尺規(guī)作圖方法介紹

尺規(guī)作圖方法介紹鹿城區(qū)教師培訓(xùn)和科研中心周曉虹316183721@

目錄一、何為“尺規(guī)作圖”二、“尺規(guī)作圖”可能問(wèn)題三、“尺規(guī)作圖”不能問(wèn)題四、尺規(guī)作圖的相關(guān)延伸五、《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》及中考要求一、何為“尺規(guī)作圖”尺規(guī)作圖就是只使用直尺和圓規(guī)，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來(lái)解決不同的平面幾何作圖題。這里的“直尺”和“圓規(guī)”跟現(xiàn)實(shí)中的并非完全相同，具有抽象意義。直尺必須沒(méi)有刻度，無(wú)限長(zhǎng)，且只能使用直尺的固定一側(cè)。只可以用它來(lái)將兩個(gè)點(diǎn)連在一起，不可以在上畫刻度。圓規(guī)可以開(kāi)至無(wú)限寬，但上面亦不能有刻度。它只可以拉開(kāi)成你之前構(gòu)造過(guò)的長(zhǎng)度或一個(gè)任意的長(zhǎng)度。

一、何為“尺規(guī)作圖”尺規(guī)作圖，起源于古希臘。希臘人強(qiáng)調(diào)作圖只能用直尺圓規(guī)，有下列原因：①希臘幾何的基本精神，是從極少的基本假定（定義、公理、公設(shè)）出發(fā)，推導(dǎo)出盡可能多的命題。②受柏拉圖哲學(xué)思想的影響。③以畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為代表的希臘人認(rèn)為圓是最完美的平面圖形，圓和直線是幾何學(xué)最基本的研究對(duì)象。史上最早明確提出尺規(guī)限制的是伊諾皮迪斯，他發(fā)現(xiàn)以下作圖法：在已知直線的已知點(diǎn)上作一角與已知角相等。伊諾皮迪斯以后，尺規(guī)的限制逐漸成為一種公約,最后總結(jié)在《幾何原本》之中。二、“尺規(guī)作圖”可能問(wèn)題

1、作圖公法：經(jīng)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)可作一直線；已知圓心和半徑可作一個(gè)圓；若兩已知直線相交，可求其交點(diǎn)；若一已知直線和一已知圓相交，可求其交點(diǎn)；若兩已知圓相交，可求其交點(diǎn)。二、“尺規(guī)作圖”可能問(wèn)題

2、基本作圖

①做一條線段等于已知線段；②作一角等于已知角；③平分已知角；④經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線；⑤作線段的垂直平分線。二、“尺規(guī)作圖”可能問(wèn)題

3、例題分析例1.已知：如圖所示，ΔABC，求作ΔA'B'C'，使ΔA'B'C'≌ΔABC.例2.已知：∠AOB及直線MN.求作：點(diǎn)P，使點(diǎn)P在直線MN上，且點(diǎn)P到OA，OB距離相等.例3.已知ΔABC，求作一點(diǎn)，使點(diǎn)P到AB、AC的距離相等，且到邊AC的兩端點(diǎn)距離相等。

例4.已知斜邊，一銳角，作直角三角形。

例5.已知斜邊、直角邊，求作直角三角形。例6.已知：三角形兩邊及第三邊上的中線，求作三角形。二、“尺規(guī)作圖”可能問(wèn)題

4、最基本的作圖表述：過(guò)點(diǎn)×，點(diǎn)×作直線××；或作直線××；或作射線××．連結(jié)點(diǎn)×、×，或連結(jié)××．延長(zhǎng)××到點(diǎn)×，使××=××．延長(zhǎng)××交××于點(diǎn)×．在××上截取××=××．以點(diǎn)×為圓心，××為半徑作圓（弧）．以點(diǎn)×為圓心，××為半徑作弧交××于點(diǎn)×．分別以點(diǎn)×、點(diǎn)×為圓心，以××、××為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)×、×．二、“尺規(guī)作圖”可能問(wèn)題

5、課堂練習(xí)：已知銳角∠a,∠b(∠a>∠b).求作一個(gè)角，使它等于2∠a-∠b.已知一角及其該角平分線長(zhǎng)和一條鄰邊，求作三角形.已知底邊及一腰，求作等腰三角形.（中考典例）已知：射線OC．求作：∠AOB，使OC平分∠AOB（不寫做法，但要保留作圖痕跡）．

二、“尺規(guī)作圖”可能問(wèn)題

6、“尺規(guī)作圖”的策略（1）解作圖題一般步驟：

①將題給的條件具體化；②具體敘述所作圖形應(yīng)滿足的條件；③尋找作圖方法的途徑；④根據(jù)分析所得的作圖方法作出正式圖形，并依次敘述作圖的過(guò)程；⑤為了驗(yàn)證所作的圖形是否正確，必須再根據(jù)已知的定義、公理、定理等，結(jié)合作法來(lái)證明所作的圖形完全滿足題中所要求的條件；⑥研究這個(gè)問(wèn)題是不是在什么條件下都能作出圖形來(lái)．在什么情況下，有唯一解，或多解，或沒(méi)有解．二、“尺規(guī)作圖”可能問(wèn)題

6、“尺規(guī)作圖”的策略（2）幾何作圖題的一般思路：①假設(shè)所求的圖形已經(jīng)作出，并且滿足題中所有的條件。②分析圖中哪些是關(guān)鍵點(diǎn)，并探討確定關(guān)鍵點(diǎn)的方法。③運(yùn)用基本作圖法確定關(guān)鍵點(diǎn)，然后完成作圖。二、“尺規(guī)作圖”可能問(wèn)題

7、幾種常見(jiàn)的尺規(guī)作圖方法（1）軌跡交點(diǎn)法例1，電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條高速公路m、n的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？二、“尺規(guī)作圖”可能問(wèn)題

7、幾種常見(jiàn)的尺規(guī)作圖方法（1）軌跡交點(diǎn)法

例2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4,0），點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，在直線y=x+3上求一點(diǎn)P，使⊿AOP是等腰三角形，這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？二、“尺規(guī)作圖”可能問(wèn)題

7、幾種常見(jiàn)的尺規(guī)作圖方法（2）代數(shù)作圖法：

例3，只用圓規(guī)，不許用直尺，四等分圓周（已知圓心）。例4，求作一正方形，使其面積等于已知⊿ABC的面積。二、“尺規(guī)作圖”可能問(wèn)題

7、幾種常見(jiàn)的尺規(guī)作圖方法（3）旋轉(zhuǎn)作圖法：

例5，已知：直線a、b、c，且a∥b∥c.求作：正⊿ABC，使得A、B、C三點(diǎn)分別在直線a、b、c上.二、“尺規(guī)作圖”可能問(wèn)題

7、幾種常見(jiàn)的尺規(guī)作圖方法（4）位似法作圖：

例6，已知：一銳角⊿ABC求作：一正方形DEFG，使得D、E在BC上，F(xiàn)在AC上，G在AB上.二、“尺規(guī)作圖”可能問(wèn)題

7、幾種常見(jiàn)的尺規(guī)作圖方法（5）面積割補(bǔ)法例7，過(guò)⊿ABC的底邊BC上一定點(diǎn)P，求作一直線l，使其平分⊿ABC的面積.三、“尺規(guī)作圖”不能問(wèn)題1、著名的幾何三大問(wèn)題（古典難題）：（1）化圓為方問(wèn)題：作一個(gè)正方形，使它的面積等于已知圓的面積。（2）三等分角問(wèn)題：三等分一個(gè)任意角。（3）倍立方問(wèn)題：作一個(gè)立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍。

三、“尺規(guī)作圖”不能問(wèn)題2、另外兩個(gè)著名問(wèn)題：（1）正多邊形作法（2）四等分圓周四、尺規(guī)作圖的相關(guān)延伸1、用生銹圓規(guī)(即半徑固定的圓規(guī))作圖（1）只用直尺及生銹圓規(guī)作正五邊形；（2）生銹圓規(guī)作圖,已知兩點(diǎn)A、B，找出一點(diǎn)C使得AB=BC=CA。（3）已知兩點(diǎn)A、B，只用半徑固定的圓規(guī)，求作C使C是線段AB的中點(diǎn)。2、尺規(guī)作圖，是古希臘人按“盡可能簡(jiǎn)單”這個(gè)思想出發(fā)的。3、10世紀(jì)時(shí)，有數(shù)學(xué)家提出用直尺和半徑固定的圓規(guī)作圖。4、幾何三大問(wèn)題如果不限制作圖工具，便很容易解決。

五、《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》及中考要求2011版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在第三學(xué)段的第二部分“圖形與幾何”中對(duì)“尺規(guī)作圖”有明確要求：（1）會(huì)用尺規(guī)完成以下基本作圖：

作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作一個(gè)角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線。五、《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》及中考要求（2）會(huì)利用基本作圖作三角形：

已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形。（3）會(huì)利用基本作圖完成作圖：過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；作三角形的內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形。（4）在上述尺規(guī)作圖的問(wèn)題中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法。五、《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》及中考要求