第二講 線性規(guī)劃、基本不等式與不等式的證明

隨堂講義·第一部分知識復習專題專題四不等式第二講線性規(guī)劃、基本不等式與不等式的證明預測2015年高考中一定有線性規(guī)劃小題，利用不等式性質與基本不等式的小題也一般情況都會考到，而基本不等式也可能在大題中求最值問題中用到．但由于現(xiàn)有導數(shù)方法研究函數(shù)最值問題，故直接利用基本不等式求最值機會變小，但仍然有考到的可能，特別是在小題中可能性很大．

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欄目鏈接主干考點梳理考點1線性規(guī)劃問題

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欄目鏈接1．設出變量x，y，列出變量x，y的線性約束條件，確定目標函數(shù)．2．作出可行域和目標函數(shù)值為0的直線l.3．利用直線l確定最優(yōu)解對應的點，從而求出最優(yōu)解．主干考點梳理考點2基本不等式的應用問題

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欄目鏈接a，b＞0a＝b最小值最大值2ab2主干考點梳理

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欄目鏈接2－2主干考點梳理考點自測

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欄目鏈接B主干考點梳理解析：

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欄目鏈接

畫出不等式表示的平面區(qū)域，如圖，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，畫出y＝－x的圖象，當它的平行線經過A(2，0)時，z取得最小值，最小值為z＝2，無最大值．故選B.主干考點梳理

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欄目鏈接C主干考點梳理

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直線x＝4交直線x＋2y＝8于點A(4，2)，作直線l：z＝2x＋y，則z為直線l在y軸上的截距，當直線經過可行域上的點A時，直線l在y軸上的截距最大，此時z取最大值，即zmax＝2×4＋2＝10.故選C.主干考點梳理

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欄目鏈接D主干考點梳理

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欄目鏈接突破點1不等式正、誤的辨別與大小比較問題高考熱點突破

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欄目鏈接Cp＜m＜n思路點撥：高考熱點突破

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欄目鏈接(1)可以根據(jù)a－|b|＞0去掉絕對值號得到a與b的大小關系，從而作出判斷，亦可以在a，b∈R的前提下取滿足a－|b|＞0的特殊實數(shù)a，b驗證．(2)可以由已知先得到a，b，ab三者的大小關系，再判定c與1的大小關系，最后利用對數(shù)函數(shù)的單調性比較大?。嗫梢杂锰厥庵捣ū容^．解析：高考熱點突破

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欄目鏈接規(guī)律方法

(1)判斷不等式的正誤，常利用不等式的性質、基本不等式、函數(shù)的單調性和特殊值法、作差法等．(2)比較大小常利用：①函數(shù)的單調性法；②圖象法；③不等式的性質或基本不等式法；④作差法；⑤特殊值法．高考熱點突破

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欄目鏈接跟蹤訓練高考熱點突破

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欄目鏈接D解析：高考熱點突破

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欄目鏈接突破點2線性規(guī)劃問題高考熱點突破

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欄目鏈接

例2某公司租賃甲、乙兩種設備生產A，B兩類產品，甲種設備每天能生產A類產品5件和B類產品10件，乙種設備每天能生產A類產品6件和B類產品20件．已知設備甲每天的租賃費為200元，設備乙每天的租賃費為300元，現(xiàn)該公司至少要生產A類產品50件，B類產品140件，所需租賃費最少為________元．2300解析：高考熱點突破

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欄目鏈接

設甲種設備需要生產x天，乙種設備需要生產y天，該公司所需租賃費為z元，則z＝200x＋300y，甲、乙兩種設備生產A，B兩類產品的情況如下表所示：產品設備A類產品/件B類產品/件租賃費/元甲設備510200乙設備620300高考熱點突破

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欄目鏈接規(guī)律方法

(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是由最優(yōu)解確定目標函數(shù)的字母系數(shù)的取值范圍．(2)解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標函數(shù)所表示的幾何意義，數(shù)形結合找到目標函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準確，整點問題要驗證解決．高考熱點突破

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欄目鏈接2．某公司生產甲、乙兩種桶裝產品．已知生產甲產品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生產乙產品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元．公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗A，B原料都不超過12千克．通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是(

)A．1800元B．2400元

C．2800元D．3100元C解析：高考熱點突破

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欄目鏈接

解決線性規(guī)劃題目的常規(guī)步驟：一列(列出約束條件)、二畫(畫出可行域)、三作(作目標函數(shù)變形式的平行線)、四求(求出最優(yōu)解).點評：突破點3利用基本不等式求最值問題高考熱點突破

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欄目鏈接例3下圖所示的是自動通風設施，該設施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB＝1米，梯形的高為0.5米，CD＝3米，上部CmD是個半圓，固定點E為CD的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗(陰影部分均不通風)，MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和CD平行的伸縮橫桿．高考熱點突破

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欄目鏈接(1)設MN與AB之間的距離為x米，試將三角通風窗EMN的通風面積S(平方米)表示成關于x的函數(shù)S＝f(x)．(2)當MN與AB之間的距離為多少米時，三角通風窗的通風面積最大？并求出這個最大面積．解析：高考熱點突破

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欄目鏈接規(guī)律方法

在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件，才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤．而“定”條件往往是整個求解過程中的一個難點和關鍵．解題時應根據(jù)已知條件適當進行添(拆)項，創(chuàng)造應用均值不等式的條件．高考熱點突破

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欄目鏈接3．為了保護環(huán)境，實現(xiàn)城市綠化．某房地產公司要在拆遷地長方形ABCD上規(guī)劃出一塊長方形地面建造公園，公園一邊落在CD上，但不得越過文物保護區(qū)△AEF的EF，問如何設計才能使公園占地面積最大？并求這個最大面積(其中AB＝200m，BC