材料力學(xué)-扭轉(zhuǎn)問題

第三章扭轉(zhuǎn)§3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例工程上有很多承受扭轉(zhuǎn)變形桿件,例如攪拌器的主軸實(shí)例實(shí)例傳動(dòng)軸實(shí)例汽車傳動(dòng)軸實(shí)例汽車方向盤實(shí)例絲錐攻絲實(shí)例

扭轉(zhuǎn)變形是指桿件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于桿件軸線的力偶作用,使桿件的橫截面繞軸線產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。

扭轉(zhuǎn)的概念工程上，把承受扭轉(zhuǎn)變形的桿件稱“軸”。其橫截面大都是圓形的。所以本章主要介紹圓軸扭轉(zhuǎn)。MeMe橫截面之間的相對角位移,稱為扭轉(zhuǎn)角。直接計(jì)算§3.2、外力偶矩的計(jì)算扭矩和扭矩圖一.外力偶的計(jì)算

按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算已知軸轉(zhuǎn)速－n

轉(zhuǎn)/分鐘輸出功率－Pk

千瓦力偶矩Me二.扭轉(zhuǎn)內(nèi)力:MeMeMeTMeTnn（+）（+）仍采用截面法:扭轉(zhuǎn)內(nèi)力正負(fù)號規(guī)則:右手螺旋法則,確定內(nèi)力正負(fù)

扭矩T扭矩正負(fù)規(guī)定右手螺旋法則右手拇指指向外法線方向?yàn)檎?+),反之為負(fù)(-)例

已知PkA=19kW,PkB=44kW,

PkC=25kW,n=150rpm求:作圖示傳動(dòng)軸的扭矩圖.MAMBMC解:

1.求外力偶

MA==1210Nm同理

MB=2800Nm,MC=1590Nm

MAMBMC1-12-2T1-MA=0

討論：交換AB輪的位置扭矩將如何變化？1210-1590xT-2800-1590xTMAnT1

T2-MA+

MB=0MBMAT2n2.截面法求內(nèi)力(設(shè)正法)3.作內(nèi)力圖

T1

=1210Nm

T2

=-1590Nm3.3純剪切l(wèi)XMelX（1）實(shí)驗(yàn)觀察:各縱向線傾斜角度相同；正方形網(wǎng)格,加外力偶后變成同樣大小的平行四邊形。各圓周線的形狀、大小和間距不變，只是繞軸線作相對轉(zhuǎn)動(dòng)；一圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)切應(yīng)力lXMe二推論：存在切應(yīng)力,且同一圓周上的切應(yīng)力相同

橫截面上無正力；(橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力的方向和半徑垂直。)R由現(xiàn)象A

由現(xiàn)象B二切應(yīng)力互等定律xyzdxdydz=單元體純剪切狀態(tài)沿纖維、木紋方向開裂可以證明實(shí)驗(yàn)證明:當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí),剪切胡克定律G:稱為材料的切變模量反映材料的抗剪切變形的能力.(MPa,GPa)各向同性材料三切應(yīng)變,剪切胡克定律四

剪切應(yīng)變能密度

ABCDtt

′dxdydz剪切應(yīng)變能密度當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限§3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力lXMelX實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：……平面假設(shè)：圓桿的橫截面變形后仍為保持為平面一變形幾何關(guān)系

圓軸橫截面像剛性平面一樣,繞軸線轉(zhuǎn)過一角度T表面內(nèi)部二物理?xiàng)l件：三平衡條件：dxTT內(nèi)部一變形幾何關(guān)系

T極慣性矩實(shí)心圓軸空心圓軸Wt抗扭截面系數(shù)圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件:對階梯軸，因各段的Wt不同

,最大切應(yīng)力不一定在最大T所在截面，須綜合考慮T和Wt，確定T/Wt極值。d已知：P1＝14kW,功率的一半傳n1=n2=120r/min,

z1=36,z3=12;

d1=70mm,d2=50mm,

d3=35mm.求:各軸橫截面上的最大切應(yīng)力。P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/minn3=n1

z3z1=1203612=360r/min

Me1=T1=1114N.mMe2=T2=557N.mMe3=T3=185.7N.m解：強(qiáng)度滿足。空心優(yōu)于實(shí)心（1）改用實(shí)心軸，在最大應(yīng)力不變時(shí)確定軸的直徑；討論：（2）比較實(shí)心軸和空心軸的重量。由得校核軸的強(qiáng)度。

例

已知汽車傳動(dòng)主軸D=90mm,d=85mmMe=1.5kNm。MeMe為什么相同強(qiáng)度條件下空心軸比實(shí)心軸省材料？T=Me=1.5kNm,§3.5

圓軸扭轉(zhuǎn)的變形抗扭剛度單位：弧度(rad)剛度條件：精密軸一般軸粗糙軸對于兩端作用力偶長為l的等直軸:若各段的T不同，或各段的Wt同，則分段計(jì)算扭轉(zhuǎn)角,再代數(shù)相加:剛度條件：解：作扭矩圖12100-1590xT1590N.m2800N.m1210N.m|T|max=1590（N.m)取

D=59或60mm例已知：確定圓軸的直徑.

例傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min，主動(dòng)輪A輸入功率P1=400kW，從動(dòng)輪C，B

分別輸出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φ’]=1°/m，G=80GPa。(1)試確定AC段的直徑d1

和BC段的直徑d2；(2)若AC和BC兩段選同一直徑，試確定直徑d；(3)主動(dòng)輪和從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理?解：1.外力偶

2.扭矩圖

按剛度條件:

3.直徑d1的選取:

按強(qiáng)度條件

按剛度條件

:4.直徑d2的選取

按強(qiáng)度條件:

5.選同一直徑時(shí)

6.將主動(dòng)輪按裝在兩從動(dòng)輪之間受力合理扭轉(zhuǎn)的超定靜問題例兩端固定的階梯圓截面桿，在C處受一力偶m，求支反力偶？a2amCAaB2GIpGIpmmBCABmA解：

解除約束，以

、

代替。變形協(xié)調(diào)方程：物理方程：求解得:mmBCABmA例

由實(shí)心桿1和空心桿2組成的組合軸，受扭矩T，兩者之間無相對滑動(dòng)，求各自最大切應(yīng)力.解:設(shè)實(shí)心桿和空心桿承擔(dān)的扭矩分別為T1、T2。G2Ip2G1Ip1R2R1T平衡方程：變形協(xié)調(diào)方程：聯(lián)立求解，得：G2Ip2G1Ip1R2R1T

討論:1)實(shí)心桿和空心桿相接觸處的切應(yīng)力情況2)在下述三種情況下的切應(yīng)力分布情況：（1）G1>

G2;

（2）G1=G2;（3）G1<G2R2R1TR2R1TR2R1TG2Ip2G1Ip1R2R1T§3.6圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形建議自習(xí)４.通過習(xí)題練習(xí)圓柱形密圈螺旋彈簧的強(qiáng)度計(jì)算、變形計(jì)算．1.彈簧絲橫截面上的內(nèi)力－剪力、扭矩，應(yīng)力－切應(yīng)力．３.彈簧的變形．（軸線方向的總縮短或伸長量）２.彈簧絲橫截面上計(jì)算切應(yīng)力的修正公式．彈簧的強(qiáng)度條件．要求了解:變形特征

翹曲矩形截面桿扭轉(zhuǎn)§3.7非圓截面桿扭轉(zhuǎn)非圓截面扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面不再保持平面，切應(yīng)力不再與各點(diǎn)到形心的距離成正比。實(shí)驗(yàn)和彈性理論分析表明:自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn):

(1)非圓截面扭轉(zhuǎn)時(shí)，如果端面及其它部位均不受任何約束,各橫截面可以自由翹曲，各橫截面翹曲形狀相同，則橫截面上將只有切應(yīng)力，這種情況稱為自由扭轉(zhuǎn)。約束扭轉(zhuǎn):

(2)非圓截面扭轉(zhuǎn)時(shí)，如果端面或其它部位受約束作用,各橫截面不能自由翹曲，各橫截面翹曲形狀將不相同，則橫截面上將不僅有切應(yīng)力，還有正應(yīng)力，這種情況稱為約束扭轉(zhuǎn)。

實(shí)心截面桿約束扭轉(zhuǎn)時(shí)，正應(yīng)力很小，可忽略不計(jì)；而薄壁截面約束扭轉(zhuǎn)時(shí)，正應(yīng)力卻不能忽略。矩形桿扭轉(zhuǎn)結(jié)