高量7-01b 二次量子化方法

２００４年１２月第七章二次量子化方法2/5/20231引言●全同多粒子體系難以用通常的波函數(shù)處理→發(fā)展了二次量子化方法?

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引入粒子占有數(shù)表象—用各單粒子態(tài)填充的粒子數(shù)描述狀態(tài)；交換對稱性自動滿足

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基本算符：粒子的產(chǎn)生算符和消滅算符

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任意態(tài)矢和力學(xué)量均可用它們表示

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有系統(tǒng)的法則計算力學(xué)量的矩陣元2/5/20232§7.1

中心場近似CentralFieldApproximation??●??????????2/5/20233一、多粒子體系的哈密頓量●考察序數(shù)為

Z的原子中

Z

個電子構(gòu)成的體系在非相對論近似下，哈密頓量為2/5/20234一、多粒子體系的哈密頓量●對哈密頓量的分析輕原子，前者重要，后者可視作微擾重原子反之；一般原子，二者都較重要→為單粒子算符之和，可分離變量求解2/5/20235二、中心場近似●用單粒子位代替庫侖排斥力因電子間庫侖斥力具有很大的球?qū)ΨQ成分→可取一球?qū)ΨQ的單粒子位函數(shù)之和代替→中心場近似2/5/20236二、中心場近似●中心場近似的實質(zhì)將Z個具有相互作用的電子看作相互無作用地在一個共同的中心場中運動——零級近似零級近似哈密頓量分離變量求解2/5/20237二、中心場近似●原子核物理中的獨立粒子模型2/5/20238§7.2

N個全同粒子體系的波函數(shù)——零級近似波函數(shù)2/5/20239一、Slater行列式●全同粒子具有不可分辨性→全同多粒子體系的波函數(shù)必須滿足交換對稱性?

費米子—交換反對稱→泡利不相容原理?

玻色子—交換對稱●中心場近似下N個費米子體系的狀態(tài)波函數(shù)Slater行列式；求和形式N個對象的排列算符；N=3的例子2/5/202310二、全同玻色子體系的波函數(shù)●N個玻色子占有N個狀態(tài)一般表達式N=3的例子●N個玻色子占有m個狀態(tài)一般表達式N=3的例子2/5/202311三、一般結(jié)論●對稱性確保滿足全同性——不可分辨性費米子體系波函數(shù)的反對稱性確保滿足泡利不相容原理●在中心場近似下，只需知道1、哪幾個單粒子態(tài)被占有2、每個單粒子態(tài)上有幾個粒子即可知道全同粒子體系的狀態(tài)2/5/202312§7.3

粒子數(shù)表象RepresentationofParticleNumber

2/5/202313一、粒子數(shù)表象的由來●上述結(jié)論啟發(fā)人們采用粒子數(shù)表象引入粒子的產(chǎn)生和消滅算符以簡化多粒子體系力學(xué)量矩陣元的計算這種方法就叫做二次量子化方法2/5/202314二、粒子的真空態(tài)；產(chǎn)生消滅算符●產(chǎn)生算符的定義●真空態(tài)定義；歸一化條件單個粒子的狀態(tài)N個粒子的狀態(tài)2/5/202315二、粒子的真空態(tài)；產(chǎn)生消滅算符●消滅算符的定義作用于真空態(tài)的效果產(chǎn)生和消滅算符互為厄米共軛；非厄米2/5/202316§7.4

粒子數(shù)表象中費米子體系的波函數(shù)及力學(xué)量的表示2/5/202317一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對易關(guān)系●產(chǎn)生算符表示狀態(tài)應(yīng)與Slater行列式等價→產(chǎn)生算符的對易關(guān)系→消滅算符的對易關(guān)系2/5/202318一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對易關(guān)系●態(tài)矢量的正交歸一化→產(chǎn)生算符與消滅算符之間的對易關(guān)系態(tài)矢量內(nèi)積；三個可能值N=1的情況N=2的情況2/5/202319一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對易關(guān)系●N個費米子處于N個單粒子態(tài)的態(tài)矢量表示態(tài)矢量表示厄米共軛反對易關(guān)系2/5/202320一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對易關(guān)系●利用對易關(guān)系計算?

一般地，有2/5/202321一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對易關(guān)系●同理可得2/5/202322一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對易關(guān)系總粒子數(shù)算符●進而得到2/5/202323二、力學(xué)量的表示●單粒子算符例：單粒子動能算符N個粒子體系的動能算符在粒子數(shù)表象中的表達式其中矩陣元的含義2/5/202324二、力學(xué)量的表示●雙粒子算符例：兩個粒子相互作用位能算符?

N個粒子體系總的相互作用位能算符?

在粒子數(shù)表象中的表達式其中矩陣元的含義2/5/202325二、力學(xué)量的表示●力學(xué)量表達式的由來要求與波動力學(xué)矩陣元表達式相等而總結(jié)得到

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單粒子算符在多粒子態(tài)矢量間的矩陣元有一個態(tài)不相同的情況?雙粒子算符在多粒子態(tài)矢量間的矩陣元有一個態(tài)不相同的情況2/5/202326二、力學(xué)量的表示●力學(xué)量表達式的由來在粒子數(shù)表象下用上述力學(xué)量計算的結(jié)果與此完全一致2/5/202327§7.5

維克定理WickTheorem2/5/202328一、正規(guī)積與收縮●正規(guī)積一個以上產(chǎn)生消滅算符乘積的正規(guī)積為全部產(chǎn)生算符排在全部消滅算符的左邊

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舉例；?

正負(fù)號問題

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正規(guī)積作用于真空態(tài)2/5/202329一、正規(guī)積與收縮●收縮兩算符乘積的收縮＝乘積－正規(guī)積?總共只有四種收縮→收縮是個數(shù)2/5/202330二、Wick定理●n個產(chǎn)生算符與m個消滅算符的交叉乘積在真空態(tài)上的平均值當(dāng)n+m=奇數(shù)，為零當(dāng)n+m=偶數(shù)，為一切可能的收縮乘積之和?例：2/5/202331三、Wick定理的應(yīng)用●利用Wick定理，可以方便地計算矩陣元?計算單粒子（單體）算符的矩陣元列表計算收縮→2/5/202332三、Wick定理的應(yīng)用?計算單體算符的矩陣元（續(xù)）代入單粒子位能算符矩陣元表達式→2/5/202333三、Wick定理的應(yīng)用?計算雙粒子（二體）算符的矩陣元代入雙粒子位能算符矩陣元表達式→2/5/202334四、哈密頓量及其零極近似●哈密頓量在粒子數(shù)表象中的表達式●

N個全同費米子體系零級哈密頓量的解?用產(chǎn)生消滅算符表示的哈密頓量與粒子數(shù)無關(guān)，粒子數(shù)只表現(xiàn)在態(tài)矢量上2/5/202335五、空穴算符●為計算方便，定義基態(tài)為真空態(tài)?

稱|0

>為真正真空態(tài)●此時，消滅算符作用于基態(tài)可能不為零2/5/202336五、空穴算符●定義空穴（洞眼）的產(chǎn)生和消滅算符●兩類產(chǎn)生和消滅算符2/5/202337五、空穴算符●對易關(guān)系?

粒子算符與空穴算符全部反對易?

粒子算符之間?

空穴算符之間2/5/202338五、空穴算符●正規(guī)積（混合型）●收縮2/5/202339五、空穴算符●Wick定理?例子2/5/202340五、空穴算符●單體算符和二體算符在真空態(tài)下的平均值?單體算符的平均值?二體算符的平均值2/5/202341五、空穴算符●激發(fā)態(tài)?一粒子激發(fā)?二粒子激發(fā)?先消滅后產(chǎn)生→先產(chǎn)生空穴，后產(chǎn)生粒子2/5/202342§7.6

粒子數(shù)表象中玻色子體系的波函數(shù)Boson’sSystem

2/5/202343一、N個玻色子體系的態(tài)矢量●N個玻色子處于m個不同單粒子態(tài)?態(tài)矢量?歸一化因子?

坐標(biāo)表象中的波函數(shù)2/5/202344一、N個玻色子體系的態(tài)矢量●產(chǎn)生消滅算符對易關(guān)系與歸一化因子的確定?交換兩粒子全部坐標(biāo)，態(tài)矢量對稱

→產(chǎn)生算符對易關(guān)系?

消滅算符對易關(guān)系2/5/202345一、N個玻色子體系的態(tài)矢量?態(tài)矢量應(yīng)正交歸一

→產(chǎn)生算符與消滅算符之間的對易關(guān)系

→及歸一化因子2/5/202346一、N個玻色子體系的態(tài)矢量?N=1的例子?N=2，且兩粒子所處單粒子態(tài)相同?N=3，且三個粒子所處單粒子態(tài)相同2/5/202347一、N個玻色子體系的態(tài)矢量?N=5，按3-2分布分別處于兩個單粒子態(tài)?→一般來說?對易關(guān)系2/5/202348一、N個玻色子體系的態(tài)矢量●也可用粒子數(shù)來表示狀態(tài)?更一般地2/5/202349一、N個玻色子體系的態(tài)矢量●產(chǎn)生算符作用于態(tài)矢量的結(jié)果2/5/202350一、N個玻色子體系的態(tài)矢量●消滅算符作用于態(tài)矢量的結(jié)果2/5/202351一、N個玻色子體系的態(tài)矢量●產(chǎn)生消滅算符乘積作用于態(tài)矢量的結(jié)果2/5/202352一、N個玻色子體系的態(tài)矢量●結(jié)果匯總?態(tài)矢量?算符對易關(guān)系?算符作用于態(tài)矢量2/5/202353一、N個玻色子體系的態(tài)矢量●只考慮一種單粒子的結(jié)果?態(tài)矢量?算符對易關(guān)系?算符作用于態(tài)矢量2/5/202354一、N個玻色子體系的態(tài)矢量●要點?單體和二體算符的表示與