程為：分割、近似代替、求和、取極限．跟蹤演練2一輛汽車在直線形公路上做變速行駛，汽車在時刻t的速度為v(t）＝－t2＋5(單位：km/h），試計算這輛汽車在0≤t≤2（單位:h）這段時間內行駛的路程s（單位:km)．解(1)分割:在區(qū)間［0,2]上等間隔插入n－1個點，將區(qū)間分成n個小區(qū)間eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（2i－1，n)，\f(2i,n)）)。記第i個小區(qū)間為eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(2i－1，n），\f(2i，n）））（i＝1，2，…，n），Δt＝eq\f（2，n).則汽車在時間段eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(0，\f(2，n))），eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（2,n），\f（4,n）))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（2n－1,n），\f（2n,n))）上行駛的路程分別記為：Δs1,Δs2，…，Δsi，…,Δsn,有sn＝eq\i\su（i＝1,n，Δ)si。（2）近似代替：取ξi＝eq\f(2i,n)（i＝1,2，…,n)，Δsi≈veq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2i,n)）)·Δt＝eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2i，n)））2＋5))·eq\f(2，n）＝－eq\f(4i2,n2)·eq\f（2,n）＋eq\f（10，n）(i＝1，2,…,n)．sn＝eq\i\su（i＝1，n,Δ）si＝eq\i\su（i＝1,n,）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（4i2，n2)·\f(2,n)＋\f（10，n）)）＝－8·eq\f(1，3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，n）)）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n）)）＋10。（3)取極限:s＝lieq\o(m,\s\do4（n→∞))sn＝lieq\o（m，\s\do4（n→∞））eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(－8·\f（1,3）\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1,n))）\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1,2n）)）＋10))＝eq\f（22，3)。要點三利用定積分定義計算定積分例3利用定積分定義計算eq\i\in（1,2,）（1＋x）dx的值．解(1）分割：∵f（x)＝1＋x在區(qū)間[1,2］上連續(xù)，將區(qū)間［1,2]分成n等份，則每個區(qū)間長度為Δxi＝eq\f（1,n)，(2）近似替代：在［xi－1,xi]＝［1＋eq\f（i－1,n），1＋eq\f（i,n）］上取ξi＝xi－1＝1＋eq\f(i－1，n）（i＝1,2,3,…，n)，于是f（ξi)＝f（xi－1)＝1＋1＋eq\f（i－1,n)＝2＋eq\f(i－1,n)，(3)求和：從而eq\i\su（i＝1，n，f）（ξ1)Δxi＝eq\i\su（i＝1,n，)(2＋eq\f(i－1,n)）·eq\f（1,n)＝eq\i\su（i＝1,n，）(eq\f（2，n)＋eq\f(i－1,n2))＝eq\f（2，n）·n＋eq\f(1，n2)［0＋1＋2＋…＋（n－1）]＝2＋eq\f(1,n2）·eq\f(nn－1，2）＝2＋eq\f(n－1,2n)，（4)取極限:eq\i\in(1，2,)(1＋x）dx＝lieq\o（m，\s\up6（,n→∞））(2＋eq\f(n－1，2n)）＝2＋eq\f（1，2)＝eq\f(5,2）.規(guī)律方法（1）利用定積分的定義計算定積分的值能加深對定積分的概念及其幾何意義的理解,用定積分的定義求定積分的步驟是:①分割，②近似代替，③求和,④取極限．（2）在每個小區(qū)間［xi－1，xi］上對ξi的選取是任意的，為了計算方便，ξi可都取為每個小區(qū)間的左端點(或都取為右端點）．跟蹤演練3利用定積分的定義，計算eq\i\in(1,2,)(3x＋2)dx的值．解令f（x）＝3x＋2.(1)分割在區(qū)間[1，2]上等間隔地插入n－1個分點，把區(qū)間［1，2］等分成n個小區(qū)間［eq\f（n＋i－1,n），eq\f（n＋i,n)]（i＝1，2，…，n），每個小區(qū)間的長度為Δx＝eq\f(n＋i，n）－eq\f(n＋i－1,n)＝eq\f(1，n)。（2）近似代替、求和取ξi＝eq\f(n＋i－1,n)（i＝1,2,…，n)，則Sn＝eq\i\su(i＝1，n，f)(eq\f(n＋i－1,n））·Δx＝eq\i\su(i＝1,n,[）eq\f（3n＋i－1,n）＋2］·eq\f（1,n)＝eq\i\su（i＝1,n，［）eq\f（3i－1，n2)＋eq\f(5,n）］＝5＋eq\f（3，n2）[0＋1＋2＋…＋（n－1）］＝eq\f（3,2）×eq\f(n2－n,n2)＋5＝eq\f(13，2）－eq\f(3,2n）。（3)取極限eq\i\in(1，2，）(3x＋2)dx＝eq\o(lim,\s\do4（n→∞））Sn＝eq\o(lim,\s\do4（n→∞））（eq\f(13，2)－eq\f（3，2n))＝eq\f(13,2)。要點四定積分幾何意義的應用例4用定積分的意義求下列各式的值．（1）eq\i\in（,3,)－1(3x＋1）dx；（2）∫eq\f(\r(3),2）－eq\f(\r(3),2)eq\r(1－x2)dx.解(1）由直線x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所圍成的圖形，如圖所示:eq\i\in（,3，）－1(3x＋1)dx表示由直線x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所圍成的圖形在x軸上方的面積減去在x軸下方的面積，∴eq\i\in（－1,3,）(3x＋1)dx＝eq\f（1，2)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（3＋\f（1,3）））×（3×3＋1）－eq\f（1,2）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，3）＋1））·2＝eq\f(50,3)－eq\f（2,3)＝16.（2)由y＝eq\r（1－x2)可知，x2＋y2＝1，(y≥0）圖象如圖,由定積分的幾何意義知∫eq\f（\r（3），2)－eq\f(\r(3)，2)eq\r（1－x2）dx等于圓心角為120°的弓形CED的面積與矩形ABCD的面積之和．S弓形＝eq\f(1,2）×eq\f（2，3）π×12－2×eq\f(1，2)×1×1×sineq\f（π，3）coseq\f(π,3）＝eq\f(π,3）－eq\f（\r(3)，4),S矩形＝|AB｜·|BC｜＝2×eq\f（\r（3），2)×eq\f（1，2）＝eq\f（\r(3）,2）,∴∫eq\f(\r(3)，2)－eq\f(\r（3），2）eq\r(1－x2）dx＝eq\f(π，3)－eq\f(\r(3）,4)＋eq\f(\r(3)，2)＝eq\f(π，3）＋eq\f（\r(3），4).規(guī)律方法(1)用定積分表示曲線圍成的平面區(qū)域的面積的步驟是：①準確畫出各曲線圍成的平面區(qū)域；②把平面區(qū)域分割成容易表示的幾部分，同時要注意x軸下方有沒有區(qū)域；③解曲線組成的方程組，確定積分的上、下限；④根據積分的性質寫出結果．(2)利用幾何意義求定積分，關鍵是準確確定被積函數的圖象，以及積分區(qū)間,正確利用相關的幾何知識求面積，不規(guī)則的圖形常用分割法求面積，注意分割點的準確確定．跟蹤演練4利用定積分的幾何意義求：（1)eq\i\in（，2，)－2eq\r（4－x2）dx；(2)eq\i\in(，1，）0eq\r（1－x2)dx。解(1）被積函數的曲線是圓心在原點,半徑為2的半圓周，由定積分的幾何意義知此積分計算的是半圓的面積,所以有eq\i\in（,2，）－2eq\r（4－x2)dx＝eq\f(π·22，2)＝2π。(2）∵被積函數為y＝eq\r（1－x2)，其表示的曲線為以原點為圓心,1為半徑的四分之一的圓，由定積分的幾何意義可知,所求的定積分即為該四分之一圓的面積．∴eq\i\in（,1,）0eq\r(1－x2）dx＝eq\f（1，4）π·12＝eq\f(1，4）π。1．把區(qū)間［1，3］n等分,所得n個小區(qū)間的長度均為(）A.eq\f(1，n） B．eq\f(2，n)C．eq\f(3,n） D．eq\f(1，2n)答案B解析區(qū)間［1，3］的長度為2,故n等分后,每個小區(qū)間的長度均為eq\f(2,n).2．定積分eq\i\in(a,b，）f(x)dx的大小(）A．與f(x）和積分區(qū)間［a，b］有關,與ξi的取法無關B．與f(x）有關，與區(qū)間[a，b]以及ξi的取法無關C．與f(x）以及ξi的取法有關,與區(qū)間［a,b]無關D．與f(x）、積分區(qū)間[a,b]和ξi的取法都有關答案A3．求由曲線y＝eq\f（1，2)x2與直線x＝1，x＝2,y＝0所圍成的平面圖形面積時，把區(qū)間5等分,則面積的近似值（取每個小區(qū)間的左端點)是________．答案1。02解析將區(qū)間5等分所得的小區(qū)間為eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（1，\f(6,5))）,eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(6，5)，\f(7，5)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(7，5）,\f（8，5)）），eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(8，5)，\f(9，5)）），eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,5），2）)，于是所求平面圖形的面積近似等于eq\f（1,10）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f(36,25）＋\f（49,25)＋\f（64,25）＋\f（81，25）））＝eq\f(1，10）×eq\f（255,25)＝1。02.4．根據定積分的幾何意義，用不等號連接下列式子：①eq\i\in（0,1，）xdx________eq\i\in(0,1，）x2dx；②eq\i\in（0,2,）eq\r(4－x2）dx________eq\i\in（0,2，)2dx。答案①〉②〈1．求曲邊梯形面積和汽車行駛的路程的步驟:（1)分割：n等分區(qū)間［a，b]；（2)近似代替：取點ξi∈［xi－1,xi］;（3)求和：eq\i\su（i＝1，n,f）(ξi)·eq\f（b－a，n）；（4)取極限：S＝lieq\o（m,\s\do4（n→∞）)eq\i\su(i＝1，n，f）(ξi）·eq\f(b－a,n）.“近似代替”也可以用較大的矩形來代替曲邊梯形，為了計算方便，可以取區(qū)間上的一些特殊點，如區(qū)間的端點(或中點)．2．定積分eq\i\in(a,b,)f（x)dx是一個和式eq\i\su（i＝1,n，）eq\f（b－a,n）f(ξi）的極限，是一個常數．3．可以利用“分割、近似代替、求和、取極限”求定積分；對于一些特殊函數,也可以利用幾何意義求定積分．4．定積分的幾何性質可以幫助簡化定積分運算.一、基礎達標1．當n很大時，函數f（x)＝x2在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（i－1,n），\f（i，n）))上的值，可以近似代替為（）A．feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,n））) B．feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（2,n）））C．feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(i，n))) D．f(0）答案C2．一物體沿直線運動，其速度v（t）＝t，這個物體在t＝0到t＝1這段時間內所走的路程為（)A.eq\f(1,3) B．eq\f（1，2)C．1 D．eq\f（3，2）答案B解析曲線v（t）＝t與直線t＝0，t＝1，橫軸圍成的三角形面積S＝eq\f(1,2）即為這段時間內物體所走的路程．3．由直線x＝1，y＝0，x＝0和曲線y＝x3所圍成的曲邊梯形,將區(qū)間4等分,則曲邊梯形面積的近似值(取每個區(qū)間的右端點)是（）A。eq\f(1，19) B．eq\f(111，256)C．eq\f（11，27) D．eq\f(25,64）答案D解析將區(qū)間［0，1］四等分,得到4個小區(qū)間：eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4）)),eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（1,4)，\f（1,2））)，eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(1,2），\f(3，4)）），eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(3，4）,1）），以每個小區(qū)間右端點的函數值為高，4個小矩形的面積和為曲邊梯形面積的近似值S＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,4)))3×eq\f(1,4）＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))）3×eq\f（1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3，4)))3×eq\f(1，4)＋13×eq\f(1,4）＝eq\f（25，64).4．下列命題不正確的是()A．若f(x)是連續(xù)的奇函數，則eq\i\in（,a,)－af（x）dx＝0B．若f(x)是連續(xù)的偶函數,則eq\i\in(,a,）－af（x）dx＝2eq\i\in（0，a，)f(x）dxC．若f(x)在［a，b]上連續(xù)且恒正，則eq\i\in(a,b，)f(x)dx＞0D．若f(x)在［a,b]上連續(xù)且eq\i\in(a，b,）f（x)dx>0,則f(x)在［a，b］上恒正答案D解析對于A，f(－x）＝－f（x)，eq\i\in(，a，)－af(x）dx＝eq\i\in(,0，)－af(x)dx＋eq\i\in(0,a，)f（x）dx＝－∫a0f(x）dx＋eq\i\in(0,a,）f(x）dx＝0，同理B正確；由定積分的幾何意義知，當f（x）〉0時，eq\i\in（a,b,）f(x）dx〉0即C正確；但eq\i\in(a,b,)f（x）dx〉0，不一定有f(x）恒正，故選D.5．已知eq\i\in（0，t，）xdx＝2，則eq\i\in(，0,)－txdx等于________．答案－2解析∵f(x)＝x在[－t，t]上是奇函數，∴eq\i\in(，t，）－txdx＝0.而eq\i\in(,t,）－txdx＝eq\i\in（，0,）－txdx＋eq\i\in(0,t，）xdx，又eq\i\in（0，t，)xdx＝2，∴eq\i\in（，0，）－txdx＝－2。6．由y＝sinx，x＝0，x＝－π，y＝0所圍成圖形的面積寫成定積分的形式是S＝________。答案－eq\i\in（，0,)－πsinxdx解析由定積分的意義知,由y＝sinx，x＝0,x＝－π，y＝0圍成圖形的面積為S＝－eq\i\in(，0,)－πsinxdx。7．求直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2所圍成的曲邊梯形的面積．解令f(x)＝x2。（1）分割將區(qū)間［0,2]n等分，分點依次為x0＝0，x1＝eq\f（2，n)，x2＝eq\f（4,n),…，xn－1＝eq\f(2n－1，n)，xn＝2.第i個區(qū)間為eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(2i－2,n),\f(2i,n)))（i＝1，2，…，n)，每個區(qū)間長度為Δx＝eq\f（2i,n）－eq\f（2i－2，n）＝eq\f（2,n）.(2）近似代替、求和取ξi＝eq\f（2i，n）(i＝1，2,…，n)，Sn＝eq\i\su(i＝1,n，f)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2i,n)）)·Δx＝eq\i\su（i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（2i,n)))2·eq\f（2,n）＝eq\f（8，n3）eq\i\su（i＝1,n，i）2＝eq\f(8,n3）（12＋22＋…＋n2）＝eq\f（8,n3)·eq\f(nn＋12n＋1,6）＝eq\f（4，3)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2＋\f(3，n）＋\f(1，n2）)).（3）取極限S＝lieq\o（m，\s\do4(n→∞)）Sn＝lieq\o(m,\s\do4（n→∞)）eq\f（4,3）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2＋\f(3，n)＋\f(1,n2））)＝eq\f（8，3),即所求曲邊梯形的面積為eq\f(8,3）。二、能力提升8．已知f(x）＝x3－x＋sinx，則eq\i\in(，2,)－2f（x）dx的值為()A．等于0 B．大于0C．小于0 D．不確定答案A解析易知f（x)為奇函數，由奇函數的性質eq\i\in（,0，）－2f（x)dx＝－eq\i\in(0，2，)f（x)dx,而eq\i\in（,2,)－2f(x）dx＝eq\i\in(，0，)－2f（x）dx＋eq\i\in（0，2,）f（x）dx＝0。9．設a＝eq\i\in（0,1，）xeq\f（1,3)dx，b＝eq\i\in（0，1，）x2dx,c＝eq\i\in(0，1，）x3dx，則a,b，c的大小關系是(）A．c〉a>b B．a>b〉cC．a＝b〉c D．a>c〉b答案B解析根據定積分的幾何意義，易知eq\i\in（0,1，)x3dx＜eq\i\in（0，1，)x2dx〈eq\i\in(0，1，)xeq\f（1，3）dx,a＞b＞c，故選B.10．設f（x)是連續(xù)函數，若eq\i\in(0，1,)f（x）dx＝1,eq\i\in（0，2，）f（x)dx＝－1，則eq\i\in（1,2，)f(x）dx＝________.答案－2解析因為eq\i\in(0,2,）f（x)dx＝eq\i\in（0,1,）f(x)dx＋eq\i\in（1,2,）f（x)dx，所以eq\i\in(1,2,)f（x)dx＝eq\i\in（0,2，）f（x）dx－eq\i\in（0，1，)f（x)dx＝－2。11．已知∫eq\f(π,2）0sinxdx＝eq\i\in（,π，)eq\f(π,2）sinxdx＝1，∫eq\f（π，2）0x2dx＝eq\f(π3,24)，求下列定積分：(1)eq\i\in(0,π，）sinxdx;（2)∫eq\f（π，2)0(sinx＋3x2)dx.解（1)eq\i\in（0,π，）sinxdx＝∫eq\f（π，2）0sinxdx＋eq\i\in（，π，）eq\f(π，2)sinxdx＝2.（2）∫eq\f(π,2)0（sinx＋3x2）dx＝∫eq\f(π，2)0sinxdx＋3∫eq\f（π,2）0x2dx＝1＋eq\f（π3,8)。12．已知函數f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x3,x∈[－2，2,2x，x∈[2，π，cosx，x∈［π，2π]))，求f（x）在區(qū)間[－2，2π］上的定積分．解由定積分的幾何意義知eq\i\in(,2,）－2x3dx＝0，eq\i\in(2，π,）2xdx＝eq\f(π－22π＋4，2)＝π2－4，∫eq\o\al(2π,π）cosxdx＝0，由定積分的性質得eq\i\in（－2,2π，）f（x）dx＝eq\i\in(，2，)－2x3dx＋eq\i\in（2，π，）2xdx＋∫eq\o\al(2π，π）cosxdx＝π2－4.三、探究與創(chuàng)新13．利用定積分的定義