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山西省運(yùn)城市老城中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,則點(diǎn)D到平面ACD1的距離為()A. B. C. D.參考答案:B【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算.【分析】先求得VD1﹣ADC,進(jìn)而求得AD1,AC,CD1,進(jìn)而求得△ACD1的面積,最后利用等體積法求得答案.【解答】解:依題意知DD1⊥平面ADC,則VD1﹣ADC==,∵AD1=AC=CD1=2∴S△ACD1==2,設(shè)D到平面ACD1的距離為d,則VD﹣ACD1=?d?S△ACD1=?d?2=VD1﹣ADC=,∴d=.故選:B.2.等比數(shù)列中,則的前項(xiàng)和為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B3.已知函數(shù),則的值為(
)A.
B.
C.
D.3參考答案:A4.集合,,則等于(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B5.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,1],則f(x2)的定義域?yàn)?/p>
(
)A.(-1,0)
B.[-1,1]
C.(0,1)
D.[0,1]參考答案:B6.若,則的值是
(
)A.
B.
1
C.
D.
2參考答案:D7.設(shè)a·b·c>0,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象可能是()參考答案:D略8.在長(zhǎng)方體中,AB=BC=2,,則與平面所成角的正弦值為
(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D9.設(shè)扇形的周長(zhǎng)為6,面積為2,則扇形的圓心角是(弧度)(
)(A)1
(B)4
(C)
(D)1或4參考答案:D10.設(shè){}為等差數(shù)列,公差d=-2,為其前n項(xiàng)和.若,則=
(
)A.18
B.20
C.22
D.24參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)在[0,1)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍____________.參考答案:
(1,3]
12.(5分)在邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ABC中,=2,則?等于
.參考答案:3考點(diǎn): 向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義.專題: 平面向量及應(yīng)用.分析: 由題意可得,||=3,|=2,利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求出的值.解答: 由題意可得,||=3,|=2,∴=|=3×2×=3.點(diǎn)評(píng): 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義,求得,||=3,|=2,是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.13.關(guān)于向量有如下命題,關(guān)于向量有如下命題其中正確的命題是
.(只寫(xiě)序號(hào))參考答案:(1)略14.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
。參考答案:[-1,+∞)15.兩個(gè)球的體積之比為,那么這兩個(gè)球的表面積的比為
.參考答案:略16.已知函數(shù)f(x)=ax++5,且f(7)=9,則f(-7)=
參考答案:117.若球的半徑為,則這個(gè)球的內(nèi)接正方體的表面積是
;參考答案:72三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本題滿分10分)已知集合,集合.(1)求;(2)若集合,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案:(1)————2分————4分————5分(2)時(shí),—————————————————
7分時(shí),———————————————
9分綜上:或———————————————————10分19.某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為200元,每桶水的進(jìn)價(jià)為3元,根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)售價(jià)為4元時(shí),可賣出280桶;若銷售單價(jià)每增加1元,日均銷售量就減少40桶,則這個(gè)經(jīng)營(yíng)部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?參考答案:定價(jià)為每桶7元,最大利潤(rùn)為440元.【分析】若設(shè)定價(jià)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上增加元,日銷售利潤(rùn)為元,則,其中,整理函數(shù),可得取何值時(shí),有最大值,即獲得最大利潤(rùn)【詳解】設(shè)定價(jià)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上增加元,日銷售利潤(rùn)為元,則,由于,且,所以,;即,.所以,當(dāng)時(shí),取最大值.此時(shí)售價(jià)為,此時(shí)的最大利潤(rùn)為440元.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.20.已知函數(shù)的圖象與軸分別相交于點(diǎn)A、B,(分別是與軸正半軸同方向的單位向量),函數(shù).(1)求的值;(2)當(dāng)滿足時(shí),求函數(shù)的最小值.參考答案:(1)由已知得于是-------------4分(2)由即------------5分-------------6分由于,其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x+2=1,即x=-1時(shí)成立,----------7分∴時(shí)的最小值是-3.-------------8分
21.已知平行四邊形ABCD(如圖1),AB=4,AD=2,∠DAB=60°,E為AB的中點(diǎn),把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置,使得A1C=4,F(xiàn)是線段A1C的中點(diǎn)(如圖2).(1)求證:BF∥面A1DE;(2)求證:面A1DE⊥面DEBC;(3)求二面角A1﹣DC﹣E的正切值.參考答案:【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法;直線與平面平行的判定;平面與平面垂直的判定.【分析】(1)取A1D中點(diǎn)G,并連接FG,EG,能夠說(shuō)明四邊形BFGE為平行四邊形,從而根據(jù)線面平行的判定定理即可得出BF∥面A1DE;(2)先根據(jù)已知的邊、角值說(shuō)明△A1DE為等邊三角形,然后取DE中點(diǎn)H,連接CH,從而得到A1H⊥DE,根據(jù)已知的邊角值求出A1H,CH,得出,從而得到A1H⊥CH,從而根據(jù)線面垂直及面面垂直的判定定理即可證出面A1DE⊥面DEBC;(3)過(guò)H作HO⊥DC,垂足為O,并連接A1O,容易說(shuō)明DC⊥面A1HO,從而得出∠A1OH為二面角A1﹣DC﹣E的平面角,能夠求出HO,從而求出tan∠A1OH,即求出了二面角A1﹣DC﹣E的正切值.【解答】解:(1)證明:如圖,取DA1的中點(diǎn)G,連FG,GE;F為A1C中點(diǎn);∴GF∥DC,且;∴四邊形BFGE是平行四邊形;∴BF∥EG,EG?平面A1DE,BF?平面A1DE;∴BF∥平面A1DE;(2)證明:如圖,取DE的中點(diǎn)H,連接A1H,CH;AB=4,AD=2,∠DAB=60°,E為AB的中點(diǎn);∴△DAE為等邊三角形,即折疊后△DA1E也為等邊三角形;∴A1H⊥DE,且;在△DHC中,DH=1,DC=4,∠HDC=60°;根據(jù)余弦定理,可得:HC2=1+16﹣4=13,在△A1HC中,,,A1C=4;∴,即A1H⊥HC,DE∩HC=H;∴A1H⊥面DEBC;又A1H?面A1DE;∴面A1DE⊥面DEBC;(3)如上圖,過(guò)H作HO⊥DC于O,連接A1O;A1H⊥面DEBC;∴A1H⊥DC,A1H∩HO=H;∴DC⊥面A1HO;∴DC⊥A1O,DC⊥HO;∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角;在Rt△A1HO中,,;故tan;所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值為2.22.在等差數(shù)列{an}中,a10=30,a20=50.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;(2)令bn=2,證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;(3)求數(shù)列{(2n﹣1)bn}的前n項(xiàng)和Tn.參考答案:【考點(diǎn)】8E:數(shù)列的求和.【分析】(1)等差數(shù)列{an}中,由a10=30,a20=50.解得a1=12,d=2,由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)an.(2)由an=2n+10,知bn=═22n=4n,由此能夠證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.(3)(2n﹣1)bn=(2n﹣1)4n,由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{(2n﹣1)bn}的前n項(xiàng)和Tn.【解答】解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,由an=a1+(n﹣1)d,a10=30,a20=50,得,解得.∴an=12+2(n﹣1)=2n+10;數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=2n+10;(2)證明:∵an=2n+10,∴bn==22n=4n,∴∴==4,∴數(shù)列{bn}是以首項(xiàng)b1=4,公比為4的等比數(shù)列.(3)∵(2n﹣1)bn=(2n﹣1)4n,∴Tn=1?4+3?42+…+(2n﹣1)4n,①4Tn=1?42+3?43+…+(2n﹣3)4n+(2n﹣1)4n+1,②①﹣②,得﹣3
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