高等數(shù)學(xué)第二章

第二章

極限與連續(xù)2.1極限的概念

2.2．求極限的方法

2.3極限的存在性

2.4函數(shù)的連續(xù)性

問(wèn)題1：現(xiàn)在假設(shè)你的彩票中獎(jiǎng)并且給你在以下兩種支付方式中進(jìn)行選擇：一種方式是一次性支付100萬(wàn)元，另一種方式是從現(xiàn)在開始每年支付10萬(wàn)元直到永遠(yuǎn)（可以支付給你的后代）.假設(shè)每年的利率是5%，你應(yīng)該選擇那種方式？問(wèn)題2：我們國(guó)家的各個(gè)城市現(xiàn)在普遍實(shí)行低保制度.其目的是保證低收入家庭的基本生活開支.基本原則是既能夠維持這些家庭的基本生活同時(shí)又不影響這些家庭成員以及其他社會(huì)成員努力工作的積極性.假設(shè)你是一名社保局的工作人員，應(yīng)如何制定低保支付方案？2.1極限的概念

近”的意思就是想接近到什么程度就接近到什么程們上面選取的滿足要求.左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限（One-sidedlimit）.練習(xí)

6.畫出函數(shù)圖形然后再求解以下問(wèn)題或說(shuō)明它不存在.9.設(shè)有函數(shù)定義2.1.4定義2.1.4中的三種極限統(tǒng)稱為自變量趨于無(wú)窮大時(shí)的極限.練習(xí)

數(shù)列及其極限

假如我們今天將P元錢存入一個(gè)生息的銀行賬戶，隨著時(shí)間的推移，這P元錢會(huì)增加到的金額B被稱為P元錢的將來(lái)值（Futurevalue）.為了在將來(lái)的某個(gè)時(shí)點(diǎn)，銀行賬戶中正好產(chǎn)生金額B，現(xiàn)在必須存入到銀行賬戶中的金額P被稱為B的現(xiàn)值（Presentvalue）.問(wèn)題1：假設(shè)你的彩票中獎(jiǎng)并且給你在以下兩種支付方式中進(jìn)行選擇：一種方式是一次性支付100萬(wàn)元，另一種方式是從現(xiàn)在開始每年支付10萬(wàn)元直到永遠(yuǎn)（可以支付給你的后代）.假設(shè)每年的利率是5%，你應(yīng)該選擇那種方式？問(wèn)題分析:首先我們得將未來(lái)得到的錢換算成現(xiàn)值.現(xiàn)在得到的10萬(wàn)元，現(xiàn)值也是10萬(wàn)元，記為照自變量由小到大的順序排列起來(lái)就得到一個(gè)數(shù)列都是數(shù)列的例子，它們的第n項(xiàng)依次為因此上面的數(shù)列可以分別寫為：現(xiàn)在我們回答問(wèn)題1：因此中獎(jiǎng)人應(yīng)選擇第二種支付方式.練習(xí)

1.判斷對(duì)錯(cuò)，正確的請(qǐng)說(shuō)明理由，錯(cuò)誤的請(qǐng)說(shuō)明理由或舉出反例都收斂且極限值相等.的圖形的垂直漸近線（Verticalasymptote）的圖形的水平漸近線和垂直漸近線都是垂直漸近線.為了以后的使用，關(guān)于無(wú)窮小我們還有以下概念：無(wú)窮?。↖nfinitesimalofhigherorder），記為練習(xí)

對(duì)于其它的自變量變化過(guò)程和數(shù)列，給出極限是無(wú)窮大的定義.3.判斷對(duì)錯(cuò)，正確的請(qǐng)說(shuō)明理由，錯(cuò)誤的請(qǐng)說(shuō)明理由或舉出反例無(wú)窮小量.（5）無(wú)窮小量是零。（6）零是無(wú)窮小量。（7）無(wú)界變量一定是無(wú)窮大量。2.2．求極限的方法

證明必要性直接由定理2.2.1得到.現(xiàn)在我們證明充分性.所以不能用商法則，這時(shí)我們首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變換.練習(xí)3.對(duì)于其它類型的函數(shù)極限和數(shù)列極限，寫出定理定理2.2.1，定理2.2.2，定理2.2.3，定理2.2.4，定理2.2.5，定理2.2.7。4.求下列極限：

練習(xí)

1.對(duì)于其它類型的極限，寫出定理2.2.8，并證明之.

3.計(jì)算下列極限2.3極限的存在性

問(wèn)題提出：設(shè)儲(chǔ)蓄帳戶的年利率為12%，一個(gè)客戶在其帳戶中存入1000元，在一年內(nèi)，客戶不提取.如果以一年作為一期來(lái)計(jì)算利息，那么在一年末，客戶帳戶中的金額1000+1000X0.12=1000(1+0.12)=1120(元)若銀行以半年作為一期來(lái)進(jìn)行利息計(jì)算，年利率為12%，那么半年利率為6%.在第一個(gè)半年末的賬戶余額為這樣，第三個(gè)季度的開始時(shí)點(diǎn)的本金為1000(1+0.06)=1060.這樣，第二個(gè)半年的開始時(shí)點(diǎn)的本金為1060元，那么在一年末賬戶中的余額為1000(1+0.06)(1+0.06)=1000(1+0.06)2=1030，這樣第二個(gè)季度的開始時(shí)點(diǎn)的本金1000X(1+0.03)=1030(元)，在第二個(gè)季度末的賬戶余額為這樣，第四個(gè)季度的開始時(shí)點(diǎn)的本金為在第四個(gè)季度末（也就是一年末）的賬戶余額為（元）.若銀行以一個(gè)月作為一期來(lái)進(jìn)行利息計(jì)算，那么在一年末賬上面這樣，將存（貸）款的時(shí)間（上面的一年）分成若干期（每期的時(shí)間相等，如上面的2期、4戶中的余額為期、12期，每期的時(shí)間分別為：半年、一個(gè)季度、一個(gè)月），將上一期所獲得的利息連同上一期的本金一起作為這一期的本金來(lái)計(jì)算這一期利息，按照這種方式一直計(jì)算到最后一期末，這樣的計(jì)算利息的方法被稱為復(fù)利計(jì)算.毫無(wú)疑問(wèn)利息計(jì)算的次數(shù)越多，在年末所獲得的利息越多.現(xiàn)在的問(wèn)題是當(dāng)計(jì)算次數(shù)無(wú)限多時(shí)（稱為連續(xù)復(fù)利計(jì)算，之所以稱為連續(xù)復(fù)利是因?yàn)槊繒r(shí)每刻都在算，沒(méi)有間斷）利息會(huì)多到什么程度呢？就是一年內(nèi)利息計(jì)算的次數(shù)），則相應(yīng)的每一期的利率為設(shè)一個(gè)客戶在其帳戶中存入P元.那么在第一期末的賬戶余額為直接的觀察很難回答上面的問(wèn)題.因此我們可以將上面的問(wèn)題分成兩步，第一步：先看它是否有極限？第二步：再看它極限是多少？這樣做的好處是顯而易見的，如果沒(méi)有，當(dāng)然就沒(méi)有上面“多少”的問(wèn)題了.設(shè)銀行的年利率為100%，將一年分成限是否存在？這樣無(wú)休止地抽取下去，得到一個(gè)數(shù)列有了定理2.3.2,我們可以說(shuō):如果銀行的利率是100%，一個(gè)客戶在其帳戶中存入P元,那么按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，一年末的賬戶余額為的精確定義參看本章第7節(jié)的相關(guān)內(nèi)容）.現(xiàn)在我們回答本節(jié)開始提出的問(wèn)題：按照連續(xù)復(fù)利計(jì)算，一年末：賬戶的余額為多少？這樣上面的問(wèn)題就變成了由復(fù)合函數(shù)求極限法則和定理2.3.5的第二個(gè)結(jié)論，定理2.3.6練習(xí)

1.寫出其它類型極限的歸結(jié)原則.2.求下列極限

定理2.3.6（致密性定理）定理2.3.7（柯西收斂原理）2.4函數(shù)的連續(xù)性首先，如果一個(gè)函數(shù)的圖形以不抬起筆的方式畫出來(lái)，那么這個(gè)函數(shù)的定義域一定得是一個(gè)區(qū)間.如圖但是，只有定義域是個(gè)區(qū)間還不夠，比如，如圖的函數(shù)意這三個(gè)點(diǎn)的極限和它的函數(shù)值之間的關(guān)系.而在其它的點(diǎn)沒(méi)有上述三種情形出現(xiàn)，也就是說(shuō)如果一個(gè)函數(shù)在其定義域上的各點(diǎn)不出現(xiàn)上述三種情形的任意一種，那么這個(gè)函數(shù)的圖形就能用一筆畫出來(lái).連續(xù)性的定義例1找出下列函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)：定理2.4.1對(duì)于余弦函數(shù)的證明是類似的，留做練習(xí).練習(xí)

1.證明定理2.4.1；對(duì)于右連續(xù)和左連續(xù)寫出定理2.4.1.2.一個(gè)停車場(chǎng)第一個(gè)小時(shí)（或不到一小時(shí)）收費(fèi)2元，以后每小時(shí)（或不到整時(shí)）收費(fèi)1元，每天最多收費(fèi)10元.寫出收費(fèi)作為停車時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式，討論此函數(shù)的間斷點(diǎn)以及它們對(duì)于停車人的意義.3.證明余弦函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。4.找出下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并指出類型；在這些間斷連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算

定理2.4.2（連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則）續(xù)點(diǎn)）,則點(diǎn)C是下列函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)（左連續(xù)點(diǎn)、右連續(xù)點(diǎn)）：推論1連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商在其定義域上的各點(diǎn)都是連續(xù)的.推論2多項(xiàng)式函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，即它在上連續(xù)；有理函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，即它在自己的定義域上連續(xù).推論3正切函數(shù)和余切函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).定理2.4.3（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）定理2.4.3可以簡(jiǎn)單地?cái)⑹鰹椋哼B續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)在其定義域上仍是連續(xù)函數(shù)練習(xí)1.證明連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則。2.證明定理2.4.3.3.證明定理2.4.4的其余結(jié)論。2.5閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)是唯一的，但最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)不是唯一的.推論反三角函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).2.6連續(xù)性和不連續(xù)性的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

低保支付方案的制定

假定該城市的最低生活費(fèi)用為750元人民幣/月表示工作發(fā)放的低保金，那么既不影響工作積極性又能保證（2010年），該城市的最低工資標(biāo)準(zhǔn)為15元/小時(shí).設(shè)t是一個(gè)人的工作時(shí)間，基本生活的一個(gè)比較合理的低保方案是：顯然這個(gè)函數(shù)是連續(xù)遞增的，因此一個(gè)人選擇工作的時(shí)間越長(zhǎng)總是意味著收入更多，這樣的話每個(gè)人都會(huì)選擇積極工作以使自己的經(jīng)濟(jì)狀況好一些，同時(shí)又能使所有的人都能夠維持基本的生活.可分性和生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)不具有這個(gè)性質(zhì).比如，汽車廠生產(chǎn)要用螺栓，設(shè)表示螺栓的數(shù)量，表示生產(chǎn)汽車的顯然螺栓的數(shù)量只能是自然數(shù)才有意義然而，如果一個(gè)汽車廠每年生產(chǎn)2萬(wàn)輛汽車，每輛車使用1050個(gè)螺栓，那么下面的處理方法看起其中點(diǎn)（1050,1）（2100，2),（3150，3）等是真實(shí)的變量關(guān)系.值不是1050的整數(shù)倍，那么最接近1050的整數(shù)倍的數(shù)可能是較合理的近來(lái)是合情合理的：顯然如果有人在公司的決策過(guò)程中利用連續(xù)函數(shù)近似值.這樣，即便商品不是無(wú)限可分的，也常假設(shè)其是，而不會(huì)過(guò)多歪曲事實(shí).帶獎(jiǎng)金的工資明細(xì)表假設(shè)銷售員得到一份工資合同，規(guī)定月工資由三部分構(gòu)成：（1）基本工資2000元(2）1%的提成；（3）如果月銷售額達(dá)到或超過(guò)15萬(wàn)元，可得額外獎(jiǎng)勵(lì)3000元.這個(gè)工資合同可以簡(jiǎn)單地用下面的函數(shù)來(lái)表示：在點(diǎn)150000處不連續(xù)，這個(gè)不連續(xù)性會(huì)導(dǎo)致上面的工資合同不利于調(diào)動(dòng)全體銷售員的工作積極性.考慮下列情景：有三個(gè)銷售員小王、小張和小李，其當(dāng)月銷售額（不包含最后一天）分別是：小王16萬(wàn)元，小張13.5萬(wàn)元，小李5均衡價(jià)格的存在性

萬(wàn)元.1%的提成給予三個(gè)銷售員相同的內(nèi)在激勵(lì).但是3000元獎(jiǎng)金對(duì)三個(gè)銷售員最后一天的工作會(huì)產(chǎn)生不同的激勵(lì).假設(shè)在一天內(nèi)銷售幾萬(wàn)元的商品是可能的，但是銷售10萬(wàn)元的商品實(shí)際上是不可能的，那么可以期待銷售員小張?jiān)谧詈笠惶鞎?huì)比另外兩個(gè)銷售員更加努力地工作.

生產(chǎn)者會(huì)發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)該產(chǎn)品利潤(rùn)豐厚，而顧客會(huì)感到價(jià)格過(guò)高，這樣必然導(dǎo)致供過(guò)于求，即使得在這個(gè)價(jià)格下該種商品的供給恰好等于需求，這個(gè)價(jià)格被稱為均衡價(jià)格或市場(chǎng)出清價(jià)格.考慮下列線性需求函數(shù)和供給函數(shù)：上述關(guān)于價(jià)格存在性的討論有助于決定這些函數(shù)的參數(shù)條件，這些條件是保證存在正均衡價(jià)格所必需的.在上面的幾個(gè)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，要求所考慮的函數(shù)都是連續(xù)（不是連續(xù)的，需將其連續(xù)化），否則我們不能得到需要的答案.但有些經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的解恰好是在不連續(xù)點(diǎn)得到的，這時(shí)你要勉強(qiáng)將所考慮函函數(shù)連續(xù)化會(huì)使得其反.為此，我們看下面的經(jīng)濟(jì)模型.價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)的伯特蘭模型如果市場(chǎng)中有不止一個(gè)制造者/消費(fèi)者，但是數(shù)量不足以達(dá)到完全競(jìng)爭(zhēng)的要求，則稱市場(chǎng)是寡頭壟斷.伯特蘭（Bertrand）模型描述了公司在此情形下的可能行為.為簡(jiǎn)化討論，假設(shè)市場(chǎng)上只有兩家公司.假設(shè)兩個(gè)公司在價(jià)格上進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)，即每個(gè)公司制定價(jià)格以滿足在此價(jià)格下對(duì)其產(chǎn)品的實(shí)際需求.假設(shè)公司制造的產(chǎn)品同質(zhì)，如果一個(gè)公司索取的價(jià)格更低，那么所有的消費(fèi)者都會(huì)購(gòu)買該公司的產(chǎn)品.如果兩個(gè)公司制定的價(jià)格相同，那么可以假設(shè)消費(fèi)者的購(gòu)買量將在兩個(gè)公司之間平均分配.因此我們需考慮價(jià)格改變時(shí)每個(gè)公司的收益會(huì)如何變化.為了搞清在此情況下公司將如何選擇，考慮如下簡(jiǎn)單的情形：設(shè)市場(chǎng)對(duì)該產(chǎn)品的需求函數(shù)為假設(shè)公司2制定了不同的價(jià)格，比如說(shuō)在此情形下，如果公司1的定價(jià)超過(guò)7，則公司1的銷售量將變成0；如果公司1的定價(jià)也是7，則公司1和公司2評(píng)分市場(chǎng).這時(shí)兩個(gè)公司的銷售量都是3，公司1的收益如果公司1的定價(jià)只要比處是不連續(xù)的.從經(jīng)濟(jì)這種不連續(xù)性是特別重要的，因?yàn)轭愃朴谏厦娼?jīng)濟(jì)模型的解往往都是在不連續(xù)點(diǎn)得到的.為表明這一點(diǎn)，考慮公司2給定的任意價(jià)格只要公司1都會(huì)低于此價(jià)格出售其產(chǎn)品，這樣公司1就會(huì)獲得全部市場(chǎng)份額，這樣的話，公司2的銷售量是0，因此公司2的定價(jià)只能是4（低于4的話，回虧本），這樣公司1的價(jià)格也只能是4，否則的話公司2也會(huì)采取上面公司2的策略.所以該種商品的市場(chǎng)價(jià)格一定等于單位商品的成本.霍特林（Hotelling）位置模型

霍特林（Hotelling）位置模型用于說(shuō)明這樣一個(gè)問(wèn)題：為什么經(jīng)營(yíng)同種商品的公司經(jīng)常會(huì)在同一地點(diǎn)開設(shè)？比如建材市場(chǎng)、農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)等等.為了說(shuō)明簡(jiǎn)單，假設(shè)有A,B兩個(gè)公司位于位于一條條直線距離為1公里的街上.為了方便，我們認(rèn)為這條街就是閉區(qū)間[0,1].這樣街道上的點(diǎn)就可以用屬于[0,1]上的數(shù)字L來(lái)表示.假設(shè)兩個(gè)公司都出售同質(zhì)、同價(jià)的商品，并且兩個(gè)公司為顧客提供的服務(wù)也都相同.這樣從概率的角度來(lái)看，如果這兩個(gè)公司位于同一位置，那么這兩個(gè)公司所獲得的顧客數(shù)量應(yīng)該相同，各獲得一半的顧客.再假設(shè)顧客沿街均勻分布，每個(gè)顧客都購(gòu)買一單位產(chǎn)品，設(shè)單位產(chǎn)品的價(jià)格和成本分別為如果共有N個(gè)顧客，那么市場(chǎng)的潛在總利潤(rùn)為于是每個(gè)公司都盡可能選擇一個(gè)能獲得最大市場(chǎng)份額的位置.左邊的顧客去

A公司，點(diǎn)

右邊的顧客去B公司，因此A公司占有60%的市場(chǎng)份額，而B公司占有40%的市場(chǎng)份額.因?yàn)锳公司可選擇的位置是從0到1的所有點(diǎn)，的市場(chǎng)份額，而B公司占有90%的市場(chǎng)份額.現(xiàn)在隨著A公司將位置向右移動(dòng)，但仍選擇則

公司的市場(chǎng)份額會(huì)逐漸增加到20%.然而，一旦

公司的位置確切地抵達(dá)點(diǎn)公司將平分市場(chǎng)，因?yàn)榇藭r(shí)對(duì)顧客而言兩個(gè)公司是沒(méi)有差別的.因此在點(diǎn)0.2處，A公司的市場(chǎng)份額不連續(xù)地跳到50%.如果A公司選在處，則其市場(chǎng)份額躍至80%，并且隨著A公司位置的右移市場(chǎng)份額會(huì)逐漸變少.我們用表示A公司的市場(chǎng)份額，則份額函數(shù)為從上面的分析來(lái)看，B公司的位置如果恰好選在中點(diǎn)0.5處，那么無(wú)論A公司的位置選在何處，B公司的市場(chǎng)份額都至少占50%，當(dāng)然A公司也和B公司的想法一樣，因此兩家公司都會(huì)選在中點(diǎn)0.5處的位置.練習(xí)

假設(shè)政府以5%的稅率對(duì)每個(gè)人的收入中超過(guò)2000元的部分征稅.現(xiàn)在政府希望獲得額外的稅收收入，但是又要避免加重低收入或中等收入者的負(fù)擔(dān).因此政府決定對(duì)每個(gè)年收入60000元及以上的人一次性征收1000元附加稅.畫出稅后收入曲線，

y是稅前收入

的函數(shù).討論征稅方案中可能由不連續(xù)性引起的對(duì)人們工作積極性的影響.2.假設(shè)某銷售員每月的收入是5000元基本工資加上與銷售業(yè)績(jī)掛鉤的提成和獎(jiǎng)金.假設(shè)提成比例是15%.當(dāng)每月銷售額超過(guò)150000元時(shí)一次性支付獎(jiǎng)金6000元.如果月銷售額超過(guò)250000元時(shí)一次性支付獎(jiǎng)金10000元.寫出銷售員的業(yè)績(jī)與收入之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的間斷點(diǎn)和間斷點(diǎn)的類型.3.假設(shè)某銷售員每月的收入是3000元基本工資加上與銷售業(yè)績(jī)掛鉤的提成.當(dāng)每月銷售額不超過(guò)150000元時(shí)提成比例是10%.但如果月銷售額超過(guò)250000元時(shí)提成比例是20%（已全部銷售額為基數(shù)）.寫出銷售員的業(yè)績(jī)與收入之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的間斷點(diǎn)和間斷點(diǎn)的類型.

2.7初等函數(shù)第一章經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型中，我們首先介紹了三種基本函數(shù)：線性函數(shù)、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，然后通過(guò)四則運(yùn)算給出了多項(xiàng)式函數(shù)、有理函數(shù)和三角函數(shù).上一節(jié)，通過(guò)使用介值定理給出了反三角函數(shù).現(xiàn)在繼續(xù)通過(guò)使用介值定理介紹指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù).雖然這些函數(shù)在中學(xué)時(shí)我們都學(xué)過(guò)，但那時(shí)學(xué)的比較粗糙，很多地方都是模模糊糊.比如，到底是什么？再比如，為什么說(shuō)指數(shù)函數(shù)的值域是？等等，諸如此類問(wèn)題在本節(jié)我們徹底解決.算術(shù)根

定理2.7.1

定理2.7.2（算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)不等式）有理數(shù)次方冪步定義有理數(shù)次方冪.關(guān)于有理數(shù)方冪，我們有無(wú)理數(shù)次方冪

對(duì)于許多問(wèn)題，用來(lái)建立模型