離散數(shù)學(xué)(3.9劃分與覆蓋)

1離散數(shù)學(xué)(DiscreteMathematics)第三章集合與關(guān)系（SetsandRelations)

3.6關(guān)系的閉包運(yùn)算(ClosureOperations)3.7集合的劃分與覆蓋(Partition&CoverofSets)3.8等價(jià)關(guān)系(EquivalentRelations)3.9相容關(guān)系(Compatibility

Relations)3.10序關(guān)系(OrderedRelations)3.1集合及其運(yùn)算(Sets&Operationswithsets)

3.2序偶與笛卡爾積(OrderedPairs&CartesianProduct)3.3關(guān)系

(Relations)3.4關(guān)系的性質(zhì)(ThePropetiesofRelations)3.5復(fù)合關(guān)系與逆關(guān)系(CompoundRelations&InverseRelations)3.7集合的劃分與覆蓋(Partition&CoverofSets)3.7.1集合的劃分(PartitionofSets)3.7.2集合的覆蓋(CoverofSets)3.7.3全集的劃分(ThePartitionoftheUniversalSetU)第三章集合與關(guān)系(Sets&Relations)3.7集合的劃分與覆蓋（1），當(dāng)i≠j時(shí)

(2)例1

設(shè)A={1，2，3，4}

則S1={{1}，{2}，{3，4}},S2={{2，3}，{1，4}},S3={{1}，{2}，{3}，{4}}都是A的劃分.則稱S是集合A的一個(gè)劃分，每一個(gè)稱為這個(gè)劃分的一個(gè)分塊。3.7.1集合的劃分(PartitionofSets)定義3.7.1

設(shè)有非空集合A，S={A1,A2,…,Am}，其中，且（i=1，2，…，m），若

例2

設(shè)A={2，3，4，8，9，10，15}

定義A的如下子集：

試問是否A的一個(gè)劃分。

解

根據(jù)題意{2，4，8，10}{3，9，15}{10，15}

不是A的劃分，

可成為A的一個(gè)劃分。

3.7.2集合的覆蓋(CoverofSets)定義3.7.2

設(shè)有非空集合A，,其中

且（i=1，2，…，m），若，

則稱S是集合A的一個(gè)覆蓋。

例如

例2中是A的劃分，也是A的覆蓋。是A的覆蓋，但不是A的劃分。例3

設(shè)A={a，b，c，d，e，f}，指出下列哪些是A的劃分（在相應(yīng)括號(hào)內(nèi)填入“1”），哪些是A的覆蓋（在相應(yīng)括號(hào)內(nèi)填入“2”），哪些既不是劃分，也不是覆蓋（在相應(yīng)括號(hào)內(nèi)填入“0”）S1={{a，b}，{c，d}，{a，e，f}}（）S2={{c，e}，{c，d，f}，}（）S3={{a，b，c，d}，{e，f}}（）S4={{a，c，e}，{b，c}}（

）

201,20S5={{a},,{c},tofgqhi,{e},{f},}（

）

S6={{a，b，c，d,e

，f}}（

）

11說(shuō)明:

(1)若S是A的劃分,則S也一定是A的覆蓋.(2)任意給定集合A的劃分或覆蓋不是唯一的.(3)給定了集合A的劃分或覆蓋,則A便唯一確定.(4)覆蓋中各子集可重疊,劃分則不然.(5)以非空集A為元素的集合S={A}稱為A的最小劃分.(6)稱為A的最大劃分.例4n個(gè)元素的集合A，有多少種不同的方法劃分成為兩塊？

解A有個(gè)不同的子集，且這個(gè)不同的子集中，兩兩互補(bǔ)，除和U互補(bǔ)，但不能構(gòu)成A的分劃外，其余的每對(duì)集合均構(gòu)成將A分成兩塊的一個(gè)劃分，因此A

有種方法分成兩塊。

3.7.3全集的劃分(ThePartitionoftheUniversalSetU)設(shè)A,B,C是全集U的子集,則及都是A的劃分.一般地,設(shè)是全集U的m個(gè)子集,則