第3章隨機過程的線性變換

第三章隨機過程的線性變換在電子技術中，通常需要將信號進行一系列的變換，才能提取到有用的信息。變換可以看作為信號通過系統(tǒng)，所以隨機過程的變換就是分析隨機過程通過系統(tǒng)后的響應。系統(tǒng)一般分為線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)兩大類，因此隨機過程的變換也分為線性變換和非線性變換兩大類。1第三章隨機過程的線性變換3.1變換的基本概念和基本定理3.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析3.3限帶過程3.5最佳線性濾波器3.6線性系統(tǒng)輸出端隨機過程的概率分布23.1變換的基本概念和基本定理普通函數(shù)變換

給定一個函數(shù)x(t)，按照某種法則T，指定一個新的函數(shù)y(t)，那么，就說y(t)是x(t)經(jīng)過變換T后的結(jié)果。記為y(t)=T[x(t)]T稱為從x(t)到y(tǒng)(t)的變換。33.1變換的基本概念和基本定理隨機過程的變換

給定一個隨機過程X(t)，按照某種法則T，對它的每一個樣本函數(shù)x(t)，都指定一個對應函數(shù)y(t)，于是就得到了一個新的隨機過程Y(t)，記為Y(t)=T[X(t)]T就叫做從隨機過程X(t)到Y(jié)(t)的變換，Y(t)是隨機過程X(t)通過變換后的結(jié)果。43.1變換的基本概念和基本定理隨機過程的變換示意圖確定性變換隨機性變換5T3.1變換的基本概念和基本定理線性變換

設有任意兩個隨機變量A1和A2及任意兩個隨機過程X1(t)和X2(t)，如果滿足則稱L是線性變換。

對于線性變換L，Y(t)=L[X(t)]，如果其中ε為任意常數(shù)，則稱L是線性時不變的。63.1變換的基本概念和基本定理線性變換的兩個基本定理定理1設Y(t)=L[X(t)]，其中L是線性變換，則即隨機過程經(jīng)過線性變換后，其輸出的數(shù)學期望等于輸入的數(shù)學期望通過線性變換后的結(jié)果。73.1變換的基本概念和基本定理證明(利用大數(shù)定理)設第i次試驗得樣本函數(shù)xi(t)，輸出端yi(t)Y(t)的樣本均值83.1變換的基本概念和基本定理證明（續(xù)）根據(jù)大數(shù)定理，當n→∞時，有所以93.1變換的基本概念和基本定理定理2設Y(t)=L[X(t)]，其中L是線性變換，則其中表示對t1做L變換，

表示對t2做L變換。103.1變換的基本概念和基本定理證明因為令t=t2，可得同理可證聯(lián)合上面兩式，得113.1變換的基本概念和基本定理由兩個定理可知，對于線性變換，輸出的均值和相關函數(shù)可以分別由輸入的均值和相關函數(shù)確定。推廣，對于線性變換，輸出的k階矩可以由輸入的相應階矩來確定，如123.1變換的基本概念和基本定理例3.1隨機過程導數(shù)的統(tǒng)計特性。

設，，很容易證明，導數(shù)是一種線性變換，可看成X(t)經(jīng)過微分變換后的輸出13X(t)3.1變換的基本概念和基本定理例3.1（續(xù)）均值即X(t)和的互相關函數(shù)143.1變換的基本概念和基本定理例3.1（續(xù)）

自相關函數(shù)如果X(t)為平穩(wěn)隨機過程，則153.1變換的基本概念和基本定理隨機過程及其導數(shù)相關函數(shù)示意圖16第三章隨機過程的線性變換3.1變換的基本概念和基本定理3.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析3.3限帶過程3.5最佳線性濾波器3.6線性系統(tǒng)輸出端隨機過程的概率分布173.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析沖激響應法輸出均值若X(t)平穩(wěn)18X(t)Y(t)h(t)3.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析輸入輸出的互相關函數(shù)為輸出的自相關函數(shù)為綜合二式得同理可證193.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)輸入輸出相關函數(shù)的關系20),(21ttRX),(21ttRXY),(21ttRY)(2th)(1th),(21ttRX),(21ttRYX),(21ttRY)(2th)(1th3.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析如果X(t)為平穩(wěn)隨機過程，則其中，τ=t1-t2，即213.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析同理即223.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析所以類似地233.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)輸入輸出相關函數(shù)之間的關系243.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析例3.2設有微分方程描述的線性系統(tǒng)：其中α為常數(shù)，系統(tǒng)的起始狀態(tài)為Y(0)=0，輸入X(t)為平穩(wěn)隨機過程，且E[X(t)]=λ，RX(τ)=λ2+λδ(τ)，求輸出Y(t)的統(tǒng)計特性。253.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析解令輸入為δ(t)，則沖激響應為可解得由于系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，所以輸出Y(t)的均值為263.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析解（續(xù)1）輸入輸出的互相關函數(shù)為273.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析解（續(xù)2）輸出的自相關函數(shù)為283.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析解（續(xù)3）由于RX(t1,t2)=RX(t2,t1)，所以可見，輸出過程是非平穩(wěn)的隨機過程。293.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析解（續(xù)4）當t1→∞，t2→∞時，輸出Y(t)進入穩(wěn)態(tài)，這時所以，穩(wěn)態(tài)情況下，輸出是平穩(wěn)隨機過程。303.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析例3.3設有下圖所示的RC電路。假定輸入為零均值的平穩(wěn)隨機過程，且相關函數(shù)為RX(τ)=e-β|τ|，求穩(wěn)態(tài)時輸出Y(t)的自相關函數(shù)。31X(t)Y(t)RC3.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析解RC電路的沖激響應為輸入與輸出的自相關函數(shù)為323.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析解（續(xù)1）當τ≥0時，當τ<0時，333.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析解（續(xù)2）當τ<0時，343.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析解（續(xù)3）由于RY(τ)是偶函數(shù)，所以353.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析頻譜法：利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)來分析輸出的統(tǒng)計特性

363.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析例3.4如例3.2所述，運用頻譜法求輸出的功率譜和自相關函數(shù)解對例3.2所求沖激響應做傅里葉變換，得系統(tǒng)傳輸函數(shù)

373.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析輸入功率譜密度為可得自相關函數(shù)為383.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析例3.5如例3.3所述，運用頻譜法求輸出的功率譜和自相關函數(shù)解系統(tǒng)傳遞函數(shù)為輸入X(t)的功率譜為393.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析進一步可得求上式的傅里葉反變換，可得403.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，即當t<0時，h(t)=0假定輸入X(t)是平穩(wěn)的，且從-∞時加入413.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析若X(t)是從t=0加入，則423.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析電路H(ω)h(t)43第三章隨機過程的線性變換3.1變換的基本概念和基本定理3.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析3.3限帶過程3.5最佳線性濾波器3.6線性系統(tǒng)輸出端隨機過程的概率分布443.3限帶過程低通隨機過程：隨機過程的功率譜GX(ω)在|ω|<ωc

內(nèi)不為零，而在其外為零低通隨機過程的自相關函數(shù)為它的自相關函數(shù)任意n階導都存在45圖3-1低通隨機過程的功率譜3.3限帶過程若低隨機過程在頻帶內(nèi)功率譜密度為常數(shù)，即則稱X(t)為理想低通隨機過程或理想低通白噪聲其自相關函數(shù)為總的平均功率為463.3限帶過程從圖中可以看出，當τ=kπ/ωc(k=±1，±2，···)時，有所以理想低通白噪聲X(t)與X(t+kπ/ωc)(k=±1，±2，···)正交。若對理想低通白噪聲以Δt=π/ωc的時間間隔對其進行采樣，那么采樣后的離散數(shù)據(jù){X(n),n=0,=±1，±2，···}是相互正交的47圖3-2理想低通隨機過程的自相關函數(shù)3.3限帶過程帶通隨機過程：隨機過程X(t)的功率譜GX(ω)集中在ω0為中心的頻帶內(nèi)理想帶通隨機過程：在頻帶內(nèi)，功率譜密度為常數(shù)48（b）理想帶通隨機過程（a）一般帶通隨機過程3.3限帶過程理想帶通隨機過程的功率譜密度為自相關函數(shù)為總的平均功率為493.3限帶過程50圖3-3理想帶通隨機過程自相關函數(shù)3.3限帶過程噪聲等效通能帶（噪聲等效矩形帶寬）：把白噪聲通過線性系統(tǒng)后的非均勻物理譜密度等效成在一定頻帶內(nèi)均勻的的物理譜密度，這個頻帶稱為等效通能帶，記為Δfe51圖3-4噪聲等效通能帶（噪聲等效矩形帶寬）示意圖3.3限帶過程由上圖可以看出噪聲等效矩形帶寬為對于低通網(wǎng)絡，等效矩形帶寬為對于帶通網(wǎng)絡，輸出的平均功率為523.3限帶過程例3.6設有n階巴特沃斯濾波器其中Δf是濾波器3dB帶寬，求噪聲等效矩形帶寬。解n=1時，Δfe=(π/2)Δf=1.57Δf；n=2時，Δfe

=1.11Δf

；n越大，濾波器帶沿越陡峭，其噪聲等效通能帶也越趨近于它的3dB帶寬，當n→∞時，Δfe→Δf533.3限帶過程例3.7白噪聲通過如圖所示的RC電路，分析輸出的統(tǒng)計特性解RC電路為一低通網(wǎng)絡系統(tǒng)傳遞函數(shù)為輸出功率譜密度為

54圖3-5RC電路3.3限帶過程輸出自相關函數(shù)為相關系數(shù)為噪聲等效矩形帶寬為553.3限帶過程輸出隨機過程的相關時間為即，相關時間與系統(tǒng)的噪聲等效矩形帶寬是成反比的。56第三章隨機過程的線性變換3.1變換的基本概念和基本定理3.2隨機過程通過線性系統(tǒng)分析3.3限帶過程3.5最佳線性濾波器3.6線性系統(tǒng)輸出端隨機過程的概率分布573.5.1

輸出信噪比最大的最佳線性濾波器如圖3.17所示線性系統(tǒng)，假定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，輸入波形為58(3.5.1)X(t)Y(t)圖3.17線性系統(tǒng)示意圖其中

是確知信號，是零均值平穩(wěn)隨機過程，功率譜密度為。根據(jù)線性系統(tǒng)的理論，輸出Y(t)可表示為(3.5.2)其中(3.5.3)3.5.1

輸出信噪比最大的最佳線性濾波器式中是輸入信號的頻譜，是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，是輸出的噪聲，它的功率譜密度為(3.5.4)

輸出噪聲的平均功率為定義：在某個時刻時濾波器輸出端信號的瞬時功率與噪聲的平均功率之比（簡稱信噪比）為(3.5.5)(3.5.6)3.5.1

輸出信噪比最大的最佳線性濾波器

3.5.1

輸出信噪比最大的最佳線性濾波器將(3.5.3)式和(3.5.5)式代入(3.5.6)式，得61(3.5.7)我們的任務是要設計一個線性系統(tǒng)，使得輸出的信噪比達到最大?？梢宰C明，當時，輸出信噪比達到最大。(3.5.8)3.5.1

輸出信噪比最大的最佳線性濾波器3.5.1

輸出信噪比最大的最佳線性濾波器把最大的信噪比記為。將(3.5.8)式代入(3.5.7)式可得最大的信噪比為63(3.5.9)將(3.5.8)式代入(3.5.3)式得到輸出信號為(3.5.10)由上式可以看出，當時，輸出信號達到最大。3.5.1

輸出信噪比最大的最佳線性濾波器3.5.1

輸出信噪比最大的最佳線性濾波器物理意義濾波器的幅頻特性為65(3.5.11)

實際上是對輸入信號的頻譜進行加權，對于某個頻率點，信號越強，該頻率點的加權系數(shù)越大，噪聲越強，加權越小。最佳線性濾波器的幅頻特性有抑制噪聲的作用。相頻特性由(3.5.8)式得(3.5.12)由(3.5.3)式得濾波器對信號的各頻率分量起到的是幅度同相相加的作用，而對噪聲的各頻率分量起到的是功率相加的作用。綜合而言，信噪比得到提高。3.5.1

輸出信噪比最大的最佳線性濾波器是在白噪聲環(huán)境下以輸出信噪比最大作為準則的最佳線性濾波器。匹配濾波器的沖激響應是輸入信號的共軛鏡像。對于實信號3.5.2匹配濾波器(3.5.13)(3.5.14)(3.5.15)當c=1時，與關于呈偶對稱關系。性質(zhì)和特點-1:輸出的最大信噪比與輸入信號的波形無關由于白噪聲的功率譜為一個常數(shù)，由(3.5.9)式可得其中E代表信號的能量，由(3.5.16)式可以看出，最大信噪比只與信號的能量和噪聲的強度有關，與信號的波形無關。(3.5.16)3.5.2匹配濾波器3.5.2匹配濾波器性質(zhì)和特點-2：應該選在信號

結(jié)束之后。由(3.5.15)式可以看出，如果要求系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，那么必須選擇在信號結(jié)束之后才能滿足。對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，因為只有選在信號結(jié)束之后，才能把信號的能量全部利用上，信噪比才能達到最大。693.5.2匹配濾波器性質(zhì)和特點-3：匹配濾波器對信號幅度和時延具有適應性如果發(fā)射信號為

，那么接收信號為，的頻譜為對的匹配濾波器的傳遞函數(shù)為70需要注意的是，匹配濾波器對信號的頻移不具有適應性。即，如果有個信號的頻譜為，可以看做為目標由于運動產(chǎn)生的多普勒頻移，那么，對應的匹配濾波器為可見與是不同的。3.5.2匹配濾波器例3.11

單個矩形脈沖的匹配濾波器設計。設脈沖信號為其中a是已知常數(shù)。求匹配濾波器的傳遞函數(shù)和輸出波形。(3.5.17)3.5.2匹配濾波器3.5.2匹配濾波器解：信號的頻譜為取匹配濾波器的時間，由(3.5.13)式矩形脈沖信號的匹配濾波器的傳遞函數(shù)為其沖激響應為73(3.5.18)(3.5.19)(3.5.20)匹配濾波器的輸出信號為(3.5.21)3.5.2匹配濾波器s(t)0at(a)矩形脈沖信號h(t)0cat(b)匹配濾波器的沖激響應0t(c)匹配濾波器的輸出信號圖3.18矩形脈沖的匹配濾波器積分器延遲線+-圖3.19矩形脈沖信號匹配濾波器實現(xiàn)框圖3.5.2匹配濾波器例3.12

設計矩形脈沖串信號的匹配濾波器解：設矩形脈沖信號為(3.5.22)其中s1(t)是如（3.5.17）所示的單個矩形脈沖信號(3.5.23)

3.5.2匹配濾波器3.5.2匹配濾波器解（續(xù)）取,那么可見，匹配濾波器可以表示為77匹配濾波器的組成如下圖所示其中:(3.5.26)圖3.20矩形脈沖串信號的匹配濾波器3.5.2匹配濾波器

由延遲單元的求和器構成，通常稱為相參積累器。匹配濾波器輸出的最大信噪比(3.5.28)3.5.2匹配濾波器有噪聲功率譜討論（3.5.8）式其中3.5.3廣義匹配濾波器（3.5.29）（3.5.30）（3.5.31）（3.5.32）3.5.3廣義匹配濾波器平穩(wěn)噪聲n(t)通過

后為n’(t)

，其功率譜密度為為白噪聲

為白化濾波器，

為白噪聲環(huán)境下的匹配濾波器，其匹配的信號為s’(t).813.5.3廣義匹配濾波器（3.5.33）考慮物理可實現(xiàn)

是物理可實現(xiàn)的濾波器。

可能是物理不可實現(xiàn)的。取物理可實現(xiàn)的部分濾波器的傳遞函數(shù)為其中[]+為物理可實現(xiàn)的部分利用拉普拉斯變換，有（3.5.33）、（3.5.34）式被稱為廣義匹配濾波器。其實現(xiàn)結(jié)構3.5.3廣義匹配濾波器（3.5.34）3.5.3廣義匹配濾波器例3.13

設信號為

噪聲的功率譜為

求廣義匹配濾波器的傳遞函數(shù)。84解：首先將噪聲功率譜用拉普拉斯變換表示為：所以，信號的拉氏變換為3.5.3廣義匹配濾波器3.5.3廣義匹配濾波器解(續(xù))：求拉氏反變換得到?jīng)_激響應為顯然，h2(t)在t<0的時候不為零，不是物理可實現(xiàn)的濾波