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山西省陽(yáng)泉市平坦中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.一個(gè)容量為20的數(shù)據(jù)樣本,分組后,組距與頻數(shù)如下:(10,20]2個(gè),(20,30]3個(gè),(30,40]4個(gè),(40,50]5個(gè),(50,60]4個(gè),(60,70]2個(gè),則樣本在區(qū)間(-∞,50]上的頻率是
(
)A、5%
B、25%
C、50%
D、70%參考答案:D2.函數(shù)的定義域是(A)
(B)(C)
(D)參考答案:C3.已知可導(dǎo)函數(shù)(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x),且滿(mǎn)足:①②記,則a,b,c的大小順序?yàn)?/p>
(
)
A.a(chǎn)>b>c
B.b>a>c
C.b>c>a
D.a(chǎn)>c>b參考答案:D略4.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,P是橢圓上的一點(diǎn),且成等比數(shù)列,則橢圓的離心率的取值范圍為()A.
B.C.D.參考答案:D略5.下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的有()①(3x)′=3xlog3e;②(log2x)′=;③(ex)′=ex;④()′=x;⑤(x?ex)=ex(1+x)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)參考答案:C【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.【分析】根據(jù)(ax)′=axlna,(logax)′=,(lnx)′=即可作出判斷.【解答】解:①(3x)′=3xln3,故錯(cuò)誤;②(log2x)′=,故正確;③(ex)'=ex,故正確;④()′=﹣,故錯(cuò)誤;⑤(x?ex)′=ex+x?ex,故正確.故選:C.6.《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事.“田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬;田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬;田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.”雙方從各自的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽,則田忌的馬獲勝的概率為A. B. C. D.參考答案:A分析:由題意結(jié)合古典概型計(jì)算公式即可求得最終結(jié)果詳解:記田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為a,b,c,齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為A,B,C,由題意可知,可能的比賽為:Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共有9種,其中田忌可以獲勝的事件為:Ba,Ca,Cb,共有3種,則田忌馬獲勝的概率為.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛:有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題,關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù).(1)基本事件總數(shù)較少時(shí),用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí),要做到不重復(fù)、不遺漏,可借助“樹(shù)狀圖”列舉.(2)注意區(qū)分排列與組合,以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.7.如圖是求樣本x1,x2,…,x10平均數(shù)的程序框圖,圖中空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容為()A.S=S+xn B.S=S+ C.S=S+n D.S=S+參考答案:A【考點(diǎn)】設(shè)計(jì)程序框圖解決實(shí)際問(wèn)題.【專(zhuān)題】操作型.【分析】由題目要求可知:該程序的作用是求樣本x1,x2,…,x10平均數(shù),循環(huán)體的功能是累加各樣本的值,故應(yīng)為:S=S+xn【解答】解:由題目要求可知:該程序的作用是求樣本x1,x2,…,x10平均數(shù),由于“輸出”的前一步是“”,故循環(huán)體的功能是累加各樣本的值,故應(yīng)為:S=S+xn故選A【點(diǎn)評(píng)】算法是新課程中的新增加的內(nèi)容,也必然是新高考中的一個(gè)熱點(diǎn),應(yīng)高度重視.程序填空也是重要的考試題型,這種題考試的重點(diǎn)有:①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出.其中前兩點(diǎn)考試的概率更大.此種題型的易忽略點(diǎn)是:不能準(zhǔn)確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯(cuò)誤.8.三棱錐中,,,⊥底面,且,則此三棱錐外接球的半徑為(A)
(B)
(C)2
(D)參考答案:B9.將一枚骰子先后擲兩次,向上點(diǎn)數(shù)之和為,則≥7的概率為
(
)A.
B. C. D.參考答案:C略10.當(dāng)x≠0時(shí),有不等式
(
)
參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等比數(shù)列{an}中,若a3,a15是方程x2﹣6x+8=0的根,則=.參考答案:2【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.【分析】由韋達(dá)定理得a3a15=8,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式性質(zhì)得:=8,由此能求出的值.【解答】解:∵在等比數(shù)列{an}中,a3,a15是方程x2﹣6x+8=0的根,∴a3a15=8,解方程x2﹣6x+8=0,得或,∴a9>0,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式性質(zhì)得:=8,∴=a9=.故答案為:2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列中兩項(xiàng)積與另一項(xiàng)的比值的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.12.已知的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為,是以為周期的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),,若在區(qū)間內(nèi),函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是
.參考答案:略13.設(shè)等比數(shù)列的公比,前項(xiàng)和為,則________.參考答案:1514.已知函數(shù)的最小正周期為,則的單調(diào)遞增區(qū)間為
▲
.參考答案:略15.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是▲.參考答案:y=-116.已知點(diǎn)P是橢圓Г:=1(a>b>0)上的一點(diǎn),F(xiàn)1、F2為橢圓的左、右焦點(diǎn),若∠F1PF2=60°,且△PF1F2的面積為a2,則橢圓的離心率是.參考答案:【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】由∠F1PF2=60°,△PF1F2的面積為a2,可得|PF1|?|PF2|.再根據(jù)橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=2a,利用余弦定理得到a,c的關(guān)系,即可求出橢圓的離心率.【解答】解:由∠F1PF2=60°,△PF1F2的面積為a2,可得|PF1|?|PF2|?sin∠F1PF2=|PF1|?|PF2|=a2,∴|PF1|?|PF2|=a2.再根據(jù)橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=2a.再利用余弦定理可得4c2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|?cos60°=(|PF1|+|PF2|)2﹣3PF1?PF2=4a2﹣3a2,求得a=2c,∴e==.故答案為:.17.若拋物線(xiàn)上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3,則拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為_(kāi)________.參考答案:x=-2三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.如圖,在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距A處海里的B處有一艘走私船,在A處北偏西75°方向,距A處2海里的C處的我方輯私船奉命以海里/小時(shí)的速度追截走私船,此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度,以B處向北偏東30°方向逃竄.問(wèn):輯私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間.參考答案:見(jiàn)解析.解:如圖所示,設(shè)輯私船追上走私船需小時(shí),則有,.在中,∵,,.根據(jù)余弦定理可求得..在中,根據(jù)正弦定理可得,∵,∴,,∴,則有,(小時(shí))(分鐘).所以輯私船沿北偏東方向,需分鐘才能追上走私船.19.閱讀下面材料:根據(jù)兩角和與差的正弦公式,有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
…①sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ
…②由①+②得sin(α+β)+sin(α﹣β)=2sinαcosβ
…③令α+β=A,α﹣β=B有α=,β=代入③得sinA+sinB=2sincos.(1)利用上述結(jié)論,試求sin15°+sin75°的值.(2)類(lèi)比上述推證方法,根據(jù)兩角和與差的余弦公式,證明:cosA+cosB=2cos?cos.(3)求函數(shù)y=cos2x?cos(2x+)x∈的最大值.參考答案:【考點(diǎn)】F3:類(lèi)比推理;GQ:兩角和與差的正弦函數(shù).【分析】(1)由sinA+sinB=2sincos,令A(yù)=15°,B=75°,代和可得sin15°+sin75°的值.(2)由cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ,cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ兩式相加得:cos(α+β)+cos(α﹣β)=2cosαcosβ,令α+β=A,α﹣β=B有α=,β=,可得結(jié)論;(3)結(jié)合(2)的結(jié)論,將A=2x,B=2x+,代入化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,進(jìn)而根據(jù)x∈,求出相位角,進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到函數(shù)y=cos2x?cos(2x+)x∈的最大值.【解答】解:(1)∵sinA+sinB=2sincos∴sin15°+cos75°==2sin45°?cos(﹣30°)=…3(2)因?yàn)閏os(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣①cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②…5①+②得cos(α+β)+cos(α﹣β)=2cosαcosβ,③令α+β=A,α﹣β=B有α=,β=,…6代入③得:.…7(3)由(2)知,…8∵,∴,…..9故函數(shù)的最大值為.…10【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查兩角和與差三角函數(shù)公式、二倍角公式、三角函數(shù)的恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力,運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等.20.(本小題滿(mǎn)分14分)已知,設(shè):函數(shù)在上單調(diào)遞增;:不等式對(duì)任意都成立.若“”為真,“”為假,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案:命題p真:a>1,命題Q真:0<a<4,--------4分P真q假時(shí),
p假q真時(shí),-------12分綜上所述:a的取值范圍為或---------14分21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為,在以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為
(1)
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